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安徽省芜湖市六洲中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题

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1.已知全集 U=R,集合 A ? {x | lg x ? 0}, B ? {x | 2 x ? 1}, 则CU ( A ? B) =( A. (??,1) B. (1, ??) C. ? ??,1? D. ?1, ?? ?



A ? {x | x 2 ? 9 x ? 0, x ? N * }, B ? { y |
2.若集合 A.0 个 B.1 个
x

4 ? N *}, 则A ? B y 中元素个数为(




C.2 个

D.3 个

3.已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 ,则函数 y ? f ( x) 的图象可能是(

A

B

C

D

4.设集合 B ? ?a1 , a2 , ???, an ? , J ? ?b1 , b2 , ???, bm ? ,定义集合

B ? J ? {? a, b ? a ? a1 ? a2 ? ??? ? an , b ? b1 ? b2 ? ??? ? bm } ,已知 B ? ?0,1, 2? ,
J ? ?2,5,8? ,则 B ? J 的子集为(
A. )

? 3,15?

B. ?(3,15)?

C. ?,

?3,15?

D. ?,

?(3,15)?

5 . 定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,若当 x ∈ (0 , 3) 时,

f ( x) ? 2 x ,则当 x∈(- 6,-3)时, f ( x) =(



A. 2 x ? 6
x y

B.- 2 x ? 6
1 1

C. 2 x ?6




D.- 2 x ?6

6.已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则 + 的最小值是(

x y

A.2 3

B.4 3
2

C.2+ 3

D.4+2 3

7. 用数学归纳法证明 1+2+3+…+n = 上( A.k +1 C.
2

n4+n2
2

, 则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加

). B.(k+1)
4 2

k+

+ 2

k+

2

D.(k +1)+(k +2)+(k +3)+…+(k+1)

2

2

2

2

8、在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为 1 , ? 3 .若以原点 O 为极点, x 轴正半

?

?

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轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是( π? 4π ? π? ? ? ? A. ?1 , ? ? B. ? 2 , C. ? 2 , ? ? ? 3? 3 ? 3? ? ? ?


4π ? ? D. ? 2 , ? ? 3 ? ?

9.已知 f ( x) 是 R 上的偶函数,若将 f ( x) 的图象向右平移一个单位后,则得到一个奇函数 的图象,若 f (2) ? ?1, 则f (1) ? f (2) ? f (3) ? A.1007 B.1 C.-1

? f (2014) ? (


x

D. -1007

10.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2 ,x+2,10-

x}(x≥0),则 f(x)的最大值为
A.4 B.5 C.6 D.7

(

)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案填写在横线上)
2 4 2 4 5 3 ?5 2 5 11. 设 a ? ( ),b ? ( ) ,c ? ( ) ,则 a,b,c 的大小关系是 5 2 3



π? ? 12、 已知曲线 C1 , C2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3 ,? ? 4 cos ? ? ? ≥ 0, 0 ≤ ? ? ? , 2? ? 曲线 C1 、 C2 交点的极坐标为 .



? x ? 1 ? 2cos ? 13、若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与曲线 ? ( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 的取 ? y ? ?2 ? sin ? 值范围是 . 14、对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________.

15、若?x∈R,使|x-a|+|x-1|≤4 成立,则实数 a 的取值范围是________. 三、 解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) x2 16、(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设 P( x ,y ) 是椭圆 ? y 2 ? 1 上的 3 一个动点,求 S ? x ? y 的最大值.

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?| x ? a | . (1)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ?1 ? x ? 5 ,求实数 a 的值;

?

?

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(2)在(1)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值 范围.

19.(本小题满分 12 分)是否存在常数 a、b、c 使等式 1 +2 +3 +…+n +(n-1) +…+ 2 +1 =an(bn +c)对于一切 n∈N 都成立,若存在,求出 a、b、c 并证明;若不存在, 试说明理由.
2 2 2 *

2

2

2

2

2

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? b ? a (其中 a, b 为常数且 a ? 0, a ? 1 )的图象经
x

过点 A(1, 6), B (3, 24).

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(1)试确定 f ( x) ? b ? a 的解析式(即求 a, b 的值)
x

(2)若对于任意的 x ? (??,1], ( ) x ? ( ) x ? m ? 0 恒成立,求 m 的取值范围; (3)若 g ( x) ?

1 a

1 b

cxf ( x) ,试讨论 g ( x) 在区间(-1,1)上的单调性. (c ? 0, c 为常数) 2 ( x 2 ? 1)
x

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) 的定义域为 (??, ?1)

(1, ??) ,对定义域内的任意

x ,满足 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,当 x ? ?1 时, f ( x) ?
是函数 f ( x) 的一个极值点. (Ⅰ)若 x ? 2 时, f ( x) ? (Ⅱ)求证: n ? 2( ?

1 ? ln(? x ? 1) (a 为常数 ) ,且 x ? 2 x?a

m ,求实数 m 的取值范围; x ? n ) ? ln(n ? 1) . n ?1

1 2

2 3 ? ? 3 4

2015 届高三第一次月考数学(理科)试卷参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C

二、填空题 (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

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11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16、

17. 解:⑴解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. -5x,x< , ? 2 ? 1 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则 y=? -x-2, ≤x≤1, 2 ? ?3x-6,x>1. 其图象如图所示.从图象可知,当且仅当 0<x<2 时,y<0. 1

所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. a 1? (2)当 x∈? ?-2,2?时,f(x)=1+a. a 1? 不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3.所以 x≥a-2 对 x∈? ?-2,2?都成立. 4? a 4 故- ≥a-2,即 a≤ .从而 a 的取值范围是? ?-1,3?. 2 3

18.解法一: (1)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? a ? 3 . 又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ?1 ? x ? 5 ,

?

?

所以 ?

?a ? 3 ? ?1, 解得 a ? 2 .………………6分 ?a ? 3 ? 5,

(2)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | 。设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) ,于是

??2 x ? 1,x ? ?3; ? g ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |? ?5, ? 3 ? x ? 2; ?2 x ? 1,x ? 2. ?
所以当 x ? ?3 时, g ( x) ? 5 ;当 ?3 ? x ? 2 时, g ( x) ? 5 ;

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当 x ? 2 时, g ( x) ? 5 。综上可得, g ( x) 的最小值为 5。从而,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(- ? ,5]. ………………12 分 解法二: (1)同解法一. ………………6分 (2)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | 。设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) . 由 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5(当且仅当 ?3 ? x ? 2 时等号成立) 得,g ( x) 的最小值为 5. 从而,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为 (- ? ,5]. ………………12 分 19.当 n=1 时,a(b+c)=1;当 n=2 时,2a(4b+c)=6;

a b+c =1, ? ? 当 n=3 时,3a(9b+c)=19.解方程组?a b+c =3, ? ?3a b+c =19.

1 a= , ? ? 3 解得? b=2, ? ?c=1.

证明如下:①当 n=1 时,由以上知存在常数 a,b,c 使等式成立. ②假设 n=k(k∈N )时等式成立, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 即 1 +2 +3 +…+k +(k-1) +…+2 +1 = k(2k +1); 3 当 n=k+1 时, 1 +2 +3 +…+k +(k+1) +k +(k-1) +…+2 +1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 *

1 1 2 2 2 2 2 = k(2k +1)+(k+1) +k = k(2k +3k+1)+(k+1) 3 3 1 1 1 2 2 2 = k(2k+1)(k+1)+(k+1) = (k+1)(2k +4k+3)= (k+1)[2(k+1) +1]. 3 3 3 1 * 即 n=k+1 时,等式成立.因此存在 a= ,b=2,c=1 使等式对一切 n∈N 都成立. 3 20 解: (1)由题知 6=ba,24=ba3,解得 b=3,a=2,即 f(x)=3 ? 2x(3 分) (2) ( ) x ? ( ) x ? m ? 0 在 (??,1] 上恒成立,即 ( ) x ? ( ) x ? m 在 (??,1] 上恒成立,另

1 2

1 3

1 2

1 3

1 1 1 1 (2 分) 由于 h(x) ? ( ) x ? ( ) x , h(x) ? ( ) x ? ( ) x , x ? (??,1] ,即 m ? h( x) min , x ? (??,1] 2 3 2 3 5 5 是减函数,故 h( x) min ? h(1) ? ,即 m ? (2 分) 6 6 3cx (3) g ( x) ? 2 , x ? ( ?1,1) , (1 分)下证单调性。 x ?1

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任取 ?1 ? x1 ? x2 ? 1, 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

3cx1 3cx 3c( x2 ? x1 )( x1 x2 ? 1) , (2 分) ? 2 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)

由 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 知

3( x2 ? x1 )( x1 x2 ? 1) (1 分)故 ? 0, ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)

3cx , x ? ( ?1,1) 单调递减; x2 ?1 3cx 当 c ? 0 时, g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , g ( x) ? 2 ,x ? ( ?1,1) 单调递增. (2 x ?1
当 c ? 0 时, g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , g ( x) ? 分) 注意:用导数求也可以, g ?( x) ?

?3c( x ? 1) 2 。 ( x 2 ? 1) 2

21.解: (Ⅰ)由题意对定义域内的任意 x , f ( x) ? ? f (? x) ,? f ( x) 为奇函数, 当 x ? 1 时, ? x ? ?1 , f ( x) ? ? f (? x) ?

1 ? ln( x ? 1) x?a

x?a ? 1 ? ln( x ? 1) 则当 x ? 1 时, f ?( x) ? x ? 1 , ( x ? a)2
由 f ?(2) ? 0 解得 a ? 1 ,经验证,满足题意; ……………4 分

? x ? 1 时, f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) m x ? x ln( x ? 1) 当 x ? 2 时, f ( x) ? ? m ? xf ( x) ? x ?1 x x ?1 x ? x ln( x ? 1) 1 ? x ln( x ? 1) 令 g ( x) ? , ? 1? x ?1 x ?1 m 则当 x ? 2 时, f ( x) ? 恒成立,转化为 m ? g ( x ) 在 [2, ??) 上恒成立,………6 分 x

g ?( x) ?
h?( x) ?

x ? 1 ? ln( x ? 1) ,令 h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1)( x ? 2) , ( x ? 1) 2
x?2 ? 0 ,? h( x) 在 [2, ??) 上单调递增, x ?1

? h( x) ? h(2) ? 1 ? 0 ,? g ?( x) ? 0 ,? g ( x) 在 [2, ??) 上单调递增,

? g ( x) min ? g (2) ? 2 ,? m ? 2

即实数 m 的取值范围为 (??, 2] .…………9 分

2 1 ? ln( x ?1) 2 2 2 , 即 ? 则 ln( x ? 1) ? 1 ? ? 1 ? x x ?1 x x x ?1 k ?1 k ?1 2k 2k 令 x ?1 ? ,则 ln ,即 ln(k ? 1) ? ln k ? 1 ? …………11 分 ? 1? k k k ?1 k ?1
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知, 当 x ? 2 时,f ( x) ?

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? 当 k ? 1, 2,3,

, n 时,可得
2?3 , 3 ?1

ln 2 ? ln1 ? 1 ?

2 ?1 2? 2 , ln 3 ? ln 2 ? 1? , 1?1 2 ?1

2n n ?1 1 2 3 2 将以上不等式两端分别相加得: ln(n ? 1) ? n ? 2( ? ? ? ? ) 2 3 4 n ?1 1 2 3 2 即 n ? 2( ? ? ? ? ) ? ln(n ? 1) 成立.…………14 分 2 3 4 n ?1 ln 4 ? ln 3 ? 1 ? , ln(n ? 1) ? ln n ? 1 ?


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