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3.1.5空间向量运算的坐标表示


3.1.5 空间向量运算的

坐标表示

向量 a 在平面上可用有序实数对(x,y)

表示,在空间则用有序实数组{x,y,z}表示.
由平面向量的坐标运算,推广到空 间向量运算.

平面向量运算的坐标表示: ? ? 设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则

? ? a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ) ; ? ? a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ) ; ? (?a1 , ?a2 ) ; ?a ? ? ? a1b1 ? a2b2 a ?b ? ; ? ? ? 2 2 a ? ? a1 ? a2 a ?a

;

? ? a12 ? a2 2 b12 ? b2 2 ; cos a , b ? ? ? ? ? ? a / / b ? a ? ?b (? ? R) ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R); ? ? ? ? a ?b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? 0

? ? a ?b ? ? a b

a1b1 ? a2 b2

1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单
几何体的顶点坐标.

2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个
向量的共线或垂直.(重点)

3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离
公式,并能运用这些知识解决一些相关问题.

(难点)

探究点1 空间向量运算的坐标表示 ? ? 设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则 ? ? a ? b ? ( a 1 ? b1 , a 2 ? b2 , a 3 ? b3 ) ; ? ? a ? b ? ( a 1 ? b1 , a 2 ? b2 , a 3 ? b3 ) ;

? ? ? ? a / / b ? a ? ? b ? a1 ? ? b1 , a 2 ? ? b2 , a 3 ? ? b3 ( ? ? R ); ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3 ? 0 .

? ? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R) ; ? ? a ? b ? a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3 ;

探究点2 距离与夹角 ? ? 设 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3). 1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式

? 2 ? ? 2 2 2 | a | ? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 . ?2 ? ? 2 2 2 | b | ? b ? b ? b1 ? b2 ? b3 .
注意:此公式的几何意义是表示长方体的对角线 的长度.

(2)空间两点间的距离公式

在空间直角坐标系中,已知 A ( x1 , y1 , z1 ) 、
B ( x 2 , y 2 , z 2 ),则 ???? AB ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 , z 2 ? z1 )

???? ???? ???? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 ?| AB |? AB ?AB ?

d AB

???? ?| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2

2.两个向量夹角公式 ? ? ? ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 a ?b . cos ? a , b ?? ? ? ? | a |?| b | a12 ? a2 2 ? a32 ? b12 ? b2 2 ? b32 注意:

? ? ? ? (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, 与 b 同向. a

? ? ? a (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时, 与

? b 反向. ? ? ? ? (3)当 cos ? a , b ?? 0 时,a ? b .

? ? ? ? 思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1 及 ?1 ? cos ? a , b ?? 0

时,夹角在什么范围内?

? ? 例1. 已知 a =(2,-3,5),b =(-3, 1,-4), ? ? ? ? ? ? ? ? 求a + b,a - b, |a|,8a,a ? b

? ? 解: + b =(2,-3,5)+(-3,1,-4)=(-1,-2,1), a ? ? a - b =(2,-3, 5)-(-3, 1,-4)=(5,-4,9), ? 2 2 2 |a|= 2 +(-3) +5 = 38 , ? 8a = 8(2,-3,5)=(16,-24,40), ? ? a ? b =(2,-3,5)(-3,1,-4)= 2× ? (-3)+(-3) ×1+5× (-4)

= -29.

例2

如图,

在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,B1 E1 ?
,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值. 解:设正方体的棱长为1,如图建
C1

A1 B1 ? D1 F1 ? 4

z
DD1 1
A1 F1 E1 B1

立空间直角坐标系 Dxyz ,则
3 B(1 , 1 , 0) , E1 (1 , , 1) , 4
D(0 , 0 , 0) , F1 (0 , 1 ,1) . 4

D

C

y

A

B

???? ? 3 1 BE1 ? (1 , , 1) ? (1 , 1 , 0) ? (0 , ? , 1) , 4 4
???? ? 1 1 DF1 ? (0 , ,1)? (0 , 0 , 0)? (0 , ,1). 4 4

x

???? ???? ? ? 1 1 15 BE1 ?DF1 ? 0 ? 0 ? ( ? ) ? ? 1 ? 1 ? , 4 4 16

???? 17 ???? 17 ? ? | BE1 |? , | DF1 |? . 4 4
15 ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? BE1 ?DF1 15 16 ? ? 所以 cos ? BE1 , DF1 ?? ???? ???? ? ? . | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 ? 4 4

例 3 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是 BB1 , D1 B1 的中点,求证: EF ? DA1 .

1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 ???? 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) . 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) , ???? ? 所以 DA1 ? (1 , 0 , 1)

???? ???? ? 1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 ???? ???? ? 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1 .

? ? ? 1.与a = ? 2,-1,2 ? 共线,且满足 a ? z = -18 ? ? ?4, 2, ?4 ? 的z = . ?? ? ?? ? 2.A ?1,2, ? ,B ? -1,3,4 ? ,AP = 2PB, 1

?? ? 则OP =

1 8 (? , ,3) 3 3
3
,q =

.

3.三点A ?1,5,-2 ? ,B ? 2,4, ? ,C ? p,3,q ? 共线, 1 则p =

4

.

(1,-1,2)

2
101

7、如图,在棱长为1的正方体

ABCD-A1B1C1D1中,E ,F , G 分别是 DD1,BD,BB1的中点.
(1)求证:EF⊥CF.
(2)求CE的长.

1 1 ? 1? → → 1 1 所以EF· = × +(- )× +?- ?×0=0. CF 2 2 2 2 ? 2? → → 所以EF⊥CF,即 EF⊥CF. 1 → (2)由(1)知CE=(0,-1, ), 2 5 1 2 → 2 2 所以|CE|= 0 ? ( ?1) ? ( ) = . 2 2

1.基本知识: (1)向量的长度公式与两点间的距离公式. (2)两个向量的夹角公式. 2.思想方法:用向量计算或证明几何问题

时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐
标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或

证明.

平面向量的坐标表示

空间向量的坐标表示

? ? ? ? 设a =(a1 ,a 2 ),b =(b1 ,b2 )则 设a =(a1 ,a 2 ,a 3 ),b =(b1 ,b2 ,b3 )则

? ? a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ); ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ; ? ? a ? (? a1 , ? a2 ),(? ? R).

? ? a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ); ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; ? ? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 ),(? ? R).

拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一 种能力.


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