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乐安县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

乐安县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 如图所示,函数 y=|2x﹣2|的图象是(



A.

B.

C.

D.

2. 设 x∈R,则 x>2 的一个必要不充分条件是(



A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3

3. 向高为 H 的水瓶中注水,注满为止.如果注水量 V 与水深 h 的函数关系式如图所示,那么水瓶的形状是 ()

A.

B.

C.

D.

4. 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点 M(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之 和的最小值为( )

A.3

B.

C.

D.

5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体为( )

第 1 页,共 18 页

精选高中模拟试卷

A.四棱柱

B.四棱锥

C.三棱台

D.三棱柱

6. 把“二进制”数 101101(2)化为“八进制”数是(



A.40(8) B.45(8) C.50(8) D.55(8)

7. 已知命题 p:?x∈R,cosx≥a,下列 a 的取值能使“¬p”是真命题的是( )

A.﹣1 B.0 C.1 D.2
8. 集合?1, 2,3? 的真子集共有( )

A.个

B.个

C.个

D.个

9. 点 A 是椭圆

上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,I 是△ AF1F2 的内心.若

,则该椭圆的离心率为( )

A. B. C. D.

10.设函数 y ? f (x) 对一切实数 x 都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且方程 f (x) ? 0 恰有 6 个不同的实根,则这

6 个实根的和为( )

A.18

B.12

C. 9

D. 0

【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识,意在考查运算求解能力.

11.在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ? ( )

A. 4 3

B. 2 3

C. 3

D. 3 2

12.已知函数 f(x)=2ax3﹣3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是(



A.(1,+∞) B.(0,1) C.(﹣1,0) D.(﹣∞,﹣1)

二、填空题

13.已知实数 x,y 满足约束条

,则 z= 的最小值为



14.1785 与 840 的最大约数为 .

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15.已知向量 、 满足

,则| + |=



16.抛物线 y2=8x 上一点 P 到焦点的距离为 10,则 P 点的横坐标为



17.已知正整数 m 的 3 次幂有如下分解规律:

13 ? 1; 23 ? 3 ? 5 ; 33 ? 7 ? 9 ?11; 43 ? 13 ?15 ?17 ?19 ;…

若 m3(m ? N? ) 的分解中最小的数为 91,则 m 的值为

.

【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识,问题的给出比较新颖,对逻辑推理及化归能力有较高要求,难度

中等.

18.已知 a

?

b

?1,若 loga

b

?

logb

a

?

10 3



ab

?

ba

,则

a

?b=

三、解答题

▲.

19.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? 1 x2 ? (a ? 3)x ? ln x . 2

(1)若函数 f (x) 在定义域上是单调增函数,求的最小值;

(2)若方程 f (x) ? (1 ? a)x2 ? (a ? 4)x ? 0 在区间[1 , e] 上有两个不同的实根,求的取值范围.

2

e

20.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,现将△ ACD 沿对角线 AC 折起至△ ACP 位置,并使平面 PAC⊥平面
ABC.
(Ⅰ)求证:AC⊥PB; (Ⅱ)在菱形 ABCD 中,若∠ABC=60°,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ)求四面体 PABC 体积的最大值.
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21.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过 8 万元时,按销售利润的 15%进行奖励; 当销售利润超过 8 万元时,若超出 A 万元,则超出部分按 log5(2A+1)进行奖励.记奖金为 y(单位:万元), 销售利润为 x(单位:万元). (1)写出奖金 y 关于销售利润 x 的关系式; (2)如果业务员小江获得 3.2 万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于 E,过 E 的 (1)求证:CD=DA; (2)若 CE=1,AB= 2,求 DE 的长.

切线与 AC 交于 D.

23.【淮安市淮海中学

2018

届高三上第一次调研】已知函数

f

?x?

?

?3x 3x?1

? ?

a b

.

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(1)当 a ? b ?1时,求满足 f ? x? ? 3x 的 x 的取值;

(2)若函数 f ? x? 是定义在 R 上的奇函数

? ? ? ? ①存在 t ?R ,不等式 f t2 ? 2t ? f 2t2 ? k 有解,求 k 的取值范围;

? ? ②若函数

g

?

x?

满足

f

?

x?

?

?? g

?

x?

?

2??

?

1 3

3?x ? 3x

,若对任意 x ? R ,不等式 g ?2x? ? m? g ? x? ?11恒成立,

求实数 m 的最大值.

24.已知二次函数 f(x)的图象过点(0,4),对任意 x 满足 f(3﹣x)=f(x),且有最小值是 .
(1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x 在区间[0,1]上的最小值,其中 t∈R; (3)在区间[﹣1,3]上,y=f(x)的图象恒在函数 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围.

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乐安县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B

【解析】解:∵y=|2x﹣2|=



∴x=1 时,y=0, x≠1 时,y>0. 故选 B. 【点评】本题考查指数函数的图象和性质,解题时要结合图象进行求解.

2. 【答案】A 【解析】解:当 x>2 时,x>1 成立,即 x>1 是 x>2 的必要不充分条件是, x<1 是 x>2 的既不充分也不必要条件, x>3 是 x>2 的充分条件, x<3 是 x>2 的既不充分也不必要条件, 故选:A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.

3. 【答案】 A

【解析】解:考虑当向高为 H 的水瓶中注水为高为 H 一半时,注水量 V 与水深 h 的函数关系. 如图所示,此时注水量 V 与容器容积关系是:V<水瓶的容积的一半. 对照选项知,只有 A 符合此要求. 故选 A.

【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识,考查运算求解能力,考查数形 结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
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4. 【答案】B 【解析】解:依题设 P 在抛物线准线的投影为 P′,抛物线的焦点为 F,

则 F( ,0),

依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|, 则点 P 到点 M(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和,

d=|PF|+|PM|≥|MF|=

=.

即有当 M,P,F 三点共线时,取得最小值,为 .
故选:B. 【点评】本题主要考查抛物线的定义解题,考查了抛物线的应用,考查了学生转化和化归,数形结合等数学思 想.

5. 【答案】 A
【解析】 试题分析:由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,直角梯形的上下底分别为 3 和 4,直角腰 为 1,棱柱的侧棱长为 1,故选 A. 考点:三视图 【方法点睛】本题考查了三视图的问题,属于基础题型,三视图主要还是来自简单几何体,所以需掌握三棱锥, 四棱锥的三视图,尤其是四棱锥的放置方法,比如正常放置,底面就是底面,或是以其中一个侧面当底面的放 置方法,还有棱柱,包含三棱柱,四棱柱,比如各种角度,以及以底面当底面,或是以侧面当底面的放置方法, 还包含旋转体的三视图,以及一些组合体的三视图,只有先掌握这些,再做题时才能做到胸有成竹. 6. 【答案】D 【解析】解:∵101101(2)=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45(10). 再利用“除 8 取余法”可得:45(10)=55(8). 故答案选 D.

7. 【答案】D 【解析】解:命题 p:?x∈R,cosx≥a,则 a≤1. 下列 a 的取值能使“¬p”是真命题的是 a=2. 故选;D.
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8. 【答案】C 【解析】

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考点:真子集的概念. 9. 【答案】B 【解析】解:设△AF1F2 的内切圆半径为 r,则
S△IAF1= |AF1|r,S△IAF2= |AF2|r,S△IF1F2= |F1F2|r,





∴ |AF1|r=2 × |F1F2|r﹣ |AF2|r,

整理,得|AF1|+|AF2|=2 |F1F2|.∴a=2 ,

∴椭圆的离心率 e= =

=.

故选:B.

10.【答案】A.
【解析】 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ? f (x) ? f (6 ? x) ,∴ f (x) 的图象关于直线 x ? 3对称, ∴ 6 个实根的和为 3? 6 ? 18,故选 A.
11.【答案】B 【解析】

考点:正弦定理的应用. 12.【答案】D 【解析】解:若 a=0,则函数 f(x)=﹣3x2+1,有两个零点,不满足条件. 若 a≠0,函数的 f(x)的导数 f′(x)=6ax2﹣6x=6ax(x﹣ ), 若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,
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若 a>0,由 f′(x)>0 得 x> 或 x<0,此时函数单调递增, 由 f′(x)<0 得 0<x< ,此时函数单调递减, 故函数在 x=0 处取得极大值 f(0)=1>0,在 x= 处取得极小值 f( ),若 x0>0,此时还存在一个小于 0 的 零点,此时函数有两个零点,不满足条件. 若 a<0,由 f′(x)>0 得 <x<0,此时函数递增, 由 f′(x)<0 得 x< 或 x>0,此时函数单调递减, 即函数在 x=0 处取得极大值 f(0)=1>0,在 x= 处取得极小值 f( ), 若存在唯一的零点 x0,且 x0>0, 则 f( )>0,即 2a( )3﹣3( )2+1>0, ( )2<1,即﹣1< <0, 解得 a<﹣1, 故选:D

【点评】本题主要考查函数零点的应用,求函数的导数,利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键.注意 分类讨论.

二、填空题

13.【答案】



【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).

由 z=

=32x+y,

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设 t=2x+y, 则 y=﹣2x+t, 平移直线 y=﹣2x+t, 由图象可知当直线 y=﹣2x+t 经过点 B 时,直线 y=﹣2x+t 的截距最小, 此时 t 最小.



,解得

,即 B(﹣3,3),

代入 t=2x+y 得 t=2×(﹣3)+3=﹣3.

∴t 最小为﹣3,z 有最小值为 z= =3﹣3= .

故答案为: .

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题 的基本方法. 14.【答案】 105 .
【解析】解:1785=840×2+105,840=105×8+0. ∴840 与 1785 的最大公约数是 105. 故答案为 105 15.【答案】 5 .
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【解析】解:∵

=(1,0)+(2,4)=(3,4).



=

=5.

故答案为:5.

【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式,属于基础题.

16.【答案】 8 .

【解析】解:∵抛物线 y2=8x=2px, ∴p=4, 由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,
∴|MF|=x+ =x+2=10,
∴x=8, 故答案为:8. 【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法.抛物线上的点到焦点的距离,叫焦半径.到焦点 的距离常转化为到准线的距离求解.

17.【答案】10
【解析】 m3 的分解规律恰好为数列 1,3,5,7,9,…中若干连续项之和, 23 为连续两项和, 33 为接下来三 项和,故 m3 的首个数为 m2 ? m ?1. ∵ m3(m ? N? ) 的分解中最小的数为 91,∴ m2 ? m ?1 ? 91,解得 m ?10 .
18.【答案】 4 3

【解析】

试题分析:因为

a

?

b

? 1 ,所以

logb

a

?

1 ,又

loga

b

?

logb

a

?

10 3

?

1 logb

a

?

logb

a

?

10 3

?

logb

a

?

3或

13(舍),

因此 a ? b3 ,因为 ab ? ba ,所以 b3b ? bb3 ? 3b ? b3,b ? 1 ? b ? 3, a ? 3 3 , a ? b ? 4 3

考点:指对数式运算

三、解答题

19.【答案】(1);(2) 0 ? a ? 1.1111]

【解析】

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f '(x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,即 a ? ?(x ? 1) ? 3 对 x ? 0 恒成立, x
而当 x ? 0 时, ?(x ? 1) ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1, x

∴a ?1.

若函数 f (x) 在 (0, ??) 上递减,

则 f '(x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,即 a ? ?(x ? 1) ? 3 对 x ? 0 恒成立, x

这是不可能的.

综上, a ?1.

的最小值为 1. 1

(2)由 f (x) ? ( 1 ? a)x2 ? (a ? 2)x ? 2ln x ? 0 , 2

得 (a ? 1)x2 ? (2 ? a)x ? 2 ln x , 2



a

?

ln

x? x2

x

,令

r(x)

?

ln

x? x2

x



r

'(x)

?

(1 x

? 1) x 2

? 2x(ln x3

x

?

x)

?

1?

x

? 2ln x3

x



得1? x ? 2ln x ? 0 的根为 1,

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考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、函数零点问题及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题,属于难题.不等

式恒成立问题常见方法:①分离参数 a ? f (x) 恒成立( a ? f (x)min 即可)或 a ? f (x) 恒成( a ? f (x)max 即 可);②数形结合;③讨论最值 f (x)min ? 0 或 f (x)max ? 0 恒成立;④讨论参数.本题(2)就是先将问题转化
为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

20.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)证明:取 AC 中点 O,连接 PO,BO,由于四边形 ABCD 为菱形,∴PA=PC,BA=BC,

∴PO⊥AC,BO⊥AC,又 PO∩BO=O,

∴AC⊥平面 POB,又 PB?平面 POB,∴AC⊥PB.

(Ⅱ)∵平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,PO?平面 PAC,

PO⊥AC,∴PO⊥面 ABC,∴OB,OC,OP 两两垂直,

故以 O 为原点,以

方向分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系,∵∠ABC=60°,菱形 ABCD

的边长为 2,







设平面 PBC 的法向量

,直线 AB 与平面 PBC 成角为 θ,



,取 x=1,则

,于是



∴ (Ⅲ)法一:

,∴直线 AB 与平面 PBC 成角的正弦值为 .

第 13 页,共 18 页

设∠ABC=∠APC=α,α∈(0,π),∴

又 PO⊥平面 ABC,∴



),



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, =





,当且仅当

,即

时取等号,

∴四面体 PABC 体积的最大值为



法二:设∠ABC=∠APC=α,α∈(0,π),





,又 PO⊥平面 ABC,



=





,则

,且 0<t<1,





∴当

时,V'PABC>0,当

时,V'PABC<0,

∴当

时,VPABC 取得最大值

,∴四面体 PABC 体积的最大值为



法三:设 PO=x,则 BO=x, 又 PO⊥平面 ABC,

,(0<x<2)









当且仅当 x2=8﹣2x2,即

时取等号,∴四面体 PABC 体积的最大值为



),

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【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用,直线与平面所成角的求法,几何体的体积 的最值的求法,考查转化思想以及空间思维能力的培养. 21.【答案】 【解析】解:(1)由题意,当销售利润不超过 8 万元时,按销售利润的 1%进行奖励;当销售利润超过 8 万 元时,若超出 A 万元,则超出部分按 log5(2A+1)进行奖励, ∴0<x≤8 时,y=0.15x;x>8 时,y=1.2+log5(2x﹣15) ∴奖金 y 关于销售利润 x 的关系式 y= (2)由题意知 1.2+log5(2x﹣15)=3.2,解得 x=20. 所以,小江的销售利润是 20 万元. 【点评】本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查学生的计算能力,属于中档题. 22.【答案】 【解析】解:(1)证明:
如图,连接 AE, ∵AB 是⊙O 的直径, AC,DE 均为⊙O 的切线, ∴∠AEC=∠AEB=90°, ∠DAE=∠DEA=∠B, ∴DA=DE. ∠C=90°-∠B=90°-∠DEA=∠DEC,
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∴DC=DE,

∴CD=DA.

(2)∵CA 是⊙O 的切线,AB 是直径,

∴∠CAB=90°,

由勾股定理得 CA2=CB2-AB2,

又 CA2=CE×CB,CE=1,AB= 2,

∴1·CB=CB2-2,

即 CB2-CB-2=0,解得 CB=2,

∴CA2=1×2=2,∴CA= 2.

由(1)知 DE=12CA= 22,

所以

DE

的长为

2 2.

23.【答案】(1) x ? ?1 (2)① ??1, ??? ,②6

【解析】

试题

? ? 解析:(1)由题意,

?3x 3x?1

? ?

1 1

?

3x

,化简得

3

?

3x

2 ? 2?3x ?1 ? 0

解得 3x ? ?1?舍?或3x ? 1 ,
3

所以 x ? ?1

(2)因为

f

? x? 是奇函数,所以

f

??x? ?

f

?x?

?

0 ,所以

?3x ? a 3?x?1 ? b

?

?3x 3x?1

?a ?b

?

0

? ? 化简并变形得: ?3a ? b? 3x ? 3?x ? 2ab ? 6 ? 0

要使上式对任意的 x 成立,则 3a ? b ? 0且2ab ? 6 ? 0

a 解得:{

?

1或{

a

?

?1

,因为 f

? x? 的定义域是 R ,所以{a ? ?1

舍去

b ? 3 b ? ?3

b ? ?3

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所以

a

? 1,b

?

3 ,所以

f

?x?

?

?3x 3x?1

?1 ?3



f

?x?

?

?3x 3x?1

?1 ?3

?

1 3

? ??

?1

?

2? 3x ?1 ??

对任意 x1, x2 ? R, x1 ? x2 有:

? ?? ? f

? x1 ? ?

f

? x2 ?

?

1? 3 ??

2 3x1 ?1

?

2? 3x2 ?1 ??

?

2 3

? ? ??

3x2 ? 3x1 3x1 ?1 3x2 ?1

? ? ??

? ? ? ? 因为 x1 ? x2 ,所以 3x2 ? 3x1 ? 0 ,所以 f x1 ? f x2 , 因此 f ? x? 在 R 上递减.

? ? ? ? 因为 f t2 ? 2t ? f 2t2 ? k ,所以 t2 ? 2t ? 2t2 ? k ,

即 t2 ? 2t ? k ? 0 在 时有解

所以 ? ? 4 ? 4t ? 0 ,解得: t ? ?1,

所以 的取值范围为 ??1, ???

? ? ②因为

f

?

x?

?

?? g

?

x?

?

2??

?

1 3

3?x ? 3x

,所以

g ? x?

?

3? x 3f

? 3x
?x?

?2

即 g ? x? ? 3x ? 3?x

? ? ? ? 所以 g

2x

? 32x ? 3?2x ?

3x ? 3?x

2
?2

不等式 g ?2x? ? m? g ?x? ?11恒成立,

? ? ? ? 即

3x ? 3?x

2
?2? m?

3x ? 3?x

?11,

即: m

?

3x

? 3?x

?

3x

9 ? 3?x

恒成立

令 t ? 3x ? 3?x ,t ? 2 ,则 m ? t ? 9 在 t ? 2 时恒成立 t

令 h?t?

?t

?

9 t

, h '?t ?

?1?

9 t2



t ??2,3? 时, h'?t? ? 0,所以 h?t? 在 ?2,3?上单调递减

t ??3, ??? 时, h'?t? ? 0,所以 h?t? 在 ?3, ??? 上单调递增

所以 h?t? ? h?3? ? 6 ,所以 m ? 6 min
所以,实数 m 的最大值为 6

考点:利用函数性质解不等式,不等式恒成立问题

【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出

最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为

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函数的最值问题。 24.【答案】 【解析】解:(1)二次函数 f(x)图象经过点(0,4),任意 x 满足 f(3﹣x)=f(x)
则对称轴 x= ,

f(x)存在最小值 ,

则二次项系数 a>0 设 f(x)=a(x﹣ )2+ .

将点(0,4)代入得:

f(0)=



解得:a=1

∴f(x)=(x﹣ )2+ =x2﹣3x+4.

(2)h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x =x2﹣2tx+4=(x﹣t)2+4﹣t2,x∈[0,1]. 当对称轴 x=t≤0 时,h(x)在 x=0 处取得最小值 h(0)=4; 当对称轴 0<x=t<1 时,h(x)在 x=t 处取得最小值 h(t)=4﹣t2; 当对称轴 x=t≥1 时,h(x)在 x=1 处取得最小值 h(1)=1﹣2t+4=﹣2t+5. 综上所述: 当 t≤0 时,最小值 4; 当 0<t<1 时,最小值 4﹣t2; 当 t≥1 时,最小值﹣2t+5.





(3)由已知:f(x)>2x+m 对于 x∈[﹣1,3]恒成立, ∴m<x2﹣5x+4 对 x∈[﹣1,3]恒成立, ∵g(x)=x2﹣5x+4 在 x∈[﹣1,3]上的最小值为 ,
∴m< .

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