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中考专题二《最短路线问题》


中考专题二《最短路线问题》 中考专题二《最短路线问题》
考查知识点---“两点之间线段最短” , “垂线段最短” , “点关于线对称” , “线段的平移” 。 原型----“饮马问题”“造桥选址问题” , 。考的较多的还是“饮马问题” ,出题背景变式有角、 三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直” ,近两年出现“三折线”转“直”等 变式问题考查。 以下主要对 09 中考“饮马问题”试题进行汇编,希望能对即将中考的同学们有所帮助。 1、 (2009 年达州)在边长为 2 ㎝的正方形 ABCD 中,点 Q 为 BC 边的中点,点 P 为对角线 AC 上一动点,连接 PB、PQ,则△PBQ 周长的最小值为____________㎝(结果不取近 似值). 2、(2009 年抚顺市)如图所示,正方形 ABCD 的面积为 12,△ ABE 是等边三角形,点 E 在 正方形 ABCD 内,在对角线 AC 上有一点 P ,使 PD + PE 的和最小,则这个最小值为 ( ) A D A. 2 3 C.3 B. 2 6 D. 6 B C P E

3、(2009 年鄂州)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点 P 在 BC 上移动,则当 PA+PD 取最小值时,△APD 中边 AP 上的高为( ) A、 2 17
17

B、

4 17 17

C、

8 17 17

D、3

(动点,作 A 关于 BC 的对称点 A' ,连 A'D 交 BC 于 P,涉及勾股定理,相似) 4、 (07 南通)已知等腰三角形 ABC 的两个顶点分别是 A(0,1)、B(0,3),第三个顶点 C 在 x 轴的正半轴上.关于 y 轴对称的抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、D(3,-2)、P 三点, 且 点 P 关于直线 AC 的对称点在 x 轴上. (1))求直线 BC 的解析式; (2)求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式及点 P 的坐标; (3))设 M 是 y 轴上的一个动点,求 PM+CM 的取值范围. y
y B A x O D O D B A x

(第 4 题图)

(第 28 题图)

5、 (09 年新疆乌鲁木齐市)如图,在矩形 OABC 中,已知 A 、 C 两点的坐标分别为

A(4,、C (0, , D 为 OA 的中点.设点 P 是 ∠AOC 平分线上的一个动点(不与点 O 0) 2)
重合) . (1)试证明:无论点 P 运动到何处, PC 总造桥与 PD 相等; (2)当点 P 运动到与点 B 的距离最小时,试确定过 O、P、D 三点的抛物线的解析式; (3) 设点 E 是 (2) 中所确定抛物线的顶点, 当点 P 运动到何处时,△PDE 的周长最小? 求出此时点 P 的坐标和 △PDE 的周长; (4)设点 N 是矩形 OABC 的对称中心,是否存在点 P ,使 ∠CPN = 90° ?若存在,请 直接写出点 P 的坐标. y
C (0, 2)

B P

O

D

A(4, 0)

x

6、 (09 湖北荆门)一次函数 y = kx + b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A(2,0) ,B(0,4) . (1)求该函数的解析式; (2)O 为坐标原点,设 OA、AB 的中点分别为 C、D,P 为 OB 上一动点,求 PC+PD 的 最小值,并求取得最小值时 P 点坐标.

y
B D P O
第6题

C A

x

7、 (2009 年济南)已知:抛物线的对称轴为与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C, 其中

A ( ?3,) 、 C ( 0, 2 ). 0 ?
(1)求这条抛物线的函数表达式. (2)已知在对称轴上存在一点 P,使得 △PBC 的周长最小.请求出点 P 的坐标. (3)若点 D 是线段 OC 上的一个动点(不与点 O、点 C 重合) .过点 D 作 DE ∥ PC 交 x 轴于点 E. 连接 PD 、 PE .设 CD 的长为 m , △PDE 的面积为 S .求 S 与 m 之间 的函数关系式.试说明 S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说 明理由.
y y

A

O

B

x

A

O

B

x

C

C

8、 (2009 年衢州市)如图,已知点 A(-4,8)和点 B(2,n)在抛物线 y = ax 2 上. (1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标,并在 x 轴上找一点 Q,使得 AQ+QB 最 短,求出点 Q 的坐标; (2) 平移抛物线 y = ax 2 ,记平移后点 A 的对应点为 A′,点 B 的对应点为 B′,点 C(-2, 0)和点 D(-4,0)是 x 轴上的两个定点. ① 当抛物线向左平移到某个位置时, ′C+CB′ 最短, A 求此时抛物线的函数解析式; ② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形 A′B′CD 的周长最 短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
A y 8 6 4 2 C D -4 -2 O -2 -4 B 2 4 x

提示: 第(2)问,是“饮马问题”的变式运用,涉及到抛物线左移。答案见参考图。 方法一,A′关于 x 轴对称点 A〞,要使 A′C+CB′最短,点 C 应在直线 A〞B′上; 方法二,由(1)知,此时事实上,点 Q 移到点 C 位置,求 CQ=14/5,即抛物线左移 14/5 单位; 设抛物线左移 b 个单位,则 A' (-4-b,8) (2-b,2) 、B' 。∵CD=2,∴B'左移 2 个单位 得到 B″(-b,2)位置,要使 A′D+C B'最短,只要 A′D+DB″最短。则只有点 D 在 直线 A″B″上。

A′

y 8 6 4 B′ 2 C D -4 -2 O 2 -2 -4

A′

y 8 6 4 B′′ B′ 2 C D -4 -2 O 2 -2 -4

4 x

4 x

A′′ ((2)①图)

A′′ ((2)②图)

9、 (2009 年北京市)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为

A ( ?6, 0 ) , B ( 6, 0 ) , C 0, 4 3 ,延长 AC 到点 D,使 CD=
交 BC 的延长线于点 E. (1)求 D 点的坐标;

(

)

1 AC ,过点 D 作 DE∥AB 2

(2)作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF,若过 B 点的直线 y = kx + b 将 四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式; (3) G 为 y 轴上一点, P 从直线 y = kx + b 与 y 轴的交点出发, 设 点 先沿 y 轴到达 G 点, 再沿 GA 到达 A 点, P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍, 若 试确定 G 点的位置,使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。 (要求:简述 确定 G 点位置的方法,但不要求证明)

提示:第(2)问,平分周长时,直线过菱形的中心; 第(3)问, “确定 G 点的位置,使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短” 转化为点G到A的距离加G到(2)中直线的距离和最小是“饮马问题”的变式运 用;发现(2)中直线与x轴夹角为60°很关键.

10、 (2009 恩施市) Y B Q A P 图(1) X P 图(2) A A X O P 图(3) X B

B

A′

恩施州自然风光无限, 特别是以 “雄、 奇、 秀、 幽、 险” 著称于世. 著名的恩施大峡谷 ( A) 和世界级自然保护区星斗山 ( B ) 位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧,AB = 50km,A 、B 到直线 X 的距离分别为 10km 和 40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P ,向 A 、 B 两景区运送游客.小民设计了两种方案,图(1)是方案一的示意图( AP 与直线 X 垂 直,垂足为 P ) P 到 A 、 B 的距离之和 S1 = PA + PB ,图(2)是方案二的示意图(点 ,

A 关于直线 X 的对称点是 A′ ,连接 BA′ 交直线 X 于点 P ) P 到 A 、 B 的距离之和 , S 2 = PA + PB .

(1)求 S1 、 S2 ,并比较它们的大小; (2)请你说明 S 2 = PA + PB 的值为最小; (3)拟建的恩施到张家界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐 标系, B 到直线 Y 的距离为 30km ,请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P 、 Q , 使 P 、 A 、 B 、 Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 提示:涉及勾股定理、点对称、设计方案。 第(3)问是“三折线”转“直”问题 。 再思考-------设计路线要根据需要设计,是 P 处分别往 A、B 两处送呢,还是可以 先送到 A 接着送到 B。本题是对所给方案进行分析,似乎还容易一些,若要你设 计方案,还需考虑一个方案路线,P→A→B。

11、(09 陕西) 如图,在锐角△ABC 中,AB=4 2 ,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交 BC 于 点 D,M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是____.

12、 (2009 年浙江省绍兴市)定义一种变换:平移抛物线 F1 得到抛物线 F2 ,使 F2 经过 F1 的 顶点 A .设 F2 的对称轴分别交 F1,F2 于点 D,B ,点 C 是点 A 关于直线 BD 的对称点. (1)如图 1,若 F1 : y = x ,经过变换后,得到 F2 : y = x + bx ,点 C 的坐标为 (2, , 0)
2 2

则① b 的值等于______________; ②四边形 ABCD 为( ) A.平行四边形 B.矩形
2

C.菱形

D.正方形

(2)如图 2,若 F1 : y = ax + c ,经过变换后,点 B 的坐标为 (2,c ? 1) ,求 △ ABD 的 面积; (3)如图 3,若 F1 : y =

1 2 2 7 x ? x + ,经过变换后, AC = 2 3 ,点 P 是直线 AC 上 3 3 3 的动点,求点 P 到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值.


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