2008年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学

11

试卷类型：A

2008 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

数 学 试 题（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页. 满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的表 格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卷各题目指定区域内； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作 答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.

第一部分
1． i (1 ? i ) ? （
2

选择题（共 40 分）

一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． ） ） ． B． ?1 ? i
2

D． 2 2．已知 I 为实数集， M ? {x | x ? 2 x ? 0}, N ? {x | y ? x ? 1} ，则 M ? (?I N ) = （ A． {x | 0 ? x ? 1} B． {x | 0 ? x ? 2} C． {x | x ? 1} D． ? ）. 3． “ a ? 2 ” 是“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 [2, ??) 上为增函数”的（

A． 1 ? i

C． ?2

） ．

A．充分条件不必要 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）. A． 7.68 B． 16.32 C． 17.32 D． 8.68

A _

B _ _ A

B _

第 4 题图

5．如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2， 且侧棱 AA1 ? 面A1 B1C1 ,正视图是边长为 2 的正方形， 该三棱柱的左视图面积为（ ）.
1

A_ _ 1

B_ _ 1

A_ _ 1

正视图

B_ _ 1

第 4 题图

俯视图

11

A. 4

B. 2 3

C. 2 2

D.

3

? x ? 4 y ? 3 ? 0, ? 6．设 O 为坐标原点，点 M 坐标为 ( 2,1) ，若点 N ( x, y) 满足不等式组： ? 2 x ? y ? 12 ? 0, 则使 ? x ? 1, ?
???? ? ???? OM ? ON 取得最大值的点 N 的个数是( ) . A． 1 B． 2 C． 3 D．无数个 7．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)， 接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如，明文
开始 输入 a,b,c,d

1, 2,3, 4 对应密文 5,7,18,16 . 当接收方收到密文14,9, 23, 28 时，
则解密得到的明文为（ ）. A． 4, 6,1, 7 C． 6, 4,1, 7 B． 7, 6,1, 4 D． 1, 6, 4, 7

m ? a ? 2b n ? 2b ? c p ? 2c ? 3d q ? 4d
输出 m,n,p,q 结束 第 7 题图

? a, a ? b 8 ．定义运算 ? ： a ? b ? ? . 设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ，若 ? b, a ? b

f ( x) ? sin x , g (x ) ? cosx， x ? R ，则 F ( x) 的值域为（
A. ? ?1,1?

）.

? 2 ? ,1? B. ? ? ? 2 ?

? 2? C. ? ?1, ? 2 ? ?

? 2? D. ? ?1, ? ? 2 ? ?

第二部分

非选择题（共 110 分）

二、填空题（本大题共 7 小题，其中 9—12 题是必做题，13—15 题是选做题.每小题 5 分，满分 30 分） x2 9．已知双曲线 ? y 2 ? 1 ，则其渐近线方程为_________,离心率为________. 4 2 10． ( x ? )6 展开式中，常数项是__________. x 11 ． 设 数 列 ?an ? 为 公 比 q ? 1 的 等 比 数 列 ， 若 a4 , a5 是 方 程 4 x2 ? 8x ? 3? 0的 两 根 ， 则

a6 ? a7 ? _________.
2

11

12．已知函数 f ( x) ?

4 ，值域是 ?0,1? ，则满足条件的 ? 1 的定义域是 ?a, b ? （ a, b 为整数） | x | ?2

整数数对 (a, b) 共有_________个. ▲ 选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分. 13. （几何证明选讲）如图， AB 、 CD 是圆 O 的两条弦，且 AB 是线段 CD 的中垂线，已知 AB=6，CD= 2 5 ，则线段 AC 的长度为 ．
D A

C

B

14. （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 ） ) 在 直 角 坐 标 系 中 圆 C 的 参 数 方 程 为

? ? x ? 2c o s （ ? 为参数） ，则圆 C 的普通方程为__________，以原点 第 13 题图 ? ? ?y ? 2 ? 2s in O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆 C 的圆心极坐标为_________． 1 15.（不等式选讲）已知 f ( x) ? x ? x ? 1 ，则 f ( ) ? ， f ( x) ? 2 的取值范围为 2
三、解答题（本大题共 6 题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16． （本题满分 12 分） y 如图 A 、B 是单位圆 O 上的点，C 是圆与 x 轴正半轴的交点， 3 4 A( , ) 3 4 5 5 B A 点的坐标为 ( , ) ，三角形 AOB 为正三角形． C 5 5 x O （Ⅰ）求 sin ?COA ； （Ⅱ）求 | BC | 2 的值．
第 16 题图
P

．

17． （本题满分 12 分） 如图，在组合体中， ABCD ? A1 B1C1 D1 是一个长方体， P ? ABCD 是 一 个 四 棱 锥 ． AB ? 2 ， BC ? 3 ， 点

D A B

C

P ? 平面CC1D1D 且 PD ? PC ? 2 ． （Ⅰ）证明： PD ? 平面PBC ； （Ⅱ）求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值； （Ⅲ）若 AA1 ? a ，当 a 为何值时， PC // 平面AB1 D ．
18.（本小题满分 14 分）

D1 A1 第 17 题图 B1

C1

抛物线 y 2 ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2 ，该抛物线上的每个点到准线 x ? ?2 的距离都与 到定点 N 的距离相等，圆 N 是以 N 为圆心，同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆， （Ⅰ）求定点 N 的坐标；
3

11

（Ⅱ）是否存在一条直线 l 同时满足下列条件： ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点，且 AB 中点为 E (4,1) ； ② l 被圆 N 截得的弦长为 2 ． 19． （本小题满分 14 分） 佛山某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为 14000 元，每生 产一件产品，成本增加 210 元．已知该产品的日销售量 f ( x) 与产量 x 之间的关系式为

? 1 2 x , 　　 0 ? x ? 400 ? f ( x) ? ? 625 ，每件产品的售价 g ( x) 与产量 x 之间的关系式为 ?256, 　　　x ? 400 ? ? 5 0 ? x ? 400 ?? x ? 750, 　　 g ( x) ? ? 8 ． ?500, 　　　　　x ? 400 ?
（Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润 Q( x) 与产量 x 之间的关系式； （Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润． 20． （本小题满分 14 分） 设直线 l : y ? g ( x),曲线S : y ? F ( x) . 若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件：①直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点； ②对任意 x∈R 都有 g ( x) ? F ( x) . 则称直线 l 为曲线 S 的 “上 夹线” ． （Ⅰ）已知函数 f ( x) ? x ? 2sin x ．求证： y ? x ? 2 为曲线 f ( x) 的“上夹线” ． （Ⅱ）观察下图：
y y=x+ 1 y=x y=x -sinx y=x -1

y y=2x -2sinx y=2x -2 y=2x
O

O

x

x

y=2x+ 2
根据上图，试推测曲线 S : y ? mx ? n sin x(n ? 0) 的“上夹线”的方程，并给出证明．

4

11

21． （本小题满分 14 分） 1 1 数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ?1 ? ． 2 ? an 2 （Ⅰ）求数列{ an }的通项公式； （Ⅱ）设数列{ an }的前 n 项和为 S n ，证明 Sn ? n ? ln(

n?2 )． 2

2008 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数学试题（理科）参考答案和评分标准
一、选择题（每题 5 分，共 40 分） 1 2 3 4 5 6 题号 C A A B B D 答案 二、填空题（每题 5 分，共 30 分,两空的前一空 3 分，后一空 2 分） 7 C 8 C

1 9． y ? ? x ， 2
13． 30

2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 16． （本题满分 12 分） 如图 A 、 B 是单位圆 O 上的点， C 是圆与 x 轴正半轴的交 3 4 A 点的坐标为 ( , ) ，三角形 AOB 为正三角形． 5 5 （Ⅰ）求 sin ?COA ；
（Ⅱ）求 | BC | 的值．
2

? 14． x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ， (2, )

5 2

10．60

11． 18

12．5 15. 1 ， ?

1 3 ?x? 2 2

y
B O

3 4 A( , ) 5 5 C

点，

x

3 4 解： (Ⅰ)因为 A 点的坐标为 ( , ) ，根据三角函数定义可知 5 5 3 4 x? ， y ? ， r ?1 5 5 y 4 所以 sin ?COA ? ? r 5

……2 分 ……4 分

5

11

(Ⅱ) 因 为 三 角 形 A O B 为 正 三 角 形 ， 所 以 ?AOB ? 60? ， sin ?COA ?

4 ， 5

cos ?COA ?

3 ， 5

……5 分

所以 cos ?COB ? cos(?COB ? 60? ) ? cos ?COB cos60? ? sin ?COB sin 60?
? 3 1 4 3 3?4 3 ? ? ? ? 5 2 5 2 10

……8 分

所以 | BC |2 ?| OC |2 ? | OB |2 ?2 | OC || OB | cos ?BOC

3? 4 3 7 ? 4 3 ? 10 5 17、 （本题满分 12 分） ?1?1? 2?
如图，在组合体中， ABCD ? A1 B1C1 D1 是一个长方体，

……12 分

P

P ? ABCD 是 一 个 四 棱 锥 ． AB ? 2 ， BC ? 3 ， 点
P ? 平面CC1D1D 且 PD ? PC ? 2 ．
（Ⅰ）证明： PD ? 平面PBC ； （Ⅱ）求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值； （Ⅲ）若 AA1 ? a ，当 a 为何值时， PC // 平面AB1 D ．
A1 D1 B1 C1 D A B C

(Ⅰ) 证明：因为 PD ? PC ? 2 ， CD ? AB ? 2 ，所以 ?PCD 为等腰直角三角形，所以

PD ? PC ．

……1 分

因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 是一个长方体，所以 BC ? 面CC1D1D ，而 P ? 平面CC1D1D ，所以

PD ? 面CC1D1D ，所以 BC ? PD ．
分

……3

因为 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC ， 由线面垂直的判定定理，可得 PD ? 平面PBC ．…4 分 (Ⅱ)解： 过 P 点在平面 CC1 D1 D 作 PE ? CD 于 E ， 连接

6

11

AE ．……5 分
因为 面ABCD ? 面PCD ，所以 PE ? 面ABCD ，所以 ?PAE 就是 PA 与平面 ABCD 所成的 角．……6 分 因为 PE ? 1， AE ? 10 ，所以 tan ?PAE ?

PE 1 10 ． ? ? AE 10 10

……7 分

所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 (Ⅲ)解：当 a ? 2 时， PC // 平面AB1 D ．

10 ． 10

……8 分 ……9 分

当 a ? 2 时，四边形 CC1 D1 D 是一个正方形，所以 ?C1 DC ? 450 ，而 ?PDC ? 450 ，所以

?PDC1 ? 900 ，所以 C1D ? PD ．
而 PC ? PD ， C1 D 与 PC 在同一个平面内，所以 PC // C1D ． 而 C1D ? 面AB1C1D ， 所 以 PC // 面AB1C1 D ， 所 以

……10 分 ……11 分

PC // 平面AB1 D ．

……12 分

z

P

方法二、方法二：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系，设棱 长 AA1 ? a ， 则 有 D(0,0, a) ， P(0,1, a ? 1) ， B(3,2, a) ，
A

D B

C

C (0,2, a) ．

??2 分
A1

??? ? ??? ? ??? ? 于是 PD ? (0, ?1, ?1) ， PB ? (3,1, ?1) ， PC ? (0,1, ?1) ，

D1 B1

C1

y

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 PD ? PB ? 0 ， PD ? PC ? 0 ．??3 分

x

所以 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC ，由线面垂直的判定定理，可得

PD ? 平面PBC ．

??4 分

??? ? ?? ? (Ⅱ) A(3,0, a) ，所以 PA ? (3, ?1, ?1) ，而平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) ．?5 分

7

11

??? ? ?? ? 所以 cos ? PD, n1 ??

?1 11 ? 1

??

11 ． 11

??6 分

11 ． 11 10 所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 ． 10
所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正弦值为

??7 分 ??8 分

AB1 ? (0,2,? a ) ． (Ⅲ) B1 ? (3,2,0) ， 所以 DA ? (3,0,0) ， 设平面 AB1D 的法向量为 n2 ? ( x, y, z ) ，

? DA ? n2 ? 3x ? 0 ? 则 有 ? ， 令 z ? 2 ， 可 得 平 面 AB1D 的 一 个 法 向 量 为 ? ? AB1 ? n2 ? 2 y ? az ? 0
n2 ? (0, a,2) ．
??10 分

若要使得 PC // 平面AB1 D ，则要 PC ? n2 ，即 PC ? n2 ? a ? 2 ? 0 ，解得 a ? 2 ．?11 分 所以当 a ? 2 时， PC // 平面AB1 D ． 18.（本小题满分 14 分） 抛物线 y 2 ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2 ，该抛物线上的每个点到准线 x ? ?2 的距离都与 到定点 N 的距离相等，圆 N 是以 N 为圆心，同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆， （Ⅰ）求定点 N 的坐标； （Ⅱ）是否存在一条直线 l 同时满足下列条件： ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点，且 AB 中点为 E (4,1) ； ② l 被圆 N 截得的弦长为 2 ． 解： （1）因为抛物线 y ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2
2

??12 分

所以 p ? 4 ，根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点， 所以定点 N 的坐标为 (2,0) （2）假设存在直线 l 满足两个条件，显然 l 斜率存在， 设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 4) ， ?k ? ?1?

-----------2 分 ----------------------------3 分 -----------4 分 ------------------------5 分

8

11

以 N 为圆心，同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆 N 的半径为 2 ， ----6 分 方法 1：因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2，所以圆心到直线的距离等于 1， 即d ? -------7 分

2k ? 1

4 ? 1 ，解得 k ? 0或 ， 3 1? k
2

-------------------------------8 分

当 k ? 0 时，显然不合 AB 中点为 E (4,1) 的条件，矛盾！ 当k ? 由?

--------------9 分 ----------------------------10 分

4 时， l 的方程为 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 3

?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ，解得点 A 坐标为 ?13,13? ， ? y?x ?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ? 13 13 ? ，解得点 B 坐标为 ? ,? ? ， 7? ?7 ? y ? ?x

------------------11 分

由?

------------------12 分

显然 AB 中点不是 E (4,1) ，矛盾！ 所以不存在满足条件的直线 l ． 方法 2：由 ?

----------------------------------13 分 ------------------------------------14 分 ------7 分

? y ? 1 ? k ( x ? 4) ? 4k ? 1 4k ? 1 ? ，解得点 A 坐标为 ? , ?， ? k ?1 k ?1 ? ?y?x

由?

? y ? 1 ? k ( x ? 4) ? 4k ? 1 4k ? 1 ? ，解得点 B 坐标为 ? ,? ?， 1? k ? ? 1? k ?y ? ?x

------------8 分

因为 AB 中点为 E (4,1) ，所以

4k ? 1 4k ? 1 ? ? 8 ，解得 k ? 4 ， k ?1 k ?1

---------10 分

所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 ? 0 ，

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 ， 17

-------------------------------11 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2，所以圆心到直线的距离等于 1，矛盾！ ----13 分 所以不存在满足条件的直线 l ． -------------------------------------14 分 方法 3：假设 A 点的坐标为 (a, a) ， 因为 AB 中点为 E (4,1) ，所以 B 点的坐标为 (8 ? a,2 ? a) ，
9

-------------8 分

11

又点 B 在直线 y ? ?x 上，所以 a ? 5 ， 所以 A 点的坐标为 (5,5) ，直线 l 的斜率为 4， 所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 ? 0 ，

----------------------------9 分

-----------------------------10 分

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 ， 17

-----------------------------11 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2，所以圆心到直线的距离等于 1，矛盾！ ---------13 分 所以不存在满足条件的直线 l ． ----------------------------------------14 分 19． （本小题满分 14 分） 佛山某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为 14000 元，每生 产一件产品，成本增加 210 元．已知该产品的日销售量 f ( x) 与产量 x 之间的关系式为

? 1 2 x , 　　 0 ? x ? 400 ? f ( x) ? ? 625 ，每件产品的售价 g ( x) 与产量 x 之间的关系式为 ?256, 　　　x ? 400 ? ? 5 0 ? x ? 400 ?? x ? 750, 　　 g ( x) ? ? 8 ． ?500, 　　　　　x ? 400 ?
（Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润 Q( x) 与产量 x 之间的关系式； （Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润． 解：(Ⅰ)总成本为 c( x) ? 14000 ? 210x ． 所以日销售利润 Q( x) ? f ( x) g ( x) ? c( x) ??1 分

1 3 6 2 ? 0 ? x ? 400 ?? 1000 x ? 5 x ? 210 x ? 14000, 　　 ?? ． ?? 210 x ? 114000, 　　　　　　　　x ? 400 ?
(Ⅱ)①当 0 ? x ? 400 时， Q / ( x) ? ?

??6 分

3 2 12 x ? x ? 210 ． 1000 5

??7 分 ??8 分

令 Q / ( x) ? 0 ，解得 x ? 100 或 x ? 700 ．

于是 Q( x) 在区间 [0,100] 上单调递减， 在区间 [100,400] 上单调递增， 所以 Q( x) 在 x ? 400 时 取到最大值，且最大值为 30000；
10

??10 分

11

②当 x ? 400 时， Q( x) ? ?210x ? 114000 ? 30000 ．

??12 分

综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产 400 件产品，其最大利润为 30000 元． 20． （本小题满分 14 分） 设直线 l : y ? g ( x),曲线S : y ? F ( x) . 若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件：①直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点； ②对任意 x∈R 都有 g ( x) ? F ( x) . 则称直线 l 为曲线 S 的 “上 夹线” ． （Ⅰ）已知函数 f ( x) ? x ? 2sin x ．求证： y ? x ? 2 为曲线 f ( x) 的“上夹线” ． （Ⅱ）观察下图：
y y=x+ 1 y=x y=x -sinx y=x -1

??14 分

y y=2x -2sinx y=2x -2 y=2x
O

O

x

x

y=2x+ 2
根据上图，试推测曲线 S : y ? mx ? n sin x(n ? 0) 的“上夹线”的方程，并给出证明． 解 （Ⅰ）由 f ( x) ? 1 ? 2 cos x ? 1 得 cos x ? 0 ，
'

-----------1 分

当x?? 此时

?
2

时， cos x ? 0 ，

y1 ? x ? 2 ? ?

?
2

? 2 ， y2 ? x ? 2 sin x ? ? ? ? 2 ，
2

-----------2 分 -----------3 分

? ? ? ? y1 ? y2 ，所以 ? ? ,? ? 2 ? 是直线 l 与曲线 S 的一个切点； ? 2 2 ? 3? 当x? 时， cos x ? 0 ， 2 3? 3? 此时 y1 ? x ? 2 ? ? 2 ， y2 ? x ? 2 sin x ? ? 2， 2 2 ? 3? 3? ? ? 2 ? 是直线 l 与曲线 S 的一个切点； y1 ? y2 ，所以 ? , ? 2 2 ?
所以直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点；
11

-----------4 分 -----------5 分

11

对任意 x∈R， g ( x) ? F ( x) ? ( x ? 2) ? ( x ? 2 sin x) ? 2 ? 2 sin x ? 0 ， 所以 g ( x) ? F ( x) ---------------------------------------------------------------------6 分 ----------7 分 ------9 分 因此直线 l : y ? x ? 2 是曲线 S : y ? ax ? b sin x 的“上夹线” ． （Ⅱ）推测： y ? mx ? n sin x(n ? 0) 的“上夹线”的方程为 y ? mx ? n ①先检验直线 y ? mx ? n 与曲线 y ? mx ? n sin x 相切，且至少有两个切点： 设： F ( x) ? mx ? n sin x

? F ' ( x) ? m ? n cos x ，
\ 令 F ' ( x) ? m ? n cos x ? m ，得： x ? 2k? ?
当 x ? 2 k? ?

?
2

（k ? Z）

------10 分

?
2

时, F (2k? ?

?

) ? m(2k? ? ) ? n 2 2

?

故：过曲线 F ( x) ? mx ? n sin x 上的点( 2k? ? y－[ m(2k? ?

?
2

， m(2k? ?

?
2

) ? n )的切线方程为：

?
2

) ? n ]= m [ x －( 2k? ?

?
2

)]，化简得： y ? mx ? n ． -----12 分

即直线 y ? mx ? n 与曲线 y ? mx ? n sin x 相切且有无数个切点． 不妨设 g ( x) ? mx ? n ②下面检验 g(x) ? F(x)

?g(x)－F(x)= n(1 ? sin x) ? 0(n ? 0)
\ 直线 y ? mx ? n 是曲线 y ? F ( x) ? mx ? n sin x 的“上夹线”．
21． （本小题满分 14 分） 1 1 数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ?1 ? ． 2 ? an 2 （Ⅰ）求数列{ an }的通项公式； （Ⅱ）设数列{ an }的前 n 项和为 S n ，证明 Sn ? n ? ln( 解：(Ⅰ)方法一： an?1 ? 1 ? 所以 -----14 分

a ?1 1 ， ?1? n 2 ? an 2 ? an

n?2 )． 2

1 an?1 ? 1

?

2 ? an 1 ． ? ?1 ? an ? 1 an ? 1

??3 分

12

11

所以 {

1 } 是首项为 ? 2 ，公差为 ? 1 的等差数列． an ? 1

??4 分

所以

n 1 ． ? ? n ? 1 ，所以 an ? an ? 1 n ?1
2 3 4 n ， a3 ? ， a4 ? ，猜测 an ? ． 3 4 5 n ?1

??6 分

方法二： a2 ?

??2 分

下用数学归纳法进行证明．

1 ，命题成立； 2 k ②假设当 n ? k ( k ? 1, k ? N )时成立，即 ak ? ，那么 k ?1 1 1 k ?1 当 n ? k ? 1， ak ?1 ? ， ? ? 2 ? ak 2 ? k k?2 k ?1
①当 n ? 1 时，由题目已知可知 a1 ? 也就是说，当 n ? k ? 1时命题也成立． 综上所述，数列 {a n } 的通项公式为 an ? （Ⅱ） 设 F ( x) ? ln( x ? 1) ? x( x ? 0) 则 F ?( x) ?

??3 分

??5 分

n ． n ?1

??6 分

1 ?x ?1 ? ? 0( x ? 0) x ?1 x ?1

??8 分

函数 F ( x) 为 (0, ??) 上的减函数，所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ，即 ln( x ? 1) ? x( x ? 0) 从而 ln(1 ?

1 1 1 1 )? ,1 ? ? 1 ? ln(1 ? ), n ?1 n ?1 n ?1 n ?1

??10 分 ??11 分 ??13 分 ??14 分

an ? 1 ?

1 ? 1 ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1), n ?1

Sn ? (1 ? ln 3 ? ln 2) ? (1 ? ln 4 ? ln 3) ? ? ? [1 ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1)]

Sn ? n ? ln(

n?2 ) 2

13