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百校联盟2017届高三4月教学质量检测乙卷文科数学试题 Word版含答案


2016-2017 学年普通高中高三教学质量监测 文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、 选择题: 本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 , B ? ? 1,2,3,4,5? ,则阴影部分所表示
2

7.已知 cos( A.

3 32

? ? 2? 3 ? ? ) ? ,则 sin( ? ? ) cos( ? 2? ) ? ( ) 3 3 3 4 3 3 3 B. ? C. D. ? 32 16 16

8.如图,网格纸上小正方形的边长为1 ,粗线画出的是某空间几何体的 三视图,则该几何体的体积为( ) A. 32 ? 8? D. 16 ? 8? 9.《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学的智 B. 32 ?

?

?

8? 3

C. 16 ?

8? 3

的集合的元素个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

慧,其中第六章“均输”中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问 题的思想设计了如图所示的程序框图,若输出的 m 的值为 35 ,则输 入的 a 的值为( ) D.第四象限 A. 4 B. 5 C. 7 D. 11

若 ( z ? z )(1 ? 2i) ? 3 ? 4i( i 为虚数单位) , 2.已知复数 z 的共轭复数为 z , 则在复平面内,复数 z 所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

3.已知命题 p:?x ? (1,??), x 3 ? 16 ? 8 x ,则命题 p 的否定为( ) A. ?p:?x ? (1,??), x 3 ? 16 ? 8 x C. ?p:?x0 ? (1,??), x0 ? 16 ? 8 x0
3

10.某颜料公司生产 A 、 B 两种产品,其中生产每吨 A 产品,需要甲 染料 1 吨,乙染料 4 吨,丙染料 2 吨,生产每吨 B 产品,需要甲染料1 吨,乙染料 0 吨,丙染料 5 吨,且该公司一天之内甲、乙、丙三种染 料的用量分别不超过 50 吨、 160 吨、 200 吨,如果 A 产品的利润为

B. ?p:?x ? (1,??), x 3 ? 16 ? 8 x D. ?p:?x0 ? (1,??), x0 ? 16 ? 8 x0
3

4.已知等比数列 ?an ?满足 log 2 a3 ? log 2 a10 ? 1 ,且 a5 a6 a7 a8 ? 16 ,则数列 ?an ?的公比为( ) A. 2 B. 4 C. ? 2 D. ? 4

300 元/吨, B 产品的利润为 200 元/吨,则该颜料公司一天内可获得的最大利润为( )
A. 14000 元 11.已知函数 f ( x ) ? B.16000 元 C. 18000 元 D. 20000 元

5.已知向量 m ? ( ?1, 2), n ? (1, ? ) ,若 m ? n ,则 m ? 2n 与 m 的夹角为( ) A.

2? 3

B.

3? 4

C.

?
3

D.

?
4

ex a ? ,若对任意的 x1 , x2 ? [1,2] ,且 x1 ? x2 时, 2 ex

[ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ]( x1 ? x2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围为( )
A. [?

6.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F ,第二象限的点 M 在双曲线 C 的渐近 a2 b2
b ,则双曲线 C 的渐近线方程为( ) a
D. y ? ?4 x

e2 e2 , ] 4 4

B. [?

e2 e2 , ] 2 2

C. [?

e2 e2 , ] 3 3

D. [?e 2 , e 2 ]

线上,且 OM ? a ,若直线 MF 的斜率为 A. y ? ? x B. y ? ?2 x

C. y ? ?3 x

12.已知正项数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,且 ① a2 ? 5 ;

an ? 1 Sn ? n ? ,a1 ? m ,现有如下说法: 6 S n?1 ? S n ? 1

1?

2?

②当 n 为奇数时, an ? 3n ? m ? 3 ; ③ a2 ? a4 ? ? ? ? ? a2 n ? 3n 2 ? 2n 则上述说法正确的个数为( ) A. 0 个 B.1 个 C. 2 个 D. 3 个

15.若圆 C 过点 (0, ?1), (0,5) ,且圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 2 2 ,则圆 C 的标准方程 为 .

16.已知关于 x 的方程 取值范围为

x2 ? 2 1 ? 1 在 x ? [ , ??) 上有两个不相等的实数根,则实数 k 的 x (ln x ? k ) ? 2k 2


第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数 f ( x) ? M sin(?x ? ? )( M ? 0, ? ? 0, ? ? (点 A 为图象的一个最高点) , B(?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.)
17. 在 ?ABC 中, BD ? m BC (0 ? m ? 1), AC ? 3, AD ? (1)求 ?ACD 的面积; (2)若 cos B ?

? ) 的部分图象如图所示,其中 A(2,3) 2


5 ,0) ,则函数 f ( x) ? 2

7,C ?

? . 3

15 ,求 AB 的长度以及 ?BAC 的正切值. 4

18.如图(1)所示,已知四边形 SBCD 是由直角 ?SAB 和直角梯形 ABCD 拼接而成的,其中 14.折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段.已知在折叠“爱心”的过程中会产生 如图所示的几何图形,其中四边形 ABCD 为正方形,G 为线段 BC 的中点,四边形 AEFG 与四 边形 DGHI 也为正方形,连接 EB, CI ,则向多边形 AEFGHID 中投掷一点,该点落在阴影部 分内的概率为 .

?SAB ? ?SDC ? 90? ,且点 A 为线段 SD 的中点, AD ? 2 DC ? 1, AB ? SD ,现将 ?SAB 沿
? AB 进行翻折, 使得二面角 S ? AB ? C 的大小为 90 ,

得到的图形如图(2)所示,连接 SC ,点 E、F 分别 在线段 SB、SC 上. (1)证明: BD ? AF ; (2)若三棱锥 B ? ACE 的体积是四棱锥 S ? ABCD 体积的

2 ,求点 E 到平面 ABCD 的距离. 5

3?

4?

19.国内某知名连锁店分店开张营业期间,在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一 次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该分店经理对开业前 7 天参加抽奖活动的人数进行统计, y 表示开业第 x 天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

x
y

1 5

2 8

3 8

4 10

5 14

6 15

7 17

x ? 1 ? 2t ( t 为参数) ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 ? y ? ? 3 ? 3t ?
2

极坐标系.曲线 C 的坐标方程是 ? sin

? ? 3 cos? ? 0 .

经过进一步统计分析,发现 y 与 x 具有线性相关关系. (1)若从这 7 天中随机抽取两天,求至少有1 天参加抽奖人数超过 10 的概率; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ,并估计 若该活动持续10 天,共有多少名顾客参加抽奖.
? ? ?

(1)求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程; (2)求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ).

参考公式: b ?

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

,a ? y ?b x . 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? x ? 3 ? x ? 1 的最小值为 m ,且 f ( a) ? m .

?

?

2

i

20. 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,点 (1,? ) 是椭圆 C 上 2 a b 2 2 . 2

(1)求 m 的值以及实数 a 的取值集合;
2 2 2 (2)若实数 p, q, r ,满足 p ? 2q ? r ? m ,证明: q( p ? r ) ? 2 .

的点,离心率 e ?

(1)求椭圆 C 的方程; 若点 N 与点 A 关于原点对称, 连接 AF2 并延长与椭圆 C (2) 点 A( x0 , y0 )( y0 ? 0) 在椭圆 C 上, 的另一个交点为 M ,连接 MN ,求 ?AMN 面积的最大值. 21. 已知函数 f ( x ) ? x ln x ? e x ? 1 . (1)求函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)证明: f ( x) ? sin x 在 (0,?? ) 上恒成立.

5?

6?

文科数学参考答案 一、选择题
1.C 【解析】依题意, A ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ? x 2 ? x ? 4 ,阴影部分表示集合 A ? B ,故
2

?

? ?

?

A ? B ? ?2,3,4?.
2.A 【解析】依题意, z ? 2 z ?

? x ? y ? 50 ? 4 x ? 160 ? z ? 300 x ? 200 y , 约束条件为 ? , 欲求目标函数 z ? 300 x ? 200 y ? 100(3 x ? 2 y ) ?2 x ? 5 y ? 200 ? ? x ? 0, y ? 0
的最大值,先画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示,

(3 ? 4i)(1 ? 2i ) 11 2 ? ? i ,设 z ? a ? bi (a, b ? R) ,则 (1 ? 2i)(1 ? 2i ) 5 5

3a ? bi ?

11 2 11 2 11 2 ? i ,故 a ? ,b ? ? ,故在复平面内,复数 z 所对应的点为 ( , ? ) ,位于 15 5 5 5 15 5
3

第四象限. 3.C 【解析】全称命题的否定为特称命题,故其否定为 ?p:?x0 ? (1,??), x0 ? 16 ? 8 x0 . 4.A 5.D

则点 A( 40,0), B ( 40,10), C (

50 100 , ), D(0,40) , 3 3

ab ? x 2 ? y 2 ? a, ?0 2 a ab b ? c ? , 6.A 【解析】设 F(-c,0) ,依题意,联立 ? 解得 ( , ) ,故 M ? b 2 a c c a y ? ? x, ? ? ?c a ? c
解得 a ? b ,故所求渐近线方程为 y ? ? x . 7.B 8.B

作直线 3 x ? 2 y ? 0 ,当移动该直线过点 B ( 40,10) 时,3x ? 2 y 取得最大值,则 z ? 300 x ? 200 y 也取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算,比较大小可得).故

z max ? 300 ? 40 ? 200 ? 10 ? 14000 ,
所以工厂每天生产 A 产品 40 吨、 B 产品 10 吨,才可获得最大利润 14000 元. 11.B 12.D

9.A 【解析】起始阶段有 m ? 2a ? 3, i ? 1 ,第一次循环后, m ? 2( 2a ? 3) ? 3 ? 4a ? 9, i ? 2 ; 第二次循环后, m ? 2( 4a ? 9) ? 3 ? 8a ? 21, i ? 3 ;第三次循环后,

m ? 2(8a ? 21) ? 3 ? 16a ? 45, i ? 4 ;接着计算 m ? 2(16a ? 45) ? 3 ? 32a ? 93 ,跳出循环,输
出 m ? 32a ? 93 ,令 32a ? 93 ? 35 ,得 a ? 4 . 10.A 【解析】依题意,将题中数据统计如下表所示: 甲染料 乙染料 丙染料

A (吨) 1 4 2

B (吨) 1 0 5

染料最高用量(吨)

50 160 200

二、填空题 3 5 9 2? ? ? ? 13. 3 sin( x ? ) ? 【解析】依题意, M ? 3, T ? 2 ? ? ,故 T ? 6 ,故 ? ? ? ,将 4 3 6 T 2 2 3 ? ? 点 A( 2,3) 代入可得 2 ? ? ? ? 2k? ( k ? Z ) ,故 ? ? ? ? 2k? ( k ? Z ) ,故 2 6 ? ? f ( x ) ? 3 sin( x ? ) . 3 6 1 14. 【解析】设 AB ? 2 ,则 BG ? 1,AG ? 5 ,故多边形 AEFGHID 的面积 3 1 S ? 5 ? 5 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 12 ;阴影部分为两个对称的三角形,其中 ?EAB ? 90? ? ?GAB , 2
故阴影部分的面积

设该公司一天内安排生产 A 产品 x 吨、 B 产品 y 吨,所获利润为 z 元.依据题意得目标函数为

S ? 2?
1 P? . 3

1 1 1 2 5 AE ? AB ? sin ?EAB ? 2 ? AE ? AB ? cos ?GAB ? 2 ? ? 5 ? ? 4, 故所求概率 5 2 2 2

7?

8?

15. x ? ( y ? 2) ? 9 或 ( x ? 8) ? ( y ? 2) ? 73
2 2 2 2

16. (1,

9 ln ? ] 10 2

(3,5), (3,6), (3,7), (4,5), (4,6), (4,7), (5,6), (5,7), (6,7) ,共 21 种.其中至少有 1 天参加抽奖人教超
过 10 的有 15 种,所以 P ?

三、解答题
17. 【解析】 (1) 在 ?ACD 中, 由余弦定理, 得 cos C ?

AC 2 ? CD 2 ? AD 2 32 ? CD 2 ? 7 1 ? ? , 2 AC ? CD 2 ? 3 ? CD 2

5 . 7

(2)依题意: x ? ( 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7) ? 4,

1 7

1 3 3 3 3 或 . 解得 CD ? 1 或 2 ,故 ?ACD 的面积 S ? AC ? CD ? sin C ? 2 2 4
(2)因为 C ?

1 y ? (5 ? 8 ? 8 ? 10 ? 14 ? 15 ? 17) ? 11 , 7

3 ? AC AB ,所以 sin C ? ,在 ?ABC 中,由正弦定理,得 ? , 3 2 sin B sin C

? xi ? 140,? xi yi ? 364 ,
2

7

7

i ?1

i ?1

1 1 15 3 3 5 ?1 即 AB ? 6 3 , sin ?BAC ? sin( B ? C ) ? ? ? . ? ? 4 2 4 2 8
18.【解析】 (1)证明:因为二面角 S ? AB ? C 的大小为 90? ,则 SA ? AD , 又 SA ? AB ,故 SA ? 平面 ABCD ,又 BD ? 平面 ABCD ,所以 SA ? BD . 在直角梯形 ABCD 中, ?BAD ? ?ADC ? 90? , AD ? 2CD ? 1, AB ? 2 , 所以 tan ?ABD ? tan ?CAD ?

b?

?

?x y
i ?1 7 i

7

i

? 7x y ? 7x
2

?x
i ?1

?

2

? ? 364 ? 7 ? 4 ? 11 ? 2 , a ? y ? b x ? 11 - 2 ? 4 ? 3 , 140 ? 7 ? 16

i

则 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 2 x ? 3 . 预测 x ? 8 时, y ? 19 , x ? 9 时, y ? 21 , x ? 10 时, y ? 23 , 则此次活动参加抽奖的人数约为 5 ? 8 ? 8 ? 10 ? 14 ? 15 ? 17 ? 19 ? 21 ? 23 ? 140 人. 20.【解析】 (1)依题意,
? ? ?

?

1 ,又 ?DAC ? ?BAC ? 90 ? , 2

? 所以 ?ABD ? ?BAC ? 90 ,即 AC ? BD ;又 AC ? SA ? A ,故 BD ? 平面 SAC ,

c 2 1 1 ? 2 ? 1, ? , a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a ? 2 , b ? c ? 1 。 2 a 2 a 2b

因为 AF ? 平面 SAC ,故 BD ? AF . (2)设点 E 到平面 ABCD 的距离为 h ,因为 VB ? AEC ? VE ? ABC ,且

VE ? ABC 2 ? , VS ? ABCD 5

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2 2 2 2 ), ), N (?1,? ), M (1,? 2 2 2

5 ?1 1 2 ?1 S 梯形ABCD ? SA V 5 2 故 S ? ABCD ? 3 ? ? , 1 1 VE ? ABC ? 2 ? 1? h 2 S ?ABC ? h 3 2 1 1 故 h ? ,故点 E 到平面 ABCD 的距离为 . 2 2
19.【解析】 (1)这 7 天中参加抽奖的人数没有超过10 的为第 1, 2,3,4 天,超过 10 的为第 5,6,7 天. 从这 7 天中 任取两天的情况有 (1,2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1,6), (1,7), ( 2,3), ( 2,4), ( 2,5), ( 2,6), ( 2,7), (3, 4) ,
9?

(2)当直线 AM 的斜率不存在时,不妨取 A(1, 故 S ?AMN ?

1 ? 2? 2 ? 2 . 2

②当直线 AM 的斜率存在时,设直线 AM 的方程为 y ? k ( x ? 1), k ? 0 ,

? y ? k ( x ? 1) ? 联立方程 ? x 2 化简得 ( 2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , 2 ? y ?1 ? ?2

10?

设 A( x1 , y1 ), M ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

2k 2 ? 2 4k 2 , , ? x x 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 4k 2k ? 2 k ?1 , )2 ? 4 ? 2 ] ? 2 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
2 2 2

所以 g ( x ) ? g (1) ? e ? sin 1 ? 1 ? 0 ,即 x ln x ? e ? sin x ? 1 ,即 f ( x) ? sin x .
x

综上所述, f ( x) ? sin x 在 (0,?? ) 上恒成立.
2 2 2 22.【解析】 (1)依题意, ? sin ? ? 3? cos ? ,故 y ? 3 x .

AM ? (1 ? k 2 ) ?[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k 2 ) ? [(
点 O 到直线 AM 的距离 d ?

?k k2 ?1

?

k k 2 ?1



因为 ?

x ? 1 ? 2t ,故 3 x ? 2 y ? 3 3 ? 0 , y ? ? 3 ? 3 t ? ?

因为 O 是线段 AN 的中点,所以点 N 到直线 AM 的距离为 2d ? ∴

2k k ?1
2



故极坐标方程为 3? cos ? ? 2 ? sin ? ? 3 3 ? 0 . (2)联立 ?

?

S ?AMN ?
.

2 2k k2 ?1 k( k 2 ? 1) 1 1 1 1 AM ? 2d ? ( ? 2 2? 2 ) ? ?2 2 ?2 2 ? ? 2 2 2 2 2 2k ? 1 (2k ? 1) 4 4(2k 2 ? 1) 2 k 2 ?1

? sin 2 ? ? 3 cos ? ? 0 ,化简得: ? 3? cos ? ? 2 ? sin ? ? 3 3 ? 0

( 3

3 cos ? cos ? 2 cos ? cos ? )? 2 ( ) ? 3 ? 0 ,则 , 3 ? 3或 ?? sin ? 3 sin ? sin ? sin ? 3 或 tan? ? - 3 , 3

综上, ?AMN 面积的最大值为 2 . 21.【解析】 (1)依题意, f ?( x ) ? ln x ? 1 ? e ,又 f (1) ? 1 ? e, f ?(1) ? 1 ? e ,
x

即 tan? ?

故所求切线方程为 y ? 1 ? e ? (1 ? e)( x ? 1) ,即 y ? (1 ? e) x . (2)依题意,要证: f ( x) ? sin x ,即证 x ln x ? e ? 1 ? sin x ,
x

5? ? 或? ? , 6 3 5? ? 则直线 l 与曲线 C 交点的极坐标为 (6 3 , ) 和 ( 2, ). 6 3
又因为 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,则 ? ? 23.【解析】 (1)依题意, f ( x ) ? x ? 3 ? x ? 1 ? x ? 3 ? x ? 1 ? 4 , 故 m 的值为 4 ; 当且仅当 ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,即 ? 3 ? x ? 1 时等号成立,即 a 的取值集合为 [ ?3,1] .
2 2 2 2 2 2 2 (2)因为 p ? 2q ? r ? m ,故 ( p ? q ) ? ( q ? r ) ? 4 ,

即证: x ln x ? e ? sin x ? 1 ;
x

当 0 ? x ? 1 时, e x ? sin x ? 1 ? 0, x ln x ? 0 , 故 x ln x ? e x ? sin x ? 1 ,即 f ( x) ? sin x . 当 x ? 1 时,令 g ( x ) ? e x ? sin x ? 1 ? x ln x ,故 g ?( x) ? e x ? cos x ? ln x ? 1 ,
x x 令 h( x) ? g ?( x) ? e ? cos x ? ln x ? 1 , h?( x) ? e ?

因为 p 2 ? q 2 ? 2 pq ,当且仅当 p ? q 时等号成立; 因为 q 2 ? r 2 ? 2qr ,当且仅当 q ? r 时等号成立; 故 ( p 2 ? q 2 ) ? ( q 2 ? r 2 ) ? 4 ? 2 pq ? 2qr , 故 q( p ? r ) ? 2 (当且仅当 p ? q ? r 时等号成立).? ?

1 ? sin x , x

当 x ? 1 时, e x ?

1 1 ? e ? 1 ? 1 ,所以 h?( x) ? e x ? ? sin x ? 0 , x x

故 h( x) 在 (1,??) 上单调递增,故 h( x) ? h(1) ? e ? cos1 ? 1 ? 0 ,即 g ?( x ) ? 0 ,

11?

12?

13?


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