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第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数的应用


第三章 第四节 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数的应用
一、选择题 π 1.设函数 y=3sin(2x+φ)(0<φ<π,x∈R)的图像关于直线 x= 对称,则 φ 等于( 3 π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6 ) )

2.f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在 x=1 处取得最大值,则( A.f(x-1)一定是奇函数 B.f(x-1)一定是偶函数 C.f(x+1)一定是奇函数 D.f(x+1)一定是偶函数

π 3.设函数 f(x)=cos ωx(ω>0),将 y=f(x)的图像向右平移 个单位长度后,所得的图像与 3 原图像重合,则 ω 的最小值等于( 1 A. 3 C.6 B.3 D.9 )

4.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一段图像如图所示,则过点 P(ω,φ),且 斜率为 A 的直线方程是( π A.y- = 3(x-2) 3 2π B.y- = 3(x-4) 3 2π C.y- =2(x-4) 3 2π D.y- =2(x-2) 3 5. 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ), x∈R, 其中 ω>0, -π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π, π 且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( 2 ) )

A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数

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π 6.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+h(ω>0,0<φ< )的图像如图所 2 示,则 f(x)=( )

x π A.4sin( + )+2 2 4 x π B.-4sin( - )+2 2 4 x π C.2sin( + )+4 2 4 x π D.-2sin( + )+4 2 4 二、填空题 7.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图像如图所示,则 f(0) 的值是________.

π 8.若 f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0, ]上的最大值为 2,则 ω=________. 3 9.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图像如图所示,则 φ=________.

三、解答题 π 10.已知函数 f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,0<φ<π)在 x= 时取得最大值 4. 12 (1)求 f(x)的解析式. 2 π 12 (2)若 f( α+ )= ,求 sin α. 3 12 5

π 11.函数 f(x)=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图像如图所示. 2 (1)求 f(x)的解析式; π (2)设 g(x)=f(x)-cos 2x,求函数 g(x)在区间[0, ]上的最大值和最小 2 值.

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12.已知函数 f(x)=2acos2x+bsin xcos x- (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间;

3 3 π 1 ,且 f(0)= ,f( )= . 2 2 4 2

(3)函数 f(x)的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数?

详解答案
一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) π π π 1.解析:由题意知,2× +φ=kπ+ ,所以 φ=kπ- , 3 2 6 5π 又 0<φ<π,故当 k=1 时,φ= . 6 答案:D π π 2.解析:由题意知,ω+φ=2kπ+ ,∴φ=2kπ+ -ω. 2 2 π ∴f(x)=Asin(ωx+φ)=Asin(ωx+2kπ+ -ω)= 2 Acos(ωx-ω)=Acosω(x-1).将其向左平移 1 个单位,得 g(x)=f(x+1)=Acosωx 为偶函 数. 答案:D π π 2π 3.解析:将 y=f(x)的图像向右平移 个单位长度后得到的图像与原图像重合,则 = 3 3 ω k,k∈Z,得 ω=6k,k∈Z, 又 ω>0,则 ω 的最小值等于 6. 答案:C T 5π π π π 2π π π 4.解析:由 = -(- )= ,得 T= ,则 ω= =4,由 4×(- )+φ= +2kπ,k 2 24 24 4 2 T 24 2 2π 2π 2π ∈Z,得 φ= +2kπ,k∈Z,又 0<φ<π,所以 φ= ,把(0, 3)代入 y=Asin(4x+ )中, 3 3 3
3

2π 得 A=2,故所求直线方程为 y- =2(x-4). 3 答案:C 2π 1 1 π π 5.解析:∵ =6π,∴ω= .又∵ × +φ=2kπ+ ,k∈Z 且-π<φ≤π, ω 3 3 2 2 π 1 π π 1 π π ∴当 k=0 时,φ= ,f(x)=2sin( x+ ),要使 f(x)递增,须有 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ , 3 3 3 2 3 3 2 5π π 5 π k∈Z,解之得 6kπ- ≤x≤6kπ+ ,k∈Z,当 k=0 时,- π≤x≤ , 2 2 2 2 5 π ∴f(x)在[- π, ]上递增. 2 2 答案:A 6-2 π π 6.解析:由题中的图像可知,A= =2,h=4,函数 f(x)的周期为 4[ -(- )]=4π, 2 2 2 1 π 1 π π π 所以 ω= ,点( ,6)相当于五点作图法的第二个点,所以 × +φ= ,所以 φ= ,根据以 2 2 2 2 2 4 x π 上分析结合函数的图像特征可知函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin( + )+4. 2 4 答案:C 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分) 7π π 7π 7.解析:由图像可得 A= 2,周期为 4×( - )=π,所以 ω=2,将( ,- 2)代入 12 3 12 7π 3 得 2× +φ=2kπ+ π, 12 2 π 即 φ=2kπ+ . 3 π 6 所以 f(0)= 2sin φ= 2sin = . 3 2 答案: 6 2 π , ]. 2

π ωπ 8.解析:∵0<ω<1,x∈[0, ],∴ωx∈[0, 3 3 ∴f(x)max=2sin 3 ∴ω= . 4 3 答案: 4 ωπ ωπ 2 ωπ π = 2.∴sin = ,∴ = . 3 3 2 3 4

T 3 5 2π 5 4 9.解析:由题图可知, =2π- π,∴T= π.∴ = π.∴ω= . 2 4 2 ω 2 5 4 4 3 ∴y=sin( x+φ).又∵sin( × π+φ)=-1, 5 5 4
4

3 3 3 即 sin( π+φ)=-1,∴ π+φ= π+2kπ,k∈Z. 5 5 2 9 又∵-π≤φ<π,∴φ= π. 10 9 答案: π 10 三、解答题(本大题共 3 小题,共 38 分) π 10.解:(1)由题设可知 A=4 且 sin(3× +φ)=1, 12 π π π 则 φ+ = +2kπ,得 φ= +2kπ(k∈Z). 4 2 4 π π ∵0<φ<π,∴φ= ,∴f(x)=4sin(3x+ ). 4 4 2 π π (2)∵f( α+ )=4sin(2α+ ) 3 12 2 12 =4cos 2α= , 5 3 ∴cos 2α= . 5 1 1 ∴sin2α= (1-cos2α)= . 2 5 5 ∴sin α=± . 5 T 2π π π 11.解:(1)由题图知 A=1, = - = , 2 3 6 2 2π π ∴ω= =2.又 x= 时,f(x)=1, T 6 π π ∴sin(2× +φ)=1.又|φ|< , 6 2 π ∴φ= . 6 π ∴f(x)的解析式为 f(x)=sin(2x+ ). 6 π (2)g(x)=f(x)-cos 2x=sin(2x+ )-cos 2x 6 = 3 1 π sin 2x- cos 2x=sin(2x- ). 2 2 6

π π π 5π 由 0≤x≤ 得- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 π π π ∴2x- = .即 x= 时,g(x)有最大值 1. 6 2 3 π π 1 当 2x- =- 即 x=0 时 g(x)有最小值- . 6 6 2
5

12.解:(1)由 f(0)= ∴2a= 3,则 a=

3 3 3 ,得 2a- = , 2 2 2

3 π 1 3 b 3 1 ,由 f( )= ,得 + - = ,∴b=1. 2 4 2 2 2 2 2 3 2

∴f(x)= 3cos2x+sin xcos x- =

3 1 π cos 2x+ sin 2x=sin(2x+ ), 2 2 3 2π =π. 2

∴函数 f(x)的最小正周期 T=

π π 3 (2)由 +2kπ≤2x+ ≤ π+2kπ, 2 3 2 得 π 7 +kπ≤x≤ π+kπ, 12 12

π 7 ∴f(x)的单调递减区间是[ +kπ, π+kπ](k∈Z). 12 12 π (3)∵f(x)=sin[2(x+ )], 6 π π ∴奇函数 y=sin 2x 的图像左移 ,即得到 f(x)的图像,故函数 f(x)的图像右移 个单位后 6 6 对应的函数成为奇函数.

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