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山东省济宁市2015届高考数学一轮复习 18同角三角函数的基本关系及诱导公式限时检测 新人教A版


课时限时检测(十八)

同角三角函数的基本关系及诱导公式
题号及难度 基础 1,2,8 7 6,9,11 5 3,10 4 12 中档 稍难

(时间:60 分钟 满分:80 分)命题报告 考查知识点及角度 同角三角函数的基本关系 利用诱导公式化简求值 sin α ±cos α 同 sin α cos α 的关 系 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 5 1.(2013·大纲全国卷)已知 α 是第二象限角,sin α = ,则 cos α =( 13 12 A.- 13 B.- 5 13 C. 5 13 12 D. 13 )

【解析】 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为 α 为第二象限角, 12 2 所以 cos α =- 1-sin α =- . 13 【答案】 A 1 cos θ 2.若 sin θ ·cos θ = ,则 tan θ + 的值是( 2 sin θ A.-2 C.±2 B.2 D. 1 2 )

cos θ sin θ cos θ 1 【解析】 tan θ + = + = =2. sin θ cos θ sin θ cos θ sin θ 【答案】 B

?π ? 则 sin α cos α 等于( 3. (2014·西城模拟)已知 sin(3π -α )=-2sin? +α ?, ?2 ?
2 A.- 5 2 2 C. 或- 5 5 B. 2 5

)

1 D.- 5

?π ? 【解析】 由 sin(3π -α )=-2sin? +α ?得 ?2 ?
sin α =-2cos α ,即 tan α =-2,

1

sin α cos α tan α 2 ∴sin α cos α = 2 = 2 =- . 2 sin α +cos α tan α +1 5 【答案】 A 11π 4.(2014·文登期中)若 α = ,则 tan α cos α =( 3 A. 1 2 3 2 1 B.- 2 D. 3 2 )

C.-

sin α 11π 【解析】 tan α cos α = ·cos α =sin α =sin cos α 3 π? π 3 ? =sin?4π - ?=-sin =- ,故选 C. 3 3 2 ? ? 【答案】 C 5.(2014·温州市平阳中学月考)已知 sin(π -2)=a,则 sin? A.- 1-a C. 1-a
2 2

?π -2?的值为( ? ?2 ?

)

B.-a D.a

【解析】 ∵sin(π -2)=a,∴sin 2=a. ∴cos 2=- 1-a .
2

?π ? 2 ∴sin? -2?=cos 2=- 1-a . ?2 ?
【答案】 A 6.若 sin α 是 5x -7x-6=0 的根, 3π ? ?3π ? -α ? sin?-α - ?sin? ?tan2?2π -α ? 2 ? ? 2 ? ? 则 =( π π ? ? ? ? - α + α cos? ?cos? 2 ?sin?π +α ? ?2 ? ? ? A. C. 3 5 4 5 B. D. 5 3 5 4
2

)

3 3 2 【解析】 方程 5x -7 x-6=0 的两根为 x1=- ,x2=2,则 sin α =- . 5 5 cos α ?-cos α ?tan α 1 5 原式= =- = . sin α ?-sin α ??-sin α ? sin α 3 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
2
2

π? 4? 7 .(2014·菏泽模拟 ) 已知 sin θ + cos θ = ?0<θ < ? ,则 sin θ - cos θ = 4? 3? ________. π 【解析】 ∵0<θ < ,∴sin θ <cos θ , 4 4 又∵sin θ +cos θ = 3 16 ∴1+2sin θ cos θ = , 9 7 ∴2sin θ cos θ = , 9 ∴s in θ -cos θ =- sin θ +cos θ -2sin θ cos θ =- 7 1- 9 2 . 3 2 3
2 2 2 2

=-

【答案】 -

8.已知 tan α =2,则 7sin α +3cos α =________. 7sin α +3cos α 7tan α +3 7×2 +3 31 2 2 【解析】 7sin α +3cos α = = = 2 = . 2 2 2 sin α +cos α tan α +1 2 +1 5 【答案】 31 5
2 2 2 2

? π? 1 ? 7π ? ? 2?5π 9.已知 sin?x+ ?= ,则 sin? +x?+cos ? -x?=________. 6? 4 ? ? 6 ? ? 6 ? ?π ? ? 2?π 【解析】 原式=-sin? +x?+cos ? +x? 6 ? ? ?6 ?
1 ? 11 1 ? =- +?1- 2?= . 4 ? 16 4 ? 【答案】 11 16

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(1 0 分)已知函数 f(x)= 1-sin?x-

? ?

3π ? 3 ? π? ?+cos?x+ 2 ?+tan 4π 2 ? ? ? . cos x

(1)求函数 y=f(x)的定 义域;

3

4 (2)设 tan α =- ,求 f(α )的值. 3 π 【解】 (1)由 cos x≠0,得 x≠ +kπ ,k∈Z, 2
? ? ? π 所以函数的定义域是?x?x≠ +kπ ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

4 (2)∵ta n α =- , 3 3π ? π? 3 ? ? 1-sin?α - ?+cos?α + ?+tan π 2 ? 2? 4 ? ? ∴f(α )= cos α = = 1-cos α -sin α -1 cos α -cos α -sin α 1 =-1-tan α = . cos α 3

8 ? ? 11.(12 分)已知 tan?α + π ?=a. 7 ? ? 13 ? ?15 ? ? sin? π +α ?+3cos?α - π ? 7 7 ? a+3 ? ? ? 求证: = . 22 ? a+1 ?20 ? ? sin? π -α ?-cos?α + π ? 7 ? ?7 ? ? 【证明】 由已知得 8 ?? 8π ? ? ? ?? ? sin?π +?α + π ??+3cos??α + ?-3π ? 7 ?? 7 ? ? ? ?? ? 左边= 8 8 ? ? ?? ? ? ?? sin?4π -?α + π ??-cos?2π +?α + π ?? 7 ?? 7 ?? ? ? ? ? 8 ? 8 ? ? ? -sin?α + π ?-3cos?α + π ? 7 ? 7 ? ? ? = 8 8 ? ? ? ? -sin?α + π ?-cos?α + π ? 7 ? 7 ? ? ? 8 ? ? tan?α + π ?+3 7 ? ? = 8 ? ? tan?α + π ?+1 7 ? ? =

a+3 =右边, a+1

所以原等式成立. 12.(13 分)在△ABC 中,若 sin(2π -A)=- 2si n(π -B), 3cos A=- 2cos(π -B),求△ABC 的三个内角.

4

① ?sin A= 2sin B 【解】 由已知得? ? 3cos A= 2cos B ② ① +② 得 2cos A=1, 即 cos A= 2 2 或 cos A=- . 2 2 2 3 时,cos B= , 2 2
2 2 2

(1)当 cos A=

又 A、B 是三角形的内角, π π ∴A= ,B= , 4 6 7 ∴C=π -(A+B)= π . 12 (2)当 cos A=- 2 3 时,cos B=- . 2 2

又 A、B 是 三角形的内角, 3 5 ∴ A= π ,B= π ,不合题意. 4 6 π π 7 综上知,A= ,B= ,C= π . 4 6 12

5


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