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2016上海春考数学试卷(含答案解析)


2016 年上海市春季高考数学试卷
一.填空题(本大题共 12 题,每题 3 分,共 36 分) 1.复数 3+4i(i 为虚数单位)的实部是 . 2.若 log2(x+1)=3,则 x= 3.直线 y=x﹣1 与直线 y=2 的夹角为 . .

4.函数

的定义域为



5.三阶行列式

中,元素 5 的代数余子式的值为



6.函数

的反函数的图象经过点(2,1) ,则实数 a=



7.在△ ABC 中,若 A=30°,B=45°, ,则 AC= 8.4 个人排成一排照相,不同排列方式的种数为

. (结果用数值表示) . .

9.无穷等比数列{an}的首项为 2,公比为 ,则{an}的各项的和为

10.若 2+i(i 为虚数单位)是关于 x 的实系数一元二次方程 x2+ax+5=0 的一个虚根,则 a= . 11.函数 y=x2﹣2x+1 在区间[0,m]上的最小值为 0,最大值为 1,则实数 m 的取值范围 是 . 12.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A,B 是圆 x2+y2﹣6x+5=0 上的两个动点,且满足 ,则 的最小值为 .

二.选择题(本大题共 12 题,每题 3 分,共 36 分) 13.若 sinα>0,且 tanα<0,则角 α 的终边位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14.半径为 1 的球的表面积为( A.π B. C.2π D.4π )



15.在(1+x)6 的二项展开式中,x2 项的系数为( A.2 B.6 C.15 D.20 ﹣2 16.幂函数 y=x 的大致图象是(





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A.

B.

C.

D.

17.已知向量 A.1 B.2



,则向量 在向量 方向上的投影为(



C. (1,0) D. (0,2)

18.设直线 l 与平面 α 平行,直线 m 在平面 α 上,那么( ) A.直线 l 平行于直线 m B.直线 l 与直线 m 异面 C.直线 l 与直线 m 没有公共点 D.直线 l 与直线 m 不垂直 19.在用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+2n=2n2+n(n∈N*)的第(ii)步中,假设 n=k 时原 等式成立,那么在 n=k+1 时需要证明的等式为( ) 2 2 A.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2k +k+2(k+1) +(k+1) B.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1) C.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1) D.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1) 20.关于双曲线 与 的焦距和渐近线,下列说法正确的是( )

A.焦距相等,渐近线相同 B.焦距相等,渐近线不相同 C.焦距不相等,渐近线相同 D.焦距不相等,渐近线不相同 21.设函数 y=f(x)的定义域为 R,则“f(0)=0”是“函数 f(x)为奇函数”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

22.下列关于实数 a,b 的不等式中,不恒成立的是( A.a2+b2≥2ab B.a2+b2≥﹣2ab C.

) D.

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23. 设单位向量



既不平行也不垂直, 对非零向量



有结论: ①若 x1y2﹣x2y1=0,则 ②若 x1x2+y1y2=0,则

; . 关于以上两个结论,正确的判断是( ) A.①成立,②不成立 B.①不成立,②成立 C.①成立,②成立 D.①不成立,②不成立 24. 对于椭圆 y0) . 若点 (x0, 满足 . 则

称该点在椭圆 C(a,b)内,在平面直角坐标系中,若点 A 在过点(2,1)的任意椭圆 C(a,b) 内或椭圆 C(a,b)上,则满足条件的点 A 构成的图形为( ) A.三角形及其内部 B.矩形及其内部 C.圆及其内部 D.椭圆及其内部 三.解答题(本大题共 5 题,共 8+8+8+12+12=48 分) 25.如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积为 ,底面边长为 3,求异面直线 BC1 与 AC 所成的角的大小.

26.已知函数 ,求 f(x)的最小正周期及最大值,并指出 f(x)取得 最大值时 x 的值. 27.如图,汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的 轴垂直,灯泡位于抛物线的焦点 F 处.已知灯口直径是 24cm,灯深 10cm,求灯泡与反射镜 的顶点 O 的距离.

28.已知数列{an}是公差为 2 的等差数列. (1)a1,a3,a4 成等比数列,求 a1 的值;

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(2)设 a1=﹣19,数列{an}的前 n 项和为 Sn.数列{bn}满足 记 (n∈N*) ,求数列{cn}的最小项 (即

, 对任意 n∈N*成立) .

29.对于函数 f(x) ,g(x) ,记集合 Df>g={x|f(x)>g(x)}. (1)设 f(x)=2|x|,g(x)=x+3,求 Df>g; (2)设 f1(x)=x﹣1, 实数 a 的取值范围. ,h(x)=0,如果 .求

二卷一.选择题: 30.若函数 f(x)=sin(x+φ)是偶函数,则 ? 的一个值是( A.0 B. C.π D.2π
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31.在复平面上,满足|z﹣1|=4 的复数 z 的所对应的轨迹是( ) A.两个点 B.一条线段 C.两条直线 D.一个圆 32.已知函数 y=f(x)的图象是折线 ABCDE,如图,其中 A(1,2) ,B(2,1) ,C(3, 2) ,D(4,1) ,E(5,2) ,若直线 y=kx+b 与 y=f(x)的图象恰有四个不同的公共点,则 k 的取值范围是( )

A. (﹣1,0)∪(0,1) B.

C. (0,1]

D.

二.填空题: 33.椭圆 的长半轴的长为 .

34.已知圆锥的母线长为 10,母线与轴的夹角为 30°,则该圆锥的侧面积为 . 35.小明用数列{an}记录某地区 2015 年 12 月份 31 天中每天是否下过雨,方法为:当第 k 天下过雨时,记 ak=1,当第 k 天没下过雨时,记 ak=﹣1(1≤k≤31) ,他用数列{bn}记录该地 区该月每天气象台预报是否有雨,方法为:当预报第 k 天有雨时,记 bn=1,当预报第 k 天 没有雨时,记 bn=﹣1 记录完毕后,小明计算出 a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25,那么该月气象 台预报准确的总天数为 . 三.解答题: 36.对于数列{an}与{bn},若对数列{cn}的每一项 cn,均有 ck=ak 或 ck=bk,则称数列{cn}是 {an}与{bn}的一个“并数列”. (1)设数列{an}与{bn}的前三项分别为 a1=1,a2=3,a3=5,b1=1,b2=2,b3=3,若{cn}是{an} 与{bn}一个“并数列”求所有可能的有序数组(c1,c2,c3) ; (2)已知数列{an},{cn}均为等差数列,{an}的公差为 1,首项为正整数 t;{cn}的前 10 项 和为﹣30,前 20 项的和为﹣260,若存在唯一的数列{bn},使得{cn}是{an}与{bn}的一个“并 数列”,求 t 的值所构成的集合.

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2016 年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题(本大题共 12 题,每题 3 分,共 36 分) 1.复数 3+4i(i 为虚数单位)的实部是 3 . 【考点】复数的基本概念. 【分析】根据复数的定义判断即可. 【解答】解:复数 3+4i(i 为虚数单位)的实部是 3, 故答案为:3. 2.若 log2(x+1)=3,则 x= 7 . 【考点】对数的运算性质;函数的零点. 【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可. 【解答】解:log2(x+1)=3,可得 x+1=8,解得 x=7. 故答案为:7.

3.直线 y=x﹣1 与直线 y=2 的夹角为



【考点】两直线的夹角与到角问题. 【分析】由题意可得直线的斜率,可得倾斜角,进而可得直线的夹角. 【解答】解:∵直线 y=x﹣1 的斜率为 1,故倾斜角为 又∵直线 y=2 的倾斜角为 0, 故直线 y=x﹣1 与直线 y=2 的夹角为 故答案为: . , ,

4.函数

的定义域为 [2,+∞) .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】直接由根式内部的代数式大于等于 0 求解即可. 【解答】解:由 x﹣2≥0 得,x≥2. ∴原函数的定义域为[2,+∞) . 故答案为[2,+∞) .

5.三阶行列式

中,元素 5 的代数余子式的值为 8 .

【考点】高阶矩阵.

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【分析】 根据余子式的定义可知, 在行列式中划去第 1 行第 3 列后所余下的 2 阶行列式带上 i+j 符号(﹣1) ,求出其表达式的值即可. 【解答】解:元素 5 的代数余子式为: (﹣1)1+3| ∴元素 5 的代数余子式的值为 8. 故答案为:8. |=(4×2+1×0)=8.

6.函数 【考点】反函数. 【分析】由于函数

的反函数的图象经过点(2,1) ,则实数 a= 1 .

的反函数的图象经过点(2,1) ,可得函数

的图象

经过点(1,2) ,即可得出. 【解答】解:∵函数 ∴函数 的反函数的图象经过点(2,1) ,

的图象经过点(1,2) ,

∴2= +a,解得 a=1. 故答案为:1. 7.在△ ABC 中,若 A=30°,B=45°, 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】利用正弦定理即可计算求解. 【解答】解:∵A=30°,B=45°, , ,则 AC= .

∴由正弦定理

,可得:AC=

=

=2



故答案为:2

. (结果用数值表示) .

8.4 个人排成一排照相,不同排列方式的种数为 24

【考点】计数原理的应用. 【分析】根据题意,由排列数公式直接计算即可. 【解答】解:4 个人排成一排照相,不同排列方式的种数为 A44=24 种, 故答案为:24.

9.无穷等比数列{an}的首项为 2,公比为 ,则{an}的各项的和为 3 . 【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】{an}的各项的和= ,即可得出.

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【解答】解:{an}的各项的和为: 故答案为:3.

=

=3.

10.若 2+i(i 为虚数单位)是关于 x 的实系数一元二次方程 x2+ax+5=0 的一个虚根,则 a= ﹣4 . 【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】2+i(i 为虚数单位)是关于 x 的实系数一元二次方程 x2+ax+5=0 的一个虚根,则 2 ﹣i(i 为虚数单位)也是关于 x 的实系数一元二次方程 x2+ax+5=0 的一个虚根,再利用根与 系数的关系即可得出. 【解答】解:∵2+i(i 为虚数单位)是关于 x 的实系数一元二次方程 x2+ax+5=0 的一个虚根, ∴2﹣i(i 为虚数单位)也是关于 x 的实系数一元二次方程 x2+ax+5=0 的一个虚根, ∴2+i+(2﹣i)=﹣a, 解得 a=﹣4. 则 a=﹣4. 故答案为:﹣4. 11.函数 y=x2﹣2x+1 在区间[0,m]上的最小值为 0,最大值为 1,则实数 m 的取值范围是 [1,2] . 【考点】二次函数在闭区间上的最值. 【分析】根据二次函数的性质得出 ,求解即可.

【解答】解:∵f(x)=x2﹣2x+1=(x﹣1)2, ∴对称轴 x=1, ∴f(1)=0, f(2)=1,f(0)=1, ∵f(x)=x2﹣2x+2 在区间[0,m]上的最大值为 1,最小值为 0, ∴ ∴1≤m≤2, 故答案为:1≤m≤2. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A,B 是圆 x2+y2﹣6x+5=0 上的两个动点,且满足 ,则 的最小值为 4 . 【考点】直线与圆的位置关系;向量的三角形法则. 【分析】本题可利用 AB 中点 M 去研究,先通过坐标关系,将 转化为 ,用根 AB=2 M 据 ,得到 点的轨迹,由图形的几何特征,求出 模的最小值,得到本题答案. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 中点 M(x′,y′) . ∵x′= ,y′= , ,

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=(x1+x2,y1+y2)=2 , ∵圆 C:x2+y2﹣6x+5=0, ∴(x﹣3)2+y2=4,圆心 C(3,0) ,半径 CA=2. ∵点 A,B 在圆 C 上,AB=2 , ∴CA2﹣CM2=( AB)2, 即 CM=1. 点 M 在以 C 为圆心,半径 r=1 的圆上. ∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2. ≥4, ∴| |≥2,∴ ∴ 的最小值为 4. 故答案为:4. 二.选择题(本大题共 12 题,每题 3 分,共 36 分) 13.若 sinα>0,且 tanα<0,则角 α 的终边位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】象限角、轴线角. 【分析】由 sinα>0,则角 α 的终边位于一二象限,由 tanα<0,则角 α 的终边位于二四象 限,两者结合即可解决问题. 【解答】解:∵sinα>0,则角 α 的终边位于一二象限, ∵由 tanα<0, ∴角 α 的终边位于二四象限, ∴角 α 的终边位于第二象限. 故选择 B. 14.半径为 1 的球的表面积为( A.π B. C.2π D.4π )

【考点】球的体积和表面积. 【分析】利用球的表面积公式 S=4πR2 解答即可求得答案. 【解答】解:半径为 1 的球的表面积为 4π×12=4π, 故选:D. 15.在(1+x)6 的二项展开式中,x2 项的系数为( A.2 B.6 C.15 D.20 )

【考点】二项式系数的性质. 【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可. 【解答】解: (1+x)6 的二项展开式中,通项公式为: Tr+1= ?16﹣r?xr,

令 r=2,得展开式中 x2 的系数为: =15. 故选:C.
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16.幂函数 y=x﹣2 的大致图象是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】利用负指数幂的定义转换函数,根据函数定义域,利用排除法得出选项. 【解答】解:幂函数 y=x﹣2= 可排除 A,B; 值域为(0,+∞)可排除 D, 故选:C. ,定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,

17.已知向量 A.1 B.2



,则向量 在向量 方向上的投影为(



C. (1,0) D. (0,2)

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】求出 ,代入向量的投影公式计算. =1, =1,| |= , 【解答】解: ∴向量 在向量 方向上的投影 故选:A. 18.设直线 l 与平面 α 平行,直线 m 在平面 α 上,那么( A.直线 l 平行于直线 m B.直线 l 与直线 m 异面 C.直线 l 与直线 m 没有公共点 D.直线 l 与直线 m 不垂直 ) =1.

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】由已知中直线 l 与平面 α 平行,直线 m 在平面 α 上,可得直线 l 与直线 m 异面或 平行,进而得到答案. 【解答】解:∵直线 l 与平面 α 平行,直线 m 在平面 α 上, ∴直线 l 与直线 m 异面或平行,
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即直线 l 与直线 m 没有公共点, 故选:C. 19.在用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+2n=2n2+n(n∈N*)的第(ii)步中,假设 n=k 时原 等式成立,那么在 n=k+1 时需要证明的等式为( ) 2 2 A.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2k +k+2(k+1) +(k+1) B.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1) C.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1) D.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1) 【考点】数学归纳法. 【分析】由数学归纳法可知 n=k 时,1+2+3+…+2k=2k2+k,到 n=k+1 时,左端为 1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1) ,从而可得答案. 【解答】解:∵用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+2n=2n2+n 时, 当 n=1 左边所得的项是 1+2; 假设 n=k 时,命题成立,1+2+3+…+2k=2k2+k, 则当 n=k+1 时,左端为 1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1) , ∴从“k→k+1”需增添的项是 2k+1+2(k+1) , ∴1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1) . 故选:D.

20.关于双曲线



的焦距和渐近线,下列说法正确的是(



A.焦距相等,渐近线相同 B.焦距相等,渐近线不相同 C.焦距不相等,渐近线相同 D.焦距不相等,渐近线不相同 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】分别求得双曲线的焦点的位置,求得焦点坐标和渐近线方程,即可判断它们焦距相 等,但渐近线不同. 【解答】解:双曲线 可得焦点为(± 的焦点在 x 轴上, ,0) ,即为(±2 ,0) ,

渐近线方程为 y=± x;

的焦点在 y 轴上, 可得焦点为(0,±2 ) ,渐近线方程为 y=±2x. 可得两双曲线具有相等的焦距,但渐近线不同. 故选:B. 21.设函数 y=f(x)的定义域为 R,则“f(0)=0”是“函数 f(x)为奇函数”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
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【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】函数 y=f(x)的定义域为 R,若函数 f(x)为奇函数,则 f(0)=0,反之不成立, 例如 f(x)=x2.即可判断出结论. 【解答】解:函数 y=f(x)的定义域为 R,若函数 f(x)为奇函数,则 f(0)=0,反之不 成立,例如 f(x)=x2. ∴“f(0)=0”是“函数 f(x)为奇函数”的必要不充分条件. 故选:B. 22.下列关于实数 a,b 的不等式中,不恒成立的是( A.a2+b2≥2ab B.a2+b2≥﹣2ab C. ) D.

【考点】不等式的基本性质. 【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可. 【解答】解:对于 A:a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2≥0,故 A 恒成立; 对于 B:a2+b2+2ab=(a+b)2≥0,故 B 恒成立; 对于 C: 故选:D. ﹣ab= ≥0,故 C 恒成立;D 不恒成立;

23. 设单位向量



既不平行也不垂直, 对非零向量



有结论: ①若 x1y2﹣x2y1=0,则 ②若 x1x2+y1y2=0,则

; . 关于以上两个结论,正确的判断是( ) A.①成立,②不成立 B.①不成立,②成立 C.①成立,②成立 D.①不成立,②不成立 【考点】向量的线性运算性质及几何意义. ①假设存在实数 λ 使得 = 【分析】 与 , 则 =λ , 由于向量

既不平行也不垂直,可得 x1=λx2,y1=λy2,即可判断出结论. =( ,无法得到 )? =0,因此 ,则 =x1x2+y1y2+(x2y1+x1y2) 不一定正确. =λ ,∵向量

②若 x1x2+y1y2=0,则 =(x2y1+x1y2)

【解答】解:①假设存在实数 λ 使得 = 与

既不平行也不垂直,∴x1=λx2,y1=λy2, .

满足 x1y2﹣x2y1=0,因此 ②若 x1x2+y1y2=0,

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=( ,无法得到

)? =0,因此

=x1x2+y1y2+(x2y1+x1y2) 不一定正确.

=(x2y1+x1y2)

故选:A.

24. 对于椭圆

y0) . 若点 (x0, 满足

. 则

称该点在椭圆 C(a,b)内,在平面直角坐标系中,若点 A 在过点(2,1)的任意椭圆 C(a,b) 内或椭圆 C(a,b)上,则满足条件的点 A 构成的图形为( ) A.三角形及其内部 B.矩形及其内部 C.圆及其内部 D.椭圆及其内部 【考点】椭圆的简单性质. y0) 1) 【分析】 点A (x0, 在过点 P (2, 的任意椭圆 C(a,b)内或椭圆 C(a,b)上, 可得 =1, + ≤1.由椭圆的对称性可知:点 B(﹣2,1) ,点 C(﹣2,﹣1) ,点 D(2,﹣

1) ,都在任意椭圆上,即可得出. 【解答】解:设点 A(x0,y0)在过点 P(2,1)的任意椭圆 C(a,b)内或椭圆 C(a,b)上, 则 =1, + ≤1.



+



=1,

由椭圆的对称性可知:点 B(﹣2,1) ,点 C(﹣2,﹣1) ,点 D(2,﹣1) ,都在任意椭圆 上, 可知:满足条件的点 A 构成的图形为矩形 PBCD 及其内部. 故选:B. 三.解答题(本大题共 5 题,共 8+8+8+12+12=48 分) 25.如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积为 ,底面边长为 3,求异面直线 BC1 与 AC 所成的角的大小.

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【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】由正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积求出高,由 A1C1 与 AC 平行,得∠BC1A1 是异 面直线 BC1 与 AC 所成的角,由此利用余弦定理能求出异面直线 BC1 与 AC 所成的角的大 小. 【解答】解:∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积为 ,底面边长为 3, ∴ ,解得 h=4,

∵A1C1 与 AC 平行,∴∠BC1A1 是异面直线 BC1 与 AC 所成的角, 在△ A1BC1 中,A1C1=3,BC1=BA1=5, ∴cos∠BC1A1= ∴∠BC1A1=arccos = .

. .

∴异面直线 BC1 与 AC 所成的角的大小为 arccos 26.已知函数 最大值时 x 的值.

,求 f(x)的最小正周期及最大值,并指出 f(x)取得

【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简 f(x)的解析式,再利用正弦函数的周期性和 最大值,得出结论. 【解答】解:∵ 函数的最大值为 2,且函数取得最大值时,x+ ,∴函数的周期为 T=2π, =2kπ+ ,即 x=2kπ+ ,k∈Z.

27.如图,汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的 轴垂直,灯泡位于抛物线的焦点 F 处.已知灯口直径是 24cm,灯深 10cm,求灯泡与反射镜 的顶点 O 的距离.

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】先设出抛物线的标准方程 y2=2px(p>0) ,点(10,12)代入抛物线方程求得 p, 进而求得 ,即灯泡与反光镜的顶点的距离. 【解答】解:建立平面直角坐标系,以 O 为坐标原点,水平方向为 x 轴,竖直方向为 y 轴, 如图所示: 则:设抛物线方程为 y2=2px(p>0) ,点(10,12)在抛物线 y2=2px 上,
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∴144=2p×10. ∴ =3.6. ∴灯泡与反射镜的顶点 O 的距离 3.6cm.

28.已知数列{an}是公差为 2 的等差数列. (1)a1,a3,a4 成等比数列,求 a1 的值; (2)设 a1=﹣19,数列{an}的前 n 项和为 Sn.数列{bn}满足 记 (n∈N*) ,求数列{cn}的最小项 (即 , 对任意 n∈N*成立) .

【考点】等差数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 【分析】 (1)利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项 a1 的值. (2)由已知利用累加法能求出 bn=2﹣( )n﹣1.从而能求出 cn﹣cn﹣1=2n﹣19+2n,由此能 求出数列{cn}的最小项. 【解答】解: (1)∵数列{an}是公差为 2 的等差数列.a1,a3,a4 成等比数列, ∴ .

解得 d=2,a1=﹣8 (2)bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1) =1+

=

=2﹣( )n﹣1. ,
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=2n﹣19+2n 由题意 n≥9,上式大于零,即 c9<c10<…<cn, 进一步,2n+2n 是关于 n 的增函数, ∵2×4+24=24>19,2×3+23=14<19, ∴c1>c2>c3>c4<c5<…<c9<c10<…<cn, ∴ .

29.对于函数 f(x) ,g(x) ,记集合 Df>g={x|f(x)>g(x)}. (1)设 f(x)=2|x|,g(x)=x+3,求 Df>g; (2)设 f1(x)=x﹣1, 实数 a 的取值范围. 【考点】其他不等式的解法;集合的表示法. 【分析】 (1)直接根据新定义解不等式即可, (2)方法一:由题意可得则 在 R 上恒成立,分类讨论,即可求出 a 的 ,h(x)=0,如果 .求

取值范围, 方法二:够造函数,求出函数的最值,即可求出 a 的取值范围. 【解答】解: (1)由 2|x|>x+3,得 Df>g={x|x<﹣1 或 x>3}; (2)方法一: 由 则 令 ∴a≥0 时成立. 在 R 上恒成立, ,a>﹣t2﹣t, , , , ,

以下只讨论 a<0 的情况 对于 , =t>0,t2+t+a>0,解得 t< 或 t> , (a<0)

又 t>0,所以



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=

综上所述: 方法二(2) 由 恒成立, 即 x∈Ra<0 时, 令 所以 综上所述: , . ,在 x≤1 上恒成立 , , , , a≥0.显然

二卷一.选择题: 30.若函数 f(x)=sin(x+φ)是偶函数,则 ? 的一个值是( A.0 B. C.π D.2π



【考点】正弦函数的图象. 【分析】由函数的奇偶性可得 φ 的取值范围,结合选项验证可得. 【解答】解:∵函数 f(x)=sin(x+φ)是偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) ,即 sin(﹣x+φ)=sin(x+φ) , ∴(﹣x+φ)=x+φ+2kπ 或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ,k∈Z, 当(﹣x+φ)=x+φ+2kπ 时,可得 x=﹣kπ,不满足函数定义; 当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ 时,φ=kπ+ 结合选项可得 B 为正确答案. 故选:B. 31.在复平面上,满足|z﹣1|=4 的复数 z 的所对应的轨迹是( A.两个点 B.一条线段 C.两条直线 D.一个圆 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】设 z=x+yi,得到|x+yi﹣1|= 【解答】解:设 z=x+yi, 则|x+yi﹣1|= ∴(x﹣1)2+y2=16,
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,k∈Z,



=4,从而求出其运动轨迹.

=4,

∴运动轨迹是圆, 故选:D. 32.已知函数 y=f(x)的图象是折线 ABCDE,如图,其中 A(1,2) ,B(2,1) ,C(3, 2) ,D(4,1) ,E(5,2) ,若直线 y=kx+b 与 y=f(x)的图象恰有四个不同的公共点,则 k 的取值范围是( )

A. (﹣1,0)∪(0,1) B.

C. (0,1]

D.

【考点】函数的图象. 【分析】根据图象使用特殊值验证,使用排除法得出答案. 【解答】解;当 k=0,1<b<2 时,显然直线 y=b 与 f(x)图象交于四点,故 k 可以取 0, 排除 A,C; 作直线 BE,则 kBE= ,直线 BE 与 f(x)图象交于三点,

平行移动直线 BD 可发现直线与 f(x)图象最多交于三点, 即直线 y= 故选 B. 与 f(x)图象最多交于三点,∴k≠ .排除 D.

二.填空题: 33.椭圆 的长半轴的长为 5 .

【考点】椭圆的简单性质.
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【分析】利用椭圆性质求解. 【解答】解:椭圆 a=5, ∴椭圆的长半轴长 a=5. 故答案为:5. 34.已知圆锥的母线长为 10,母线与轴的夹角为 30°,则该圆锥的侧面积为 50π . 【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径,代入侧面积公式计算. 【解答】解:∵圆锥的母线长为 10,母线与轴的夹角为 30°, ∴圆锥的底面半径为 5, ∴圆锥的侧面积为 π×5×10=50π. 故答案为:50π. 35.小明用数列{an}记录某地区 2015 年 12 月份 31 天中每天是否下过雨,方法为:当第 k 天下过雨时,记 ak=1,当第 k 天没下过雨时,记 ak=﹣1(1≤k≤31) ,他用数列{bn}记录该地 区该月每天气象台预报是否有雨,方法为:当预报第 k 天有雨时,记 bn=1,当预报第 k 天 没有雨时,记 bn=﹣1 记录完毕后,小明计算出 a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25,那么该月气象 台预报准确的总天数为 28 . 【考点】数列的应用. 【分析】由题意,气象台预报准确时 akbk=1,不准确时 akbk=﹣1,根据 a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3,即可得出结论. 【解答】解:由题意,气象台预报准确时 akbk=1,不准确时 akbk=﹣1, ∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3, ∴该月气象台预报准确的总天数为 28. 故答案为:28. 三.解答题: 36.对于数列{an}与{bn},若对数列{cn}的每一项 cn,均有 ck=ak 或 ck=bk,则称数列{cn}是 {an}与{bn}的一个“并数列”. (1)设数列{an}与{bn}的前三项分别为 a1=1,a2=3,a3=5,b1=1,b2=2,b3=3,若{cn}是{an} 与{bn}一个“并数列”求所有可能的有序数组(c1,c2,c3) ; (2)已知数列{an},{cn}均为等差数列,{an}的公差为 1,首项为正整数 t;{cn}的前 10 项 和为﹣30,前 20 项的和为﹣260,若存在唯一的数列{bn},使得{cn}是{an}与{bn}的一个“并 数列”,求 t 的值所构成的集合. 【考点】数列的求和;数列的应用. 【分析】 (1)利用“并数列”的定义即可得出. (2)利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式可得 an,公差 d,cn,通过分类讨论即可 得出. 【解答】解: (1) (1,2,3) , (1,2,5) , (1,3,3) , (1,3,5) ; (2)an=t+n﹣1, 中,

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设{cn}的前 10 项和为 Tn,T10=﹣30,T20=﹣260,得 d=﹣2,c1=6,所以 cn=8﹣2n;ck=ak 或 ck=bk. ∴k=1,t=6;或 k=2,t=3, 所以 k≥3.k∈N*时,ck=bk, ∵数列{bn}唯一,所以只要 b1,b2 唯一确定即可. 显然,t=6,或 t=3 时,b1,b2 不唯一, . ,

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2016 年 7 月 25 日

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