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第二章 平面向量 单元测试2含试卷分析高中数学人教A版必修4

(时间:100 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是正确的) → → → → 1.AB+AC-BC+BA化简后等于( ) → → A.3AB B.AB → → C.BA D.CA → → → → → → → → → → 解析:选 B.原式=(AB+BA)+(AC-BC)=(AB-AB)+(AC+CB)=0+AB=AB,故选 B. 2.已知 i=(1,0),j=(0,1),则与 2i+3j 垂直的向量是( ) A.3i+2j B.-2i+3j C.-3i+2j D.2i-3j 解析:选 C.2i+3j=(2,3),C 中-3i+2j=(-3,2).因为 2× (-3)+3× 2=0,所以 2i+3j 与-3i+2j 垂直. 3.下列说法正确的是( ) A.两个单位向量的数量积为 1 B.若 a· b=a· c,且 a≠0,则 b=c → → → C.AB=OA-OB D.若 b⊥c,则(a+c)· b=a· b 解析:选 D.A 中,两向量的夹角不确定,故 A 错;B 中,若 a⊥b,a⊥c,b 与 c 反方 → → → 向,则不成立,故 B 错;C 中,应为AB=OB-OA,故 C 错;D 中,因为 b⊥c,所以 b· c= 0,所以(a+c)· b=a· b+c· b=a· b,故 D 正确. 4.已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 4b-2a 平行,则实数 x 的值是( ) A.-2 B .0 C.1 D.2 解析:选 D.因为 a=(1,1),b=(2,x),所以 a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),由 于 a+b 与 4b-2a 平行,得 6(x+1)-3(4x-2)=0,解得 x=2. 5.已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( ) A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b 解析:选 B.因为|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a· b=0,所以 a⊥b,选 B. 6.已知向量 a=(3,4),b=(-3,1),a 与 b 的夹角为 θ,则 tan θ 等于( ) 1 1 A. B.- 3 3 C.3 D.-3 解析:选 D.由题意,得 a· b=3× (-3)+4× 1=-5,|a|=5,|b|= 10, -5 1 a· b 则 cos θ= = =- . |a||b| 5 10 10 3 ∵θ∈[0,π],∴sin θ= 1-cos2θ= , 10 sin θ ∴tan θ= =-3. cos θ → → 7.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为( ) 7 1 A.(2, ) B.(2,- ) 2 2 C.(3,2) D.(1,3) 解析:选 A.设 D(x,y), → → → → 则BC=(4,3),AD=(x,y-2).又BC=2AD, x=2, ? ? ? ?4=2x, 故? 解得? 7 ?3=2(y-2), ? ?y=2. ? 8.两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们的夹角为 90° 时,合力的大小为 20 N,则当它 们的夹角为 120° 时,合力的大小为( ) A.40 N B.10 2 N C.20 2 N D. 10 N 解析:选 B.对于两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们的夹角为 90° ,合力的大小为 20 N 时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是 10 2 N;当它们的夹角为 120° 时,由三角形 法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为 10 2 N. → → → → → 9.A,B,C,D 为平面上四个互异点,且满足(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0,则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 → → → → → 解析:选 B.∵(DB+DC-2DA)· (AB-AC) → → → → → → =(DB-DA+DC-DA)· (AB-AC) → → → → → → =(AB+AC)· (AB-AC)=AB2-AC2=0, → → ∴|AB|=|AC|,∴△ABC 为等腰三角形. 10.在平面直角坐标系中,若 O 为坐标原点,则 A,B,C 三点在同一直线上的等价条件 → → → → → → 为存在唯一的实数 λ,使得OC=λOA+(1-λ)OB成立,此时称实数 λ 为“向量OC关于OA和OB → 的终点共线分解系数”.若已知 P1(3,1),P2(-1,3),且向量OP3与向量 a=(1,1)垂直,则 → → → “向量OP3关于OP1和OP2的终点共线分解系数”为( ) A.-3 B .3 C.1 D.-1 → → 解析:选 D.设OP3=(x,y),则由OP3⊥a 知 x+y=0, → 于是OP3=(x,-x), → → → 设OP3=λOP1+(1-λ)OP2, (x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3),∴λ=-1. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) → 11.已知点 A(-1,-5),a=(2,3),若AB=3a,则点 B 的坐标为________. 解析:设 B(x,y),(x+1,y+5)=3(2,3), ? ? ?x+1=6, ?x=5, ? 解得? ?y+5=9, ?y=4. ? ? 答案:(5,4) 12.设 e1,e2 是两个不共线的向量,a=3e1+4e2,b=e1-2e2.若以 a,b 为基底表示向量 e1+2e2,即 e1+2e2=λa+μb,则 λ+μ=________. 解析:由 a=3e1+4e2,b=e1-2e2, 1 2 1 3 得 e1= a+ b,e2= a- b, 5 5 10 10 2

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