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福建师大附中2013—2014学年度上学期期末考试高二数学理试题


福建师大附中 2013—2014 学年度上学期期末考试

高二数学理试题
本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.

第I卷
项符合题目要求.

共 60 分

一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 1.抛物线 y 2 ?
A.

1 8

1 x 的焦点到准线的距离为( ***** ) 2 1 1 B. C. 4 2

D. 1

2.已知 F1 ?? 3,0?, F2 ?3,0? ,动点 P 满足: PF1 ? PF2 ? 6 ,则动点 P 的轨迹为( ***** )
A.椭圆 A.1 B. 抛物线 B.2 C. 线段 C.3 D. 双曲线 D.4

3.命题“若 a>-3,则 a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( ***** ) 4.已知向量 a ? (1,1,0) , b ? ( ?1,0,2) ,且 k a ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是( ***** )
A.1 B.

1 5

C.

3 5
2

D.

7 5

5. 下列有关命题的说法正确的是( ***** )
A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”.
2

B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”.
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题。

6.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点, 那么异面直 线 AM 与 CN 所成角的余弦值是( ***** ) 2 2 10 10 A. ? B. C. ? D. 5 5 10 10 7.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, E 为 PD 中 ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? 点,若 PA ? a , PB ? b , PC ? c ,则 BE ? ( ***** ) P
1? 1? 1? A. a ? b ? c 2 2 2 1? 3? 1? C. a ? b ? c 2 2 2 1? 1? 1? B. a ? b ? c 2 2 2 1? 1? 3? D. a ? b ? c 2 2 2
A E

D B

C

8. 设 F1 , F2 为双曲线

x2 0 ? y 2 ? 1 的两个焦点, 点 P 在双曲线上且 ?F1 PF2 ? 90 , 则 ?F1 PF2 的 4
5 2

面积是( ***** )

A.1 9.已知双曲线
率 A. 5

B.

C.2

D. 5

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 只有一个公共点,则双曲线的离心 2 a b

为(***** ) B.

5 2

C.

5

D.

5 4

10.如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M、N 分别是棱 A1B1、A1D1 的中点,
则点 B 到平面 AMN 的距离是( ***** ) A.

9 2

B. 3

C.

2 3

D.2

11.如图,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面是边长为 1 的正
方形,若 ?A1 AB ? ?A1 AD ? 600 ,且 A1 A ? 3 ,则 AC 的长为( ***** ) 1 A. 5 B. 2 2
x2 a2 ?
2

C. 14

D. 17

12.由半椭圆
2

y2 b2

? 1 ( x ≥0)与半椭圆
2

y2 x2 ? ? 1 ( x ≤0)合成的曲线称作“果圆”,如图 b2 c2
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 ( x ? 0 )的焦点 F0 和左椭圆

所示,其中 a ? b ? c , a ? b ? c ? 0 .由右椭圆

y2 x2 ? ? 1 ( x ? 0 )的焦点 F1 , F2 确定的 ?F0 F1 F2 叫做果圆的焦点三角形,若果圆的焦点三 b2 c2
角形为锐角三角形,则右椭圆
1 A. ( ,1) 3

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( x ? 0 )的离心率的取值范围为( ***** )

B. (

2 ,1) 3

C. (

3 ,1) 3

D. (0,

3 ) 3

第Ⅱ卷 13.椭圆

共 90 分

二、填空题:本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答卷的相应位置.
x2 y2 ******** . ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值等于 m 4 上任意一点,点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2的中垂 2 2 14.已知点P是圆F1

: ( x ? 3) ? y ? 4

线与PF1交于M点,则点M的轨迹C的方程为

********

.

2 15. 设 P 是曲线 y ? 4 x 上的一个动点,则点 P 到点 A(?1, 2) 的距离与点 P 到 x ? ?1 的距离之和

的最小值为

********

.

16.如图,抛物线形拱桥的顶点距水面 2 米时,测得拱桥内水面宽为 12 米,当水面升高 1
米后,则拱桥内水面的宽度为
******** 米.
2

12

17 . 已知动点 P( x, y ) 在椭圆
???? ? | PM | 的最小值是

???? ? ???? ? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 上 , 若 A 点坐标为 (3, 0), | AM |? 1 , 且 PM ? AM ? 0 则 25 16
.

********

三、解答题:本大题有 5 题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 12 分)已知命题 p:方程
双曲线
x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q: 2m m ? 1

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,若 “ p或q ”为真命题,“ p且q ”为假命题,求实数 m 的取 5 m 值范围.

19.(本小题满分 15 分)已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,△ ABC 为等腰直角三角形,
∠ BAC =90° ,且 AB = AA1 , D 、 E 、 F 分别为 B1 A 、 C1C 、 BC 的中点. (I)求证: DE ∥平面 ABC ; (II)求证: B1 F ⊥平面 AEF ; (III)求二面角 B1 ? AE ? F 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xoy 中,F 是抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,圆 Q 过 O 点与 F 点,且
2

圆心 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 (1)求抛物线 C 的方程;

3 . 2

(2)过 F 作倾斜角为 600 的直线 L,交曲线 C 于 A,B 两点,求 ?OAB 的面积;

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

(3)已知抛物线上一点 M (4,4) ,过点 M 作抛物线的两条弦 MD和ME ,且 MD ? ME ,判断: 直线 DE 是否过定点?说明理由。

21.(本小题满分 12 分)
如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAB ? ?PAC ? ?ACB ? 90? . (Ⅰ)求证:平面 PBC ? 平面

PAC (Ⅱ)若 PA ? 1 , AB =2 ,BC=AC,在线段 AC 上是否存在一点 D ,使得直线 BD 与平
面 PBC 所成角为 30? ?若存在,求出 CD 的长;若不存在,说明理由。 P

B C 22.(本小题满分 14 分)

A

x2 已知椭圆 C: 2 ? y 2 ? 1(a ? 1), a

(1)若椭圆 C 的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF 与圆 M: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 3 相切,求椭 圆 C 的方程. (2)若 Rt?ABC 以 A(0,1)为直角顶点,边 AB,BC 与椭圆交于两点 B,C,求 Rt?ABC 面积的 最大值.

参考答案
一、选择题:BCBDD 二、填空题: 13.5 或 3 16. 6 2 17.
3

BCACD 14: x 2 ?
y2 ?1 2

AC 15. 2 2

三、解答题:本大题有 5 题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分 12 分) 1 解:p:0<m< ---------3 分 3

q:0< m <15

---------6 分

由“ p或q ”为真命题,“ p且q ”为假命题,知 p, q 为一真一假。------9 分 p 真 q 假,则空集;--------10 分 p 假 q 真,则 ? m ? 15
1 3 1 3

---------11 分 ---------12 分

故 m 的取值范围为 ? m ? 15
19.(本小题满分 15 分)

[来源:学§ X§ K]

解:方法 1:如图建立空间直角坐标系 O—xyz,令 AB=AA1=4, 则 A(0,0,0) ,E(0,4,2) ,F(2,2,0) ,B(4,0,0) , B1(4,0,4) ,D(2,0,2) , …………(2 分) (I) DE ? ( ? 2 ,4,0) ,面 ABC 的法向量为 OA1 ? (0,0,4) , ? ? ∵ DE ? OA1 ? 0 , DE ? 平面 ABC, ∴DE∥平面 ABC. …………(5 分)

?

?

(II) B1 F ? (?2, 2, ? 4), EF ? (2, ? 2, ? 2) ? ? B1 F · EF ? (?2) × 2 ? 2× (?2) ? (?4) × (?2) ? 0 ? ? B1 F · AF ? (?2) × 2 ? 2× 2 ? (?4) × 0 ? 0 …………(8 分) ∴ B1 F ⊥ AF , ∴ B1 F ⊥ AF ∵ AF ? FE ? F, ∴ B1 F ⊥ 平面AEF

?

?

?

?

? (III) 平面 AEF 的法向量为 B1 F ? (?2, 2, ? 4) ,设平面 B1AE 的法向量为 ? ? ? ? ?2 y ? z ? 0 ? n · AE ? 0 即? …………(12 分) n ? ( x,y,z ) ,∴ ? ? ? x ? z ? 0 ? ?n ·B A?0 1 ? ? ? ? ? ? n· BF 6 B1 F ?? ? 1 令 x=2,则 z ? ?2,y ? 1, ∴ n ? (2, 1, ? 2 ∴ cos ? n , ? ?
| n· | | B1 F |
∴二面角 B1—AE—F 的余弦值为

…………(10 分)

9 × 24

?

6 6

6 6

…………(15 分)

20. (本小题满分 12 分) p p 20、 (1)? F ( ,0) ,?圆心Q在线段OF的垂直平分线x ? 上 2 4 p p 3 p ?抛 物 线 C : y 2 ? 4x ? ? (? ) ? ,得 p ? 2 又? 准线方程为:x ? ? 4 2 2 2
(2)设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) , 由?
2 ? ? y ? 4x ? ? y ? 3 ( x ? 1)

得: y ?
2

4 3y ? 4 ? 0 3

? y1 ? y2 ?

4 3 , y1 y2 ? ?4 3

1 1 1 16 4 ? S ? ? ? | OF | ? | y 2 ? y1 | ? ? 1 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? ? ? 16 = 3 2 2 2 3 3
(3)设直线 DE : ?

? x ? my ? t ? y ? 4x
2

? y 2 ? 4my ? 4t ? 0 , 则 ? ? 16 m 2 ? 16t ? 0

(*)

设 D( x1 , y1 ), E ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 4m, y1 y 2 ? ?4t

? 0 ? MD ? ME ? ( x1 ? 4, y1 ? 4) ? ( x 2 ? 4, y 2 ? 4)

? x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 16
? y1 y 2 y y ? ? 4( 1 ? 2 ) ? 16 ? y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 16 4 4 4 4
2 2 2 2

?

( y1 y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 3 y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 32 16

? t 2 ? 16m2 ? 12t ? 32 ? 16m
即 t ? 12t ? 32 ? 16m ? 16m
2 2

得: (t ? 6) ? 4( 2m ? 1)
2

2

? t ? 6 ? ?2(2m ? 1)

即: t ? 4m ? 8 或 t ? ?4m ? 4

带入(*)式检验均满足 ? ? 0

? 直线 DE 的方程为: x ? my ? 4m ? 8 ? m( y ? 4) ? 8

或: x ? m( y ? 4) ? 4

? 直线过定点(8,-4).(定点(4,4)不满足题意,故舍去) 21.(本小题满分 12 分)
? 解: (Ⅰ)∵ ?PAB ? ?PAC ? 90 ,∴ PA ? AB , PA ? AC .

∵ AB ? AC ? A ,∴ PA ? 平面 ABC ------------------------1 分 ∵ BC ? 平面 ABC ,∴ BC ? PA .------------------------2 分
? ∵ ?ACB ? 90 ,∴ BC ? CA .∵ PA ? CA ? A ,∴ BC ? 平面 PAC .------------3 分

∵ BC ? 平面 PBC ,∴平面 PBC ? 平面 PAC .------------4 分 (Ⅱ)由已知可知, BC ? CA , AB =2 ,此时 BC ? AC ? 2 .------------5 分

以 C 为原点,建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz ,则 CB ? (0, 2, 0), CP ? ( 2, 0,1) , P ? 设 n ? ( x, y , z ) 是平面 PBC 的法向量,

??? ?

??? ?

??? ? ? ? 2?y ?0 ?CB ? n ? 0 ? ? 则 ? ??? , ?? ? ? CP ? n ? 0 2 x ? z ? 0 ? ? ? ? ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1, 0, ? 2) ,------------8 分
??? ?

B C

A

设线段 AC 上的点 D 的坐标为 D (t , 0, 0) ,则 BD ? (t , ? 2, 0)(0 ? t ?

2) ,
------------11 分

? ???? ? | n ? BD | t ???? ?? ∵ sin 30 ? ? ,解得 t ? 6 ? [0, 2] , | n | ? | BD | 3 ? t2 ? 2
?

∴在线段 AC 上不存在点 D ,使得直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30? 。------------12 分

22. (本小题满分 14 分)

(2)不妨设 AB 的方程 y ? kx ? 1?k ? 0? ,则 AC 的方程为 y ? ?

1 x ?1。 k

?y ? kx?1 2a 2 k ? 2 2 2 2 由 ? x2 得: ( 1 ? a k ) x ? 2 a kx ? 0 ? x ? ? B 2 1 ? a2k 2 ? 2 ? y ?1 ?a

---------7 分

1 ? y ? ? x ?1 ? 2a 2 k k ? 2 2 2 2 由? 2 得: (a ? k ) x ? 2a kx ? 0 xC ? 2 a ? k2 ?x ? y2 ? 1 ? ?a2

---------8 分

2a 2 k 1 2a 2 k , AC ? 1 ? 2 2 , 从而有 AB ? 1 ? k 1 ? a2k 2 k a ? k2
2

--------10 分

1 k? 2 1 k (1 ? k ) k 于是 S ?ABC ? AB AC ? 2a 4 。---- 11 分 ? 2a 4 1 2 (1 ? a 2 k 2 )(a 2 ? k 2 ) 2 2 4 a (k ? 2 ) ? a ? 1 k
令t ? k ?

1 ? 2 ,有 S k

?ABC ?

2a 4 t ? a 2t 2 ? (a 2 ? 1)2

2a 4 , (a 2 ? 1) 2 2 a t? t

----- 12 分

因为 a t ?
2

a2 ?1 (a 2 ? 1) 2 ? 2a(a 2 ? 1), t ? 时等号成立。 a t

? t ? 2,?当


a2 ?1 a3 a2 ? 1 ? 2,即a ? 1 ? 2时 , 因此当 t= , ( S?ABC ) max ? 2 , a a a ?1

---- 13

?当1 ? a ? 1 ? 2 时,

a2 ? 1 4a 4 -------- 14 分 ? 2, 所以t ? 2时, ( S ?ABC ) max ? a (1 ? a 2 ) 2

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