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第二讲 均值、柯西、排序不等式及其应用自主招生


第二讲
【说明】 :

均值、柯西、排序不等式及其应用

1.在复旦大学近三年自主招生试题中,不等式题目占 12%,其中绝大多数涉及到不等式的 证明; 2.交大( “华约” )试题中,不等式部分通常占 10%-15%,其中涉及到一些考纲之外的特殊 不等式。

【知识导入】 :
1.两个重要的不等式(二元均值不等式) : ① a 2 ? b 2 ? 2ab(a, b ? R) ,当且仅当 a ? b 时等号成立。 ②

a?b ? ab (a, b ? R * ) ,当且仅当 a ? b 时等号成立。 2

2.最值定理:若 x, y ? R ? , x ? y ? S , xy ? P ,则: ①如果 P 是定值, 那么当 x ? y 时,S 的值最小; ②如果 S 是定值, 那么当 x ? y 时,P 的值最大。 注意: ①前提: “一正、二定、三相等” ,如果没有满足前提,则应根据题目创设情境;还要注 意选择恰当的公式; ②“和定 积最大,积定 和最小” ,可用来求最值; ③均值不等式具有放缩功能,如果有多处用到,请注意每处取等的条件是否一致。

【知识拓展】
1.均 值 不 等 式 : 设 a1 , a2 , a3 ,

an 是 n 个 正 实 数 , 记 Qn ?

a12 ? a2 2 ? n

an 2



An ?

a1 ? a2 ? n

? an



Gn ? n a1a2

an , H n ?

n 1 1 ? ? a1 a2 ? 1 an

,则 Qn ? An ? Gn ? H n ,其中等号成立的条件

是 a1 ? a2 ?

? an 。 Qn , An , Gn , H n 分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。

2.柯西不等式: 柯西不等式的二维形式:若 a, b, c, d 都是实数,则 (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) ,
2 2 2 2

当且仅当 ad ? bc 时,等号成立。 柯西不等式的一般形式:设 a1 , a2 , a3 ,...,an , b1 , b2 , b3 ,...,bn 是实数,则

(a1 ? a2 ? ... ? an ).(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn ) 2 ,当且仅当 bi ? 0
(i ? 1,2,...,n) 或存在一个数 k ,使得 ai ? kbi (i ? 1,2,...,n) 时,等号成立。
3.柯西不等式的几个推论: (1)当 b1 ? b2 ?

2

2

2

2

2

2

bn ? 1时,柯西不等式即为 n(a12 ? a22 ?
n) ,则

an2 ) ? (a1 ? a2 ?
? an

an )2 ,若

ai ? R ? ( i ? 1, 2,
平均 ? 算术平均。 (2)当 bi ?

a12 ? a22 ? n

an 2

?

a1 ? a2 ? n

,此即上面提到的平方

1 ( i ? 1, 2, ai

n )时,有 (a12 ? a2 2 ?


an 2 )(
n

1 1 ? 2? 2 a1 a2


1 ) ? n2 。 2 an
, 则

(3)当

ai , bi ? R?

i ? 1, 2,

? a1 a2 ? ? ? ? b1 b2

an ? ? ? b1 ? b2 ? bn ?

? bn ? ? ( a1 ? a2 ?

an )2 。

4.排序不等式(又称排序定理) :
给 定 两 组 实 数 a1,a2, ,an ; b1,b2, ,bn . 如 果 a1 ? a2 ?

? an ;

b1 ? b2 ?

? bn .那么 + a b a1bi1 +a2bi2 ? n ? 1

a1 b ? n+ a 2 b n ? 1
(反序和) 其中 i1,i2,

+anbin ? a1b 1+a b 2 ? 2

+anbn

(乱序和)

(同序和)

2 ,in 是 1,,
n

,n 的一个排列.
在同序和反序时分别取得最大值和最小值.

该不等式所表达的意义是和式

?a b
j ?1

j ij

【典例精讲】
例 1.证明柯西不等式 ?证法一:若 a1 ? a2 ?

? an ? 0 ,则柯西不等式

(a12 ? a22 ?

? an2 )(b12 ? b22 ?
n) ,

bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ?

? anbn )2 显然成立。

若 ai 不全为零, ( i ? 1, 2, 令 f ( x) ? (a1 ? a2 ?
2 2

an2 ) x2 ? 2(a1b1 ? a2b2 ?
方 面

? anbn ) x ? (b12 ? b22 ?


bn )2 。




f ( x) ? (a12 x2 ? 2a1b1x ? b12 ) ? (a22 x2 ? 2a2b2 x ? b22 ) ?

? (an2 x2 ? 2anbn x ? bn2 )

? (a1x ? b1 )2 ? (a2 x ? b2 )2 ?
另一方面,由 a12 ? a22 ?

? (an x ? bn )2 ? 0

(*)

? an2 ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立

? ? ? [2(a1b1 ? a2b2 ? ? (a1b1 ? a2b2 ?

anbn )]2 ? 4(a12 ? a22 ?

an2 )(b12 ? b22 ?

bn2 ) ? 0

? anbn )2 ? (a12 ? a22 ?

? an2 )(b12 ? b22 ?
n) 。

bn2 ) ,此即柯西不等式。

由(*)知等号成立的条件为 ai ? ?bi ( i ? 1, 2, ?证法二:

将平面向量、空间向量推广到 n 维向量。令 a ? (a1 , a2 ,

, an ) , b ? (b1, b2 ,

bn ) ,

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ?

? anbn 。 a ? b ?| a | ? | b | cos(a, b) ,由于 | cos(a, b) |? 1,
anbn |? a12 ? a2 2 ? ? an 2 ? b12 ? b2 2 ?
2 ? bn

故 a ? b ?| a | ? | b | ?| a1b1 ? a2b2 ?

? (a1b1 ? a2b2 ?

? anbn )2 ? (a12 ? a22 ?

? an2 )(b12 ? b22 ?

? bn2 )

等号成立的条件是 a , b 共线,即 ai ? ?bi ( ? ? R ) ?注:柯西不等式的证明方法很多,有十几种,以上两种方法是中学生比较容易接受的。 例 2.证明:对任意实数 a>1,b>1, 有

a2 b2 ? ?8 . b ?1 a ?1

?分析:由对称性,容易算出当 a ? b ? 2 时等号成立,此时

a2 b2 ? 4(b ? 1) ? ? 4(a ? 1) ? 4 b ?1 a ?1
?证明:

a2 a2 ? 4(b ? 1) ? 2 .4(b ? 1) b ?1 b ?1


a2 ? 4(b ? 1) ? 4a b ?1 b2 ? 4(a ? 1) ? 4b a ?1

同理

a2 b2 ? ? 8 , a ? b ? 2 时等号成立. 两同向不等式相加得 b ?1 a ?1
?说明:不等式中什么时候等号成立,应该看作是一种信息,有时能帮助我们找到证题的入 口.本题对平均不等式用得巧妙、简捷、富有启发性. ?链接:本题可以稍作引申:

当 a>1 、 b>1 、 c>1 时,证明:

a2 b2 c2 ? ? ? 12 b ?1 c ?1 a ?1

例 3.设 a>b>0 ,那么 a ?
2

1 的最小值是_____ b( a ? b )

?分析:本题取自人教社版课本的一个习题(第二册(上) ) ,题中有两个变量 a,b,解题 时总希望字母愈少愈好,故最好把原式处理成一个变量问题,再证明它大于或等于一个常 数.在这中间我们又注意到和 a ? b 之和为 a ,因式 b(a ? b) ? ?解: b( a ? b) ?

b?a?b a ? 2 2

4 a 1 ? 2 ? 2 b( a ? b) a

a2 ?

4 1 1 ? a 2 ? 2 ? 4 ,因此 a 2 ? 的最小值是 4. a b( a ? b ) b( a ? b )

?a ? 2 当? 时取得最小值. ? 2 ?b ? ? 2
?说明:当若干个变量的和为常量或积为常量时,我们就可以考虑用平均值不等式,再说在 短短的演算过程中两次使用了平均值不等式. ?链接:如果题目变为 a>b>0 ,求 a ?
2

1 的最小值,你会做吗? b(a ? b)
a b ? ,求 f ( x ) 的最小值. x 1? x
a b 2 2 、 可看作 a1 ,如再能出现 、a2 x 1? x

例 4. a、 b 为正的常数, 0 ? x ? 1 , f ( x) ?

?分析:利用不等式解决极值问题,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取 等号的条件,这个函数的解析式是两部分的和,
2 ,则可用,注意到 1 ? x ? x ? 1 . b12、b2

?解法一:用柯西不等式

a b a b a b 2 ? ? ( x ? 1 ? x)( ? ) ? ( x. ? 1 ? x. ) ? ( a ? b)2 , x 1? x x 1? x x 1? x
因此 f ( x) min ? ( a ? b ) 2 ,当且仅当 得最小值。 ?解法二:用平均值不等式

a x. x

?

b 1 ? x. 1 ? x

,即 x ?

a a? b

时,取

a b a b a(1 ? x) bx ? ? ( x ? 1 ? x)( ? ) ? a?b? ? ? a ? b ? 2 ab ,同时可 x 1? x x 1? x x 1? x

以算得,当且仅当

a (1 ? x) bx ? 时,即 x ? x 1? x

a a? b

时取得最小值。

?说明:解法一和解法二都作了凑配 1 ? x ? x ? 1 ,凑配之后,才能用上相应的不等式。 例 5. (2011 复旦千分考)设 n 是一个正整数,则函数 x ? ( (A) ) 。

1 在正实半轴上的最小值是 nx n
(D)

n ?1 n

(B)

n?2 n ?1

(C)

n ?1 n

n n ?1
an ?1 知:

?分析与解: 由 n ? 1 个正实数的算术平均根≥几何平均数, 即

a1 ? a2 ? an ?1 n ?1 ? a1a2 n ?1

x?

1 1 1 ? x? x? n nx n n
n个

?

1 1 1 n ?1 x ? n ? (n ? 1) n ?1 n ?1 ? , 等 号 成 立 当 且 仅 当 n nx n n

1 1 x ? n , x ? 1 时, n nx 故选 C 。
例 6. ( 2002 交 大 ) 若 a , b 满 足 关 系 : a 1 ? b2 ? b 1 ? a2 ? 1 , 则 。

a 2 ? b2 ?
?分析与解:

由 柯 西 不 等 式 , 1 ? (a 1 ? b2 ? b 1 ? a 2 ) ? (a 2 ? 1 ? a 2 )(b2 ? 1 ? b2 ) ? 1 , 当

1 ? b2 b 2 2 时取等号,化简得 a ? b ? 1 。 ? 2 a 1? a
例 7. (2009 南大)P 为 ?ABC 内一点,它到三边 BC , CA, AB 的距离分别为 d1 , d2 , d3 ,S 为 ?ABC 的面积。求证: 长) 。 ?分析与解: 如图 2-1,易见 S ?

a b c (a ? b ? c) 2 (这里 a, b, c 分别表示 BC , CA, AB 的 ? ? ? d1 d2 d3 2S

1 1 1 ad1 ? bd 2 ? cd3 。 2 2 2

A

由柯西不等式, (ad1 ? bd 2 ? cd3 )(

a b c ? ? ) ? (a ? b ? c) 2 d1 d 2 d3

d3 d2 P d1

? 2S (

a b c ? ? ) ? ( a ? b ? c) 2 d1 d 2 d3
B

C

?

a b c (a ? b ? c ) 2 。 ? ? ? d1 d2 d3 2S
xn ,且 x ? x ? x ? 1 2 3

2-1

例 8. (2010 浙大)有小于 1 的正数 x1 , x2 ,

? xn ? 1 。求证:

1 1 ? ? 3 x1 ? x1 x2 ? x23
?分析与解: 解 法 一

?

1 ? 4。 xn ? xn3
: 由 柯 西 不 等 式 ,

[( x1 ? x13 ) ? ( x2 ? x23 ) ?

? 1 1 ( xn ? xn3 )] ? ? ? 3 3 ? x1 ? x1 x2 ? x2

?

1 ? ? n2 , 3? xn ? xn ?

注意到: ( x1 ? x13 ) ? ( x2 ? x23 ) ?

( xn ? xn3 ) ? ( x1 ? x2 ?
0 ? xi ? 1


? xn ) ? ( x13 ? x23 ?


? xn3 )
n
) ,

? 1 ? ( x13 ? x23 ?

xn3 )





xi 3 ? xi

i ? 1, 2,3

x13 ? x 23 ?

xn ?3 x ?1x ?

2

? xn ? 1

故 1 ? ( x13 ? x23 ? 从 而

xn3 ) ? (0,1) 。
, 显 然

1 1 1 ? ?3 ? ? n2 3 x1 ? x 1 x ? x 2 xn2? xn

3

n?2





1 1 1 ? ?3 ? 4 。3 3 x1 ? x 1 x ? x 2 xn ?2xn
解法二:先证明一个局部不等式:

1 ? 4 xi ( i ? 1, 2,3 xi ? xi 3

n)

(*)

事实上, (*) ? 1 ? 4xi 2 ? 4xi 4 ? 4xi 4 ? 4xi 2 ? 1 ? 0 ? (2xi 2 ?1)2 ? 0 ,显然成立。 所 以

1 1 ? ? 3 x1 ? x1 x2 ? x23

?

1 ? 4( x1 ? x2 ? xn ? xn3

? xn ) ? 4 , 当 且 仅 当

xi ?

2 (i ? 1, 2, 2

n) 时等号成立。

例 9. 设 ?ABC 的三内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,其周长为 1.

1 1 1 a b c ? ? ? 3( ? ? ) . A B C A B C ?分析:由问题的对称性,不妨设 a ? b ? c ,三角形中大边对大角,于是有 A ? B ? C 1 1 1 ? ? ? (这种形式是题目所需要的) 。这样既不改变问题的实质,又增加了已知条 C B A
求证:

1 1 1 ? ? 。这就为应用排序原理创设了很好的情境。 C B A 1 1 1 ? ? 。由排序 证法一:用排序原理。不妨设 a ? b ? c ,于是有 A ? B ? C ? C B A a c a c 1 1 1 1 不等式 a. ? c. ? a. ? c. (同序和大于或等于反序和) ,也就是 ? ? ? , C A A C C A A C b c b c a b a b a ? b a ? c b ? c 2a 2b 2c ? ? ? ? ? 同理 ? ? ? , ? ? ? , 相加得 , C B B C B A A B C B A A B C a b c 1 1 1 a b c 不等式两边同加 ? ? ,并注意到 a ? b ? c ? 1 ,就得 ? ? ? 3( ? ? ) A B C A B C A B C
件:两组有序实数 a ? b ? c ,及 证 法 二 : 比 较 法

1 1 1 a b c b ? c ? 2a a ? c ? 2b a ? b ? 2c ? ? ) ? 3( ? ? ) ? ? ? A B C A B C A B C (b ? a) ? (c ? a) (a ? b) ? (c ? b) (a ? c) ? (b ? c) b?a a?b c?a a?c ? ? ? ?( ? )?( ? ) A B C A B A C c?b b?c (a ? b)( A ? B) (a ? c)( A ? C ) (b ? c)( B ? C ) ?( ? )? ? ? ?0, B C AB AC BC 1 1 1 a b c 因此 ? ? ? 3( ? ? ) 。 A B C A B C (
?说明:利用排序原理证明其他不等式时,必须制造出两个合适的有序数组。

【方法小结】

【真题训练】
1.(2009 复旦)设 x, y, z ? 0 满足 xyz ? y ? z ? 12 ,则 log 4 x ?log ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
2

y? log

2

z 的最大值是

2.(2009 复旦)设实数 a, b, c ? 0 , (A) | b |?| ac | (B) b ?| ac |
2

bc ca ab , , 成等差数列,则下列一定成立的是( a b c |a|?|c| 2 2 2 (C) a ? b ? c (D) | b |? 2




3.(

2007

复 旦 ) 当

a

b

取 遍 所 有 实 数 时 , 函 数 )

f (a, b) ? (a ? 5 ? 3| cos b |)2 ? (a ? 2 | sin b |)2 所能取到的最小值为(
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2 2

4.(2007 复旦)给定正整数 n 和正常数 a ,对于满足不等式 a1 ? an?1 ? a 的所有等差数列

2 n ?1

a1 , a2 , a3 ,

和式

i ? n ?1

?a

i

的最大值为(

) 。

(A)

10a (n ? 1) 2

(B)

10a ?n 2

(C)

5a (n ? 1) 2

(D)

5a ?n 2

5.( 2005 交 大 ) 方 程 x ? px ?
2

1 ? 0 的 两 根 x1 , x2 满 足 x14 ? x24 ? 2 ? 2 , 则 p ? 2 2p

( p?R)

6.(2003 交大)已知 x, y ? R , x ? 2 y ? 1 ,则

?

2 2 ? 的最小值是 x y



7.( 2002 交 大 ) 若 x, y, z ? 0 且 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 , 则 为 。

1 1 ? 2? 2 x y

1 的最小值 z2

1? 1 ? 6 ? x ? ? ? (x ? 6 ) ? 2 x? x ? 8.(2001 交大) x ? R ,求 f ( x) ? ? 的最小值。 3 1 1 ? ? 3 ?x? ? ? x ? 3 x x ? ?

6

9.(2009 清华)已知 x, y, z ? 0 , a , b, c 是 x, y, z 的一个排列。求证

a b c ? ? ?3。 x y z

10.(2004 复旦)比较 log24 25 与 log25 26 的大小。

【参考答案】
1.A

12 ? xyz ? y ? z ? 3 3 xy 2 z 2 ? xy 2 z 2 ? 64





log4 x ? log2 y ? log2 z ? log4 xy2 z 2 ? log4 64 ? 3 ,
当x?

1 , y ? z ? 4 时取等号。 4
bc ca ab 2 3 , , 同号,不妨设 a, b, c ? 0 。取 a ? 1, b ? ,c ? ,知 A 错误。取 a b c 2 3

2.D 显然

a ? 2, b ? 1, c ?

a?c 6 ,知 BC 不对。下证 b ? 。 2 3

ca bc ab (a ? c)2 2 ? ? ? 2b ? ac ? b , 而 ac ? 由 题 意 , 2? , 故 有 b a c 4

(a ? c) 2 a?c ? b2 ? b ? ,得证。 4 2

3.B 由柯西不等式, (均值不等式)

1 1 f (a, b) ? (a ? 5 ? 3 | cos b |) 2 ? (a ? 2 | sin b |) 2 ? (5 ? 3 | cos b | ?2 | sin b |) 2 ? ? (5 ? 3) 2 ? 2 2 2
,当

a ? ?1, b ? 0 时取等号。
2 n ?1

4.A

i ? n ?1

?a

i

?

an?1 ? a2 n?1 3a ? a (n ? 1) ? n?1 1 (n ? 1) ,由柯西不等式 2 2

2 n ?1

(3an?1 ? a1 )2 ? (32 ? 12 ) ? (a12 ? an?12 ) ? 10a
,从而 an?1 ? ?3a1 , a12 ? an?12 ? a 时取等号)



3an?1 ? a1 ? 10a
10a (n ? 1) 。 2





i ? n ?1

?a

i

的最大值是

? x1 ? x2 ? p 1 1 ? 2 2 2 2 5. ? 8 。由韦达定理知 ? 1 ,故 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? p ? 2 , p 2 ? x1 x2 ? ? 2 p 2 ?
x14 ? x2 4 ? ( x12 ? x22 )2 ? 2 x12 x22 ? ( p 2 ? 1 2 1 1 ) ? 4 ? 2 ? 2 ? p4 ? 4 ? 2 2 p 2p 2p

而 p4 ?

1 1 1 1 ? 2 p4 ? 4 ? 2 , 故 p 4 ? 4 ? 2 , 等 号 在 p 4 ? 4 时 取 到 , 即 4 2p 2p 2p 2p

p??

8

1 。 2
由柯西不等式,

6. 6 ? 4 2

2 2 2 2 ? ? ( ? )( x ? 2 y) ? ( 2 ? 2) 2 ? 6 ? 4 2 ,当且仅当 x y x y

x ? 2 ? 1, y ? 1 ?

2 时取等号。 2
1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )( 2 ? 2 ? 2 ) ? 9 , 当 2 x y z x y z

7.9

由 柯 西 不 等 式

3 x ? y ? z ? 时取等号。 3
8.6

1 1 1 1 ? 2 ,则 x3 ? 3 ? ( x ? )3 ? 3( x ? ) ? t 3 ? 3t , x x x x 1 1 x 6 ? 6 ? ( x3 ? 3 ) 2 ? 2 ? (t 3 ? 3t ) 2 ? 2 x x
设t ? x ?

故 f ( x) ? 值。

t 6 ? (t 3 ? 3t )2 ? 2 ? 2 ? 3t ? 6 ,即 f ( x) 的最小值是 6,当且仅当 x ? 1 时取最小 t 3 ? t 3 ? 3t

9.由均值不等式,

a b c a b c ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ,得证。 x y z x y z

10.分析与解: 解法一:先作差并化为同底,

log 24 25 ? log 25 26 ?
的大小, 由均值不等式,

lg 25 lg 25 lg 2 25 ? lg 24 ? lg 26 2 ,下面比较 lg 25 与 lg 24 ? lg 26 ? ? lg 24 lg 26 lg 24 ? lg 25

lg 24 ? lg 26 ?


lg 24 ? lg 26 lg(24 ? 26) lg(25 ? 1)(25 ? 1) lg(252 ? 1) lg 252 ? ? ? ? ? lg 25 2 2 2 2 2

故 lg 24 ? lg 26 ? lg 25 。从而 log 24 25 ? log 25 26 。
2

解 法 二 : log 24 25 ? 1 ? log 24

25 25 26 ? , log 25 26 ? 1 ? log 25 , 而 24 24 25

26 ?1 , 所 以 25

log 24

25 26 ? log 25 , 24 25

所以 log 24 25 ? log 25 26 。 注:此题的结论可推广为 log x ( x ? 1) ? log( x?1) ( x ? 2)( x ? 1) 。


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