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江苏省南京市建邺高级中学2014届高三上学期期中考试试题 数学 Word版含答案


注意事项: 本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,共 160 分。考试时间 120 分钟。 考生将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷答案填涂在答卷纸上,答在试卷上无效。

第Ⅰ卷(填空题 共 70 分)
一、填空题(本题包括 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.已知集合 A ? x 0 ? x ? 3, x ? R , B ? x ? 2 ? x ? 2, x ? R , 那么集合 A ? B =_____________ 2.设 i 为虚数单位,复数 3. 在集合 M ? {x | x ?

?

?

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2i ? ___________ 1? i
素, _________

n? , n ? 1,2,?,10} 中任取一个元 6 1 所取元素恰好满足方程 cos x? 的概率是 2

4.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为_________ 5. 已知 f ( x ) ? ?
x ?1 ? ?3e , x ? 3 则 f ( f (3)) 的值 2 ? log ( x ? 6 ), x ? 3 , ? 3



6.等差数列 x,6, y,12 ,则 xy 的值为 7 . 已 知 直 线 l 和 平 面 ? 内 两 条 直 线 m, n , 则 “ l ? m, l ? n ”是“ l ? 平面 ? ”的_______________条件(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”或“既 不充分也不必要”) 8.已知 a ? 1, 2 ,| b |? 2, 若( a ? b) ? a, 则向量 a 与 b 的夹角是___________ 9.在平面直角坐标系 xoy 中,直线 3x ? 4 y ? c ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A, B 两点,且弦 AB 的长为
2 2

?

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2 3 ,则 c ? _________
10.若命题“ ?x ? ?1,3? , x ? ax ? 4 ? 0 ”是真命题,则 a 的取值范围是____________
2

11.已知奇函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?2 对称,当 x ? ? 0, 2? 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (?9) =

12.在等边三角形 ABC 中,点 P 在线段 AB 上,满足 AP ? ? AB ,若 CP ? AB ? PA ? PB ,则实数 ? 的值 是___________ 13.如图,树顶 A 离地面 9 米,树上另一点 B 离地面 3 米,欲使 小明从离地面 1 米处(即点 C 距离地面 1 米)看 A, B 两点的 视角最大,则他应离此树_________米 14.若实数 a, b, c 满足 2 ? 2 ? 2
a b a ?b

??? ?

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, 2a ? 2b ? 2c ? 2a ?b ?c , 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

则 c 错误!未找到引用源。的最大值是___________

第Ⅱ卷(解答题 共 90 分)
15.已知 a ? ?1, 2cos x ? , b ? sin ? ? ? 2 x ? , 3 cos x , x ? R ,且 f ? x ? ? a ? b . (Ⅰ)求 f ( ) ;

?

?

?

?

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?

6 (Ⅱ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增 区间 ..

16.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, cos C ? (Ⅰ)求证: A ? B (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ?

4 , c ? 2b cos A 5

15 ,求边 c 的值 2

17.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大桥上的车流速度 v (单 位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数。当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵 塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆 / 每小时)

f ? x ? ? x ? v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时)

18.如图:在三棱锥 D ? ABC 中,已知 ?BCD 是正三角形, AB ? 平面 BCD , AB ? BC , E 为 BC 的 D 中点, F 在棱 AC 上,且 AF ? 3FC (Ⅰ)求证: AC ? 平面 DEF ;

A B

(Ⅱ)若 M 为 BD 的中点,问 AC 上是否存在一点 N , 使 MN // 平面 DEF ?若存在,说明点 N 的位置,并证明结论; 若不存在,试说明理由.

19.已知椭圆 E : 值为 2.

1 x2 y 2 + 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,右焦点为 F ,且椭圆 E 上的点到点 F 距离的最小 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A, B ,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 x ? 8 分别相交于点 M , N . (ⅰ)当过 A, F , N 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程; (ⅱ)若 cos ?AMB ? ?

65 ,求 △ABM 的面积. 65

3 20.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .

(Ⅰ)求实数 b, c 的值;
3 x (Ⅱ)求函数 g ( x) ? [ f ( x) ? x ]e 在区间 [t , t ? 1] 的最大值;

( Ⅲ ) 设 h( x) ? f ( x) ? 6ln x , 问 是 否 存 在 实 数 m , 使 得 函 数 h( x) 的 图 象 上 任 意 不 同 的 两 点

A( x1 , h( x1 )), B( x2 , h( x2 )) 连线的斜率都大于 m ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由. (e
为自然对数的底数, e ? 2.71828? )

2013-2014 学年度第一学期期中测试 高
注意事项: 本试卷分第Ⅰ卷(选做题)和第Ⅱ卷(必做题)两部分,共 40 分。考试时间 30 分钟。 考生将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷答案填涂在答卷纸上,答在试卷上无效。











2013.11

第Ⅰ卷(选做题 共 20 分)
一、选做题 (在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分) A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,圆 O 的半径 OB 垂直于直径 AC , M 为 AO 上一点, BM 的延长线交圆 O 于点 N , 过 N 点的切 线交 CA 的延长线于点 P . (1)求证: PM 2 ? PA ? PC ; (2)若圆O的半径为 2 3 , OA ? 3OM , 求 MN 长.

B.选修 4—2:矩阵与变换

?1 ? ?1 0 ? ? 2 0 ? ,试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的曲线方程. 设M ?? , N ? ? ? ? ?0 2 ? ? 0 1?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 在 极 坐 标 系 中 , 已 知 点 P 为 圆 ?2 ? 2 ? s i n ? ? 任 一 点 . 求 点 P 到 直 线 ? 7上 0

? cos? ? ? sin? ? 7 ? 0 的距离的最小值与最大值.
D.选修 4—5:不等式选讲 已知 a, b, c 为正数,且满足 a cos2 ? ? b sin 2 ? ? c ,求证: a cos2 ? ? b sin 2 ? ? c .

第Ⅱ卷(必做题 共 20 分)

二、必做题(第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分) 22.已知三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AB ? AC , PA ? AC ?

1 AB ? 1 , N 为 AB 上一点, 2

AB ? 4 AN , M , S 分别为 PB, BC 的中点.
(Ⅰ)证明: CM ? SN ; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

23.过直线 y = - 1 上的动点 A(a, - 1) 作抛物线 y = x 2 的两切线 AP, AQ , P, Q 为切点. (Ⅰ)若切线 AP, AQ 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值; (Ⅱ)求证:直线 PQ 过定点.

2013-2014 学年度第一学期期中测试 高
注意事项: 本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,共 160 分。考试时间 120 分钟。 考生将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷答案填涂在答卷纸上,答在试卷上无效。







2013.11

第Ⅰ卷(填空题 共 70 分)
一、填空题(本题包括 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. 已知集合 A ? x 0 ? x ? 3, x ? R , B ? x ? 2 ? x ? 2, x ? R , 那么集合 A ? B 是_____________ ? 0, 2 ? 2.设 i 为虚数单位,复数 3.在集合 M ? {x | x ?

?

?

?

?

2i 等于___________ ? 1 ? i 1? i

开始
k ? 1, s ? 1

n? , n ? 1,2,?,10} 中任取一个元素, 6 1 1 所取元素恰好满足方程 cos x ? 的概率是_________ 5 2

k ? k ?1
k ? 5?

4.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为_________ ? 10
x ?1 ? ?3e , x ? 3 5.已知 f ( x ) ? ? 则 f ( f (3)) 的值为 2 ? log ( x ? 6 ), x ? 3 , ? 3



s ? 2s ? k

否 3
输出 s

6.等差数列 x,6, y,12 ,则 xy 的值为

结束

7.已知直线 l 和平面 ? 内两条直线 m, n ,则“ l ? m, l ? n ”是“ l ? 平面 ? ”的________________条件 (填“充分不必要” , “必要不充分” , “充要”或“既不充分也不必要” ) 必要不充分条件 8.已知 a ? 1, 2 ,| b |? 2, 若( a ? b) ? a, 则向量 a 与 b 的夹角是___________
2 2

?

?

?

?

? ?

?

?

?

? 6

9.在平面直角坐标系 xoy 中,直线 3x ? 4 y ? c ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A, B 两点,且弦 AB 的长为

2 3 ,则 c ? _________-5
10.若命题“ ?x ? ?1,3? , x ? ax ? 4 ? 0 ”是真命题,则 a 的取值范围是__________ a ? 4
2

11.已知奇函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? ?2 对称,当 x ? ? 0, 2? 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (?9) =

-2

12.在等边三角形 ABC 中,点 P 在线段 AB 上,满足 AP ? ? AB ,若 CP ? AB ?PA ?PB ,则实数 ? 的值是 ___________ 1 ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ?? ? ? ??? ?

2 2

13.如图,树顶 A 离地面 9 米,树上另一点 B 离地面 3 米,欲使 小明从离地面 1 米处看 A, B 两点的视角最大,则他应离此树 _________米 4 14.若实数 a, b, c 满足 2 ? 2 ? 2
a b a ?b

, 2a ? 2b ? 2c ? 2a ?b ?c , 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 2 ? log 2 3

则 c 错误!未找到引用源。的最大值是________

第Ⅱ卷(解答题 共 90 分)
b. 15.已知 a ? ?1, 2cos x ? , b ? sin ? ? ? 2 x ? , 3 cos x , x ? R ,且 f ? x ? ? a ?
(Ⅰ)求 f ( ) ;

?

?

?

?

? ?

?

6 (Ⅱ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增 区间 ..
? ? ? f ? x ? ? a? b ? 1? sin ?? ? 2 x ? ? 2 cos x ? 3 cos x

? ? f ( x) ? sin(? ? 2 x) ? 2 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ..6 分 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 ????8 分 ? f ( ) ? 2sin( ? ) ? 3 ? 2 ? 6 3 3 2 ? 2? (Ⅱ) f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 的最小正周期 T ? ? ? .?????????10 分 3 2 ? ? ? 5? ? 又由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? k? ? ? x ? k? ? (k ? Z) 可得 2 3 2 12 12 5? ?? ? , k? ? ? (k ? Z) .???14 分 函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? k? ? 12 12 ? ?
4 , c ? 2b cos A 5

16.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, cos C ? (Ⅰ)求证: A ? B (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ?

15 ,求边 c 的值 2

17.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大桥上的车流速度 v (单 位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数。当桥上的的车流密度达到 200 辆/千米时,造成 堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆 /每小时)

f ? x ? ? x ? v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时)
当 20 ? x ? 200 时,设 v ? x ? ? ax ? b

解: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v ? x ? ? 60 ;

???????2 分

1 ? a?? , ? ?200a ? b ? 0, ? 3 解得 ? ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 所以 v ? x ? ? ? 1 x ? 200 ???5 分 ? 再由已知得 3 3
故 函 数

v( x) 的 表 达
式 为

0 ?x ?6 ? v( x) ? ? 1 (200 ? x), 20 ? ? ?3
???6 分

D

18. 如图: 在三棱锥 D ? ABC 中, 已知 ?BCD 是正三角形, 面 BCD , AB ? BC , E 为 BC 的中点, F 在棱 AC 上,

AB ? 平


AF ? 3FC
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 DEF ; (Ⅱ)若 M 为 BD 的中点,问 AC 上是否存在一点 N ,使 面 DEF ?若存在,说明点 N 的位置;若不存在,试说明理 (Ⅰ)证明:? AB ? 平面 BCD , DE ? 平面 BCD
A B E F C

MN // 平
由.

? AB ? DE

???1 分

又 ?BCD 是正三角形, E 为 BC 的中点

? DE ? BC
又 AB ? BC ? B , AB, BC ? 平面 ABC

? DE ? 平面 ABC
? AB ? BC

???3 分

取 AC 中点 G ,连结 BG ,

? BG ? AC ,又 EF // BG ? EF ? AC ,又 EF ? DE ? E , DE , EF ? 平面 DEF ? AC ? 平面 DEF
???4 分
M D

(Ⅱ)存在点 N 使得 MN // 平面 DEF ,且 N 在线段

AF 上,且 CF ? 2FN ???2 分
连结 CM 交 DE 于点 H ,连结 HF ???1 分

H B E F C N G

A

? CH : HM ? 2 :1, CF : FN ? 2 :1???2 分

? HF // MN ,又 HF ? 平面 DEF , MN ? 平面 DEF , ? MN // 平面 DEF ???3 分

19.已知椭圆 E : 值为 2.

1 x2 y 2 + 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,右焦点为 F ,且椭圆 E 上的点到点 F 距离的最小 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A, B ,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 x ? 8 分别相交于点 M , N . (ⅰ)当过 A, F , N 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程;

(ⅱ)若 cos ?AMB ? ?

65 ,求 △ABM 的面积. 65

(或者分别求 AF 和 NF 的垂直平分线的交点,然后求半径可以根据具体情况按步给分)

72 )y ?8 ? 0 , t 1 72 1 72 即 ( x + 1)2 + [ y ? (t + )]2 ? 9 + (t + )2 ,?????????????7 分 2 t 4 t 72 72 因为 (t + )2 ≥ (2 72)2 ,当且仅当 t + ? ?12 2 时,圆的半径最小, t t
所以圆的方程为 x 2 + y 2 + 2 x ? (t + 故所求圆的方程为 x 2 + y 2 + 2 x ? 12 2 y ? 8 ? 0 .???????????????10 分 (ⅱ)由对称性不妨设直线 l 的方程为 y ? k ( x + 4)(k ? 0) .

? y ? k ( x + 4), 12 ? 16k 2 24k ? 由 ? x2 y 2 得M( , ) ,?????????????????12 分 3 + 4k 2 3 + 4k 2 ? 1, ? + ?16 12

???? ???? ?24 ?24k 32k 2 ?24k 所以 MA ? ( , MB ? ( , ), , ) 2 2 2 3 + 4k 3 + 4 k 2 3 + 4k 3 + 4k ???? ???? MA?MB ?8 ? 24k 65 ?? 所以 cos ?AMB ? ???? ???? ? , 65 MA MB 24 1 + k 2 ? (32k ) 2 + 242
化简,得 16k 4 ? 40k 2 ? 9 ? 0 ,??????????????????????15 分 1 9 1 3 解得 k 2 ? ,或 k 2 ? ,即 k ? ,或 k ? , 4 4 2 2 1 此时总有 yM ? 3 ,所以 △ABM 的面积为 ? 8 ? 3 ? 12 .??????????16 分 2
3 20.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .

(Ⅰ)求实数 b, c 的值;
3 x (Ⅱ)求函数 g ( x) ? [ f ( x) ? x ]e 在区间 [t , t ? 1] 的最大值;

? 6 l nx ( Ⅲ ) 设 h( x) ? f ( x) , 问 是 否 存 在 实 数 m , 使 得 函 数 h( x) 的 图 象 上 任 意 不 同 的 两 点
A( x x 连线的斜率都大于 )) 求出 m 的取值范围; 若不存在, 说明理由. (e m ?若存在, 1 , h( x 1 ) ) ,B (x 2 ,h ( 2
为自然对数的底数, e ? 2.71828? )

(Ⅲ)假设存在实数 m 符合题意,则

h ? x2 ? ? h ? x1 ? x2 ? x1

? m (不妨设 x2 ? x1 ? 0 )

? h ? x2 ? ? h ? x1 ? ? mx2 ? mx1 ? h ? x2 ? ? mx2 ? h ? x1 ? ? mx1

?函数 y ? h ? x ? ? mx 在 ? 0, ?? ? 单调递增??????12 分
6 6 ? y ' ? 3x 2 ? 1 ? ? m ? 0 即 m ? 3x 2 ? 1 ? 在 ? 0, ?? ? 恒成立??????13 分 x x
6 6 ? x ? 1? 6 ' 设 ? ? x ? ? 3x ? 1 ? ? x ? 0 ? ,则 ? ? x ? ? 6 x ? 2 ? x x2 x
3

2

由 ? ? x ? ? 0 得 x ? 1 ,由 ? ? x ? ? 0 得 0 ? x ? 1 ,
' '

?函数 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增 ?函数 m ? ? ? x ?min ? ? ?1? ? 8

所以存在,实数 m 的取值范围是 ? ??,8? ??????16 分

2013-2014 学年度第一学期期中测试 高
注意事项: 本试卷分第Ⅰ卷(选做题)和第Ⅱ卷(必做题)两部分,共 40 分。考试时间 30 分钟。 考生将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷答案填涂在答卷纸上,答在试卷上无效。











2013.11

第Ⅰ卷(选做题 共 20 分)
一、选做题(在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分) A.选修 4—1:几何证明选讲 如图, ? O 的半径 OB 垂直于直径 AC , M 为 AO 上一点, BM 的延长线交 ? O 于点 N , 过 N 点的 切线交 CA 的延长线于点 P . (1)求证: PM 2 ? PA ? PC ; (2)若 ? O 的半径为 2 3 , OA ? 3OM , 求 MN 长. (第 21-A 图) C O B

M A N

P

B.选修 4—2:矩阵与变换

?1 ? ?1 0 ? ? 2 0 ? ,试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的曲线方程. N ? 设M ?? , ? ? ? ?0 2 ? ? 0 1? ?1 ? ?1 ? 0? ? 0? ?1 0 ? ? ,???????????????????4 分 MN ? ? ? 2 ? 2 ?0 2 ? ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? ? ? ?
设 ? x, y ? 是曲线 y ? sin x 上的任意一点,在矩阵 MN 变换下对应的点为 ? x?, y? ? .

? ? ? 1 ? x ? 2 x?, 0 ? ? x ? ? x? ? ? x ? x, ? ? ? ? ,所以 ? 2 即? 1 ??????????????8 分 ?? y? y ?? y ? y ?, ? ? ? ? ? 2? 2 ? y? ? 2 y, ? 1 代入 y ? sin x ,得 y? ? sin 2 x? ,即 y? ? 2sin 2 x? . 2 即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的曲线方程为 y ? 2sin 2 x .????????10 分 ?1 则 ?2 ? ?0

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 在 极 坐 标 系 中 , 已 知 点 P 为 圆 ?2 ? 2 ? s i n ??

? 7 上0任 一 点 . 求 点 P 到 直 线

? cos? ? ? sin? ? 7 ? 0 的距离的最小值与最大值.
圆 ? 2 ? 2? sin ? ? 7 ? 0 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 7 ? 0 ,????????? 2 分 直线 ? cos? ? ? sin? ? 7 ? 0 的普通方程为 x ? y ? 7 ? 0 ,??????????? 4 分 设点 P(2 2 cos ? ,2 2 sin ? ? 1) ,

? 4sin(? ? ) ? 8 4 则点 P 到直线 x ? y ? 7 ? 0 的距离 d ? , ? 2 2 ??????????????????????????????????8 分 4 12 ? 2 2 ; d max ? ? 6 2 .??????????????????10 分 所以 d min ? 2 2 2 2 cos ? ? 2 2 sin ? ? 8

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 a, b, c 为正数,且满足 a cos2 ? ? b sin 2 ? ? c ,求证: a cos2 ? ? b sin 2 ? ? c . 由柯西不等式,得

a cos2 ? ? b sin 2 ?
1 1

≤[( a cos? )2 ? ( b sin ? )2 ]2 (cos2 ? ? sin 2 ? ) 2 ? (a cos2 ? ? b sin 2 ? ) 2 ? c .??????????????????????10 分
1

第Ⅱ卷(必做题 共 20 分)
二、必做题(第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分) 22.已知三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AB ? AC , PA ? AC ?

1 AB ? 1 , N 为 AB 上一点, 2

AB ? 4 AN , M , S 分别为 PB, BC 的中点.
(Ⅰ)证明: CM ? SN ; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 证明:以 A 为原点,射线 AB, AC, AP 分别为 x, y, z 轴 正向建立空间直角坐标系如图。

则 P ? 0, 0,1? , C ? 0,1, 0 ? , B ? 2, 0, 0 ? , M ?1, 0,

? ?

1? ?1 ? ? 1 ? ? , N ? , 0, 0 ? , S ?1, , 0 ? ??2 分 2? ?2 ? ? 2 ?

? 1 ??? 1 1 2 2 2 ???? ? ??? ? 1 1 因为 CM ? SN ? ? ? ? 0 ? 0 , 2 2
所以 CM ? SN (Ⅱ) NC ? (? ,1, 0) ,

(Ⅰ) CM ? (1, ?1, ), SN ? (? , ? , 0) ,

???? ?

??6 分

????

设 a ? ? x, y , z ? 为平面 CMN 的一个法向量, 则

?

1 2

1 ? x? y? z ?0 ? ? ? 2 令 x ? 2, 得 a ? ? 2,1, ?2 ? ? ?? 1 x ? y ? 0 ? ? 2 1 ?1 ? ??? ? 2 ? 2 因为 cos a, SN ? 2 2 3? 2
所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45
?

??8 分

??10 分

23.过直线 y = - 1 上的动点 A(a, - 1) 作抛物线 y = x 2 的两切线 AP, AQ , P, Q 为切点. (1)若切线 AP, AQ 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值; (2)求证:直线 PQ 过定点.


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