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阿坝县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

阿坝县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,清华大学,浙江大学等三所大学就读,则每所大学至少保送一 人的不同保送的方法数为( (A)150 种 ) (C) 240 种 (D) 540 种 ) ( B ) 180 种

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 已知函数 f ( x) ? sin x ? 2 x ,且 a ? f (ln ), b ? f (log 2 ), c ? f (2 0.3 ) ,则( A. c ? a ? b B. a ? c ? b D. b ? a ? c )

3 2 C. a ? b ? c

1 3

【命题意图】 本题考查导数在单调性上的应用、 指数值和对数值比较大小等基础知识, 意在考查基本运算能力. 3. 函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的是(

A.a>0,b<0,c>0,d>0 C.a<0,b<0,c<0,d>0 ,若 A. B. C.

B.a>0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 , ,则角 B 的大小为( )

4. △ABC 的三内角 A,B,C 所对边长分别是 a,b,c,设向量 D. ,则 B. D. )
2

  5. 设命题 p: A. C.

p 为(



6. 满足下列条件的函数 f ( x) 中, f ( x) 为偶函数的是( A. f (e ) ?| x |
x

B. f (e ) ? e
x

2x

C. f (ln x) ? ln x

D. f (ln x) ? x ?

1 x

【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识,意在考查分析求解能力. 7. 若双曲线 ) A. B. C. D.2 ﹣ =1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2 相切,则此双曲线的离心率等于(

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8. 直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆

的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为(



A.

B.

C.

D.

  9. 已知函数 f(x)的定义域为[a,b],函数 y=f(x)的图象如下图所示,则函数 f(|x|)的图象是( )

A.

B.

C.

D.

  10.定义在 R 上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数,又 f(7)=6,则 f(x)( A.在[﹣7,0]上是增函数,且最大值是 6 B.在[﹣7,0]上是增函数,且最小值是 6 C.在[﹣7,0]上是减函数,且最小值是 6 D.在[﹣7,0]上是减函数,且最大值是 6 11.



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某个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为 92+14π,则该几何体的体积为( A.80+20π B.40+20π C.60+10π D.80+10π 12.已知数列{an}是等比数列前 n 项和是 Sn,若 a2=2,a3=﹣4,则 S5 等于( A.8 B.﹣8 C.11 D.﹣11 )



二、填空题
13.设 a 抛掷一枚骰子得到的点数,则方程 x2+ax+a=0 有两个不等实数根的概率为      .   14.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 c ? cos B ? a ? 则边 c 的最小值为_______. 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识,意在考查基本运算能 力. 15.设所有方程可以写成(x﹣1)sinα﹣(y﹣2)cosα=1(α∈[0,2π])的直线 l 组成的集合记为 L,则下列说法正 确的是      ; ①直线 l 的倾斜角为 α; ②存在定点 A,使得对任意 l∈L 都有点 A 到直线 l 的距离为定值; ③存在定圆 C,使得对任意 l∈L 都有直线 l 与圆 C 相交; ④任意 l1∈L,必存在唯一 l2∈L,使得 l1∥l2; ⑤任意 l1∈L,必存在唯一 l2∈L,使得 l1⊥l2.   16.若正数 m、n 满足 mn﹣m﹣n=3,则点(m,0)到直线 x﹣y+n=0 的距离最小值是      .   17.曲线 y=x2+3x 在点(-1,-2)处的切线与曲线 y=ax+ln x 相切,则 a=________. 18. △ABC 外接圆半径为  
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1 3 b , ?ABC 的面积 S ? c, 2 12

B, C 对应的边分别为 a, b, c, b=2, , 内角 A, 若 A=60°, 则 c 的值为      .

三、解答题

? x2 y 2 2? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,椭圆 C 过点 P ? 1, 2 ? 2 ? ? ,直线 PF1 a b ? ? ???? ? ???? 交 y 轴于 Q ,且 PF2 ? 2QO, O 为坐标原点.
19.已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 M 是椭圆 C 上的顶点,过点 M 分别作出直线 MA, MB 交椭圆于 A, B 两点,设这两条直线的斜率 分别为 k1 , k2 ,且 k1 ? k2 ? 2 ,证明:直线 AB 过定点.

20.已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)当



时,求 f(x)的最大值,并求此时对应的 x 的值.

21.已知函数 f(x)= x2﹣ax+(a﹣1)lnx(a>1). (Ⅰ) 讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ) 若 a=2,数列{an}满足 an+1=f(an). (1)若首项 a1=10,证明数列{an}为递增数列; (2)若首项为正整数,且数列{an}为递增数列,求首项 a1 的最小值.  

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22.为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况,随机抽取了 100 名 观众进行调查,其中女性有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表: 9 10 11 12 13 14 场数 人数 10 18 22 25 20 5 将收看该节目场次不低于 13 场的观众称为“歌迷”,已知“歌迷”中有 10 名女性. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料我们能否有 95%的把握认为“歌迷”与性别有关? 非歌迷 男 女 合计 (Ⅱ)将收看该节目所有场次(14 场)的观众称为“超级歌迷”,已知“超级歌迷”中有 2 名女性,若从“超级歌 迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率. 0.05 0.01 P(K2≥k) k 附:K2= 3.841 6.635 . 歌迷 合计

23.【徐州市第三中学 2017~2018 学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌,需在如图所示的铁片上切割 出一个直角梯形,已知铁片由两部分组成,半径为 1 的半圆 O 及等腰直角三角形 EFH ,其中 FE ? FH ,为 裁剪出面积尽可能大的梯形铁片 ABCD (不计损耗),将点 A, B 放在弧 EF 上,点 C , D 放在斜边 EH 上, 且 AD / / BC / / HF ,设 ?AOE ? ? .

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(1)求梯形铁片 ABCD 的面积 S 关于 ? 的函数关系式; (2)试确定 ? 的值,使得梯形铁片 ABCD 的面积 S 最大,并求出最大值.

24.已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求 f(A)的取值范围.  

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阿坝县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【 解 析 】 5 人 可 以 分 为 1,1,3 和 1, 2, 2 两 种 结 果 , 所 以 每 所 大 学 至 少 保 送 一 人 的 不 同 保 送 的 方 法 数 为
3 3 C5 ? A3 ?

C52 ? C32 3 ? A3 ? 150 种,故选 A. 2 A2

2. 【答案】D

3. 【答案】A 【解析】解:f(0)=d>0,排除 D, 当 x→+∞时,y→+∞,∴a>0,排除 C, 函数的导数 f′(x)=3ax2+2bx+c, 则 f′(x)=0 有两个不同的正实根, 则 x1+x2=﹣ >0 且 x1x2= >0,(a>0),

∴b<0,c>0, 方法 2:f′(x)=3ax2+2bx+c, 由图象知当当 x<x1 时函数递增,当 x1<x<x2 时函数递减,则 f′(x)对应的图象开口向上, 则 a>0,且 x1+x2=﹣ ∴b<0,c>0, 故选:A   4. 【答案】B 【解析】解:若 , a+c)=0, a+c)=0, 则(a+b)(sinB﹣sinA)﹣sinC( 化为 a2+c2﹣b2=﹣ ∴cosB= ∵B∈(0,π), ac, =﹣ , >0 且 x1x2= >0,(a>0),

由正弦定理可得:(a+b)(b﹣a)﹣c(

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∴B= 故选:B.



【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,是一道 基础题.   5. 【答案】A 【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题, 故答案为:A 6. 【答案】D. 【 解 析 】 p 为: 。

7. 【答案】B 【解析】解:由题意可知双曲线的渐近线方程之一为:bx+ay=0, 圆(x﹣2)2+y2=2 的圆心(2,0),半径为 双曲线 可得: 可得 a2=b2,c= e= = . ﹣ ,

=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2 相切, , a,

故选:B. 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用,考查计算能力.   8. 【答案】A 【解析】直线 x﹣2y+2=0 与坐标轴的交点为(﹣2,0),(0,1),
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直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆 故 故选 A. .

的一个焦点和一个顶点;

【点评】本题考查了椭圆的基本性质,只需根据已知条件求出 a,b,c 即可,属于基础题型.   9. 【答案】B 【解析】解:∵y=f(|x|)是偶函数, ∴y=f(|x|)的图象是由 y=f(x)把 x>0 的图象保留, x<0 部分的图象关于 y 轴对称而得到的. 故选 B. 【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力,注意区别函数 y=f(x)的图象和函数 f(|x|)的图象之间的关 系,函数 y=f(x)的图象和函数|f(x)|的图象之间的关系 ; 体现了数形结合和运动变化的思想,属基础题.   10.【答案】D 【解析】解:∵函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数, ∴函数 f(x)在 x=7 时,函数取得最大值 f(7)=6, ∵函数 f(x)是偶函数, ∴在[﹣7,0]上是减函数,且最大值是 6, 故选:D   11.【答案】 【解析】解析:选 D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱. 依题意得(2r×2r+1πr2)×2+5×2r×2+5×2r+πr×5=92+14π, 2 即(8+π)r2+(30+5π)r-(92+14π)=0, 即(r-2)[(8+π)r+46+7π]=0, ∴r=2, ∴该几何体的体积为(4×4+1π×22)×5=80+10π. 2 12.【答案】D 【解析】解:设{an}是等比数列的公比为 q, 因为 a2=2,a3=﹣4,

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所以 q=

=

=﹣2,

所以 a1=﹣1, 根据 S5= 故选:D. 【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前 n 项的求和公式的能力,本题较易,属于基础题.   =﹣11.

二、填空题
13.【答案】   . 【解析】解:∵a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数, ∴试验发生包含的事件数 6, ∵方程 x2+ax+a=0 有两个不等实根, ∴a2﹣4a>0, 解得 a>4, ∵a 是正整数, ∴a=5,6, 即满足条件的事件有 2 种结果, ∴所求的概率是 = , 故答案为: 【点评】本题考查等可能事件的概率,在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数,是解题的 关键.   14.【答案】 1

15.【答案】 ②③④  【解析】解:对于①:倾斜角范围与 α 的范围不一致,故①错误;

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对于②:(x﹣1)sinα﹣(y﹣2)cosα=1,(α∈[0,2π)), 可以认为是圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=1 的切线系,故②正确; 对于③:存在定圆 C,使得任意 l∈L,都有直线 l 与圆 C 相交, 如圆 C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=100,故③正确; 对于④:任意 l1∈L,必存在唯一 l2∈L,使得 l1∥l2,作图知④正确; 对于⑤:任意意 l1∈L,必存在两条 l2∈L,使得 l1⊥l2,画图知⑤错误. 故答案为:②③④.

【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识 点的合理运用.   16.【答案】 

 . ,

【解析】解:点(m,0)到直线 x﹣y+n=0 的距离为 d= ∵mn﹣m﹣n=3, ∴(m﹣1)(n﹣1)=4,(m﹣1>0,n﹣1>0), ∴(m﹣1)+(n﹣1)≥2 ∴m+n≥6, 则 d= 故答案为: . ≥3 . ,

【点评】本题考查了的到直线的距离公式,考查了利用基本不等式求最值,是基础题.   17.【答案】 【解析】由 y=x2+3x 得 y′=2x+3, ∴当 x=-1 时,y′=1, 则曲线 y=x2+3x 在点(-1,-2)处的切线方程为 y+2=x+1, 即 y=x-1,设直线 y=x-1 与曲线 y=ax+ln x 相切于点(x0,y0), 由 y=ax+ln x 得 y′=a+1(x>0),

x

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∴a=0. 答案:0 18.【答案】 

{

a+x0=1
y0=x0-1 y0=ax0+ln x0

1

)

,解之得 x0=1,y0=0,a=0.

 . ,内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,若 A=60°,b=2, ,解得:a=3, (舍去).

【解析】解:∵△ABC 外接圆半径为 ∴由正弦定理可得:

∴利用余弦定理:a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:9=4+c2﹣2c,即 c2﹣2c﹣5=0, ∴解得:c=1+ 故答案为: 基础题.   ,或 1﹣ .

【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和计算能力,属于

三、解答题
19.【答案】(1) 【解析】

x2 ? y 2 ? 1 ;(2)证明见解析. 2

试 题解析: (1) PF2 ? 2QO ,∴ PF2 ? F1 F2 ,∴ c ? 1 ,

???? ?

????

1 1 2 ? ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? 1 , a 2 b2
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∴ b ? 1, a ? 2 ,
2 2

x2 ? y2 ? 1; 2 (2)设 AB 方程为 y ? kx ? b 代入椭圆方程


∴ k ? b ? 1 代入 y ? kx ? b 得: y ? kx ? k ? 1 所以, 直线必过 ? ?1, ?1? .1 考点:直线与圆锥曲线位置关系.

?2kb ?1 2? 2 2 , x A AxB ? ? ? k ? x ? 2kbx ? b ? 1 ? 0 , x A ? xB ? 1 2 ?2 ? ?k 2 y ?1 y ?1 y ? 1 yB ? 1 kMA ? A , kMB ? B ,∴ k MA ? k MB ? A ? ? xA xB xA xB

b2 ? 1 , 1 2 ?k 2 y A xB ? x A y B ? ? x A ? xB ? ? 2, x A AxB

【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想,将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方 面要体现方程思想,另一方面要结合已知条件,从图形角度求解.联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化 为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中, 应熟练地利用根与系数关系、 设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问 题,可考虑用圆锥曲线的定义求解. 20.【答案】 【解析】解:(1)f(x)= =sin2x+ = =sin(2x﹣ 周期 T=π, 因为 cosx≠0,所以{x|x≠ 当 2x﹣ ∈,即 +kπ,k∈Z}…5 分 +kπ,x≠ +kπ,k∈Z 时函数 f(x)单调递减, sinxcosx﹣ + sin2x﹣ )…3 分 ﹣

+kπ≤x≤

所以函数 f(x)的单调递减区间为,,k∈Z…7 分 (2)当 sin(2x﹣ 故当 x= ,2x﹣ ∈,…9 分 时取最大值,

)∈(﹣ ,1),当 x=

时函数 f(x)取最大值为 1…12 分

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【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数最值的解法,属 于基础题.   21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵ ∴ 当 a=2 时,则 , (x>0), 在(0,+∞)上恒成立,

当 1<a<2 时,若 x∈(a﹣1,1),则 f′(x)<0,若 x∈(0,a﹣1)或 x∈(1,+∞),则 f′(x)>0, 当 a>2 时,若 x∈(1,a﹣1),则 f′(x)<0,若 x∈(0,1)或 x∈(a﹣1,+∞),则 f′(x)>0, 综上所述:当 1<a<2 时,函数 f(x)在区间(a﹣1,1)上单调递减, 在区间(0,a﹣1)和(1,+∞)上单调递增; 当 a=2 时,函数(0,+∞)在(0,+∞)上单调递增; 当 a>2 时,函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(0,1)和(a﹣1,+∞)上单调递增. (Ⅱ)若 a=2,则 ,由(Ⅰ)知函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,

(1)因为 a1=10,所以 a2=f(a1)=f(10)=30+ln10,可知 a2>a1>0, 假设 0<ak<ak+1(k≥1),因为函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增, ∴f(ak+1)>f(ak),即得 ak+2>ak+1>0, 由数学归纳法原理知,an+1>an 对于一切正整数 n 都成立, ∴数列{an}为递增数列. (2)由(1)知:当且仅当 0<a1<a2,数列{an}为递增数列, ∴f(a1)>a1,即 设 ∴函数 g(x)在区间 由于 ∴首项 a1 的最小值为 6. 【点评】本题考查导数的运用 : 求单调区间,同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用,考查运算能 力,属于中档题.   (x≥1),则 上递增, ,g(6)=ln6>0,又 a1 为正整数, (a1 为正整数), ,

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选做题:本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 7 分.如果多做,则 按所做的前两题计分.【选修 4-2:矩阵与变换】 22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由统计表可知,在抽取的 100 人中,“歌迷”有 25 人,从而完成 2×2 列联表如下: 男 女 非歌迷 30 45 歌迷 15 10 合计 45 55

75 25 100 合计 … 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得: K2= = ≈3.030

因为 3.030<3.841,所以我们没有 95%的把握认为“歌迷”与性别有关.… (Ⅱ)由统计表可知,“超级歌迷”有 5 人,从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 Ω={(a1,a2),(a1, a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)} 其中 ai 表示男性,i=1,2,3,bi 表示女性,i=1,2. Ω 由 10 个等可能的基本事件组成.… 用 A 表示“任选 2 人中,至少有 1 个是女性”这一事件,则 A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2) ,(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2) },事件 A 由 7 个基本事件组成. ∴P(A)= …12

【点评】本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质,列举法计算事件发生的概率,涉及到的知识点 较多,有一定的综合性,难度不大,是高考中的易考题型.   23.【答案】(1) S ? 2 ?1 ? sin? ? cos? ,其中 0 ? ? ?

?
2

.(2) ? ?

?
6

时, S max ?

3 3 2

【 解 析 】 试 题 分 析 : ( 1 ) 求 梯 形 铁 片 ABCD 的 面 积 S 关 键 是 用 ? 表 示 上 下 底 及 高 , 先 由 图 形 得

?AOE ? ?BOF ? ? ,这样可得高 AB ? 2cos? ,再根据等腰直角三角形性质得 AD ? ?1 ? cos? ? ? sin? ,
BC ? ?1 ? cos? ? ? sin? 最 后 根 据 梯 形 面 积 公 式 得 S ?
0 ?? ?

? AD ? BC ? ? AB ? 2 1 ? sin? cos? , 交 代 定 义 域 ? ?
2

?
2

.( 2 )利用导数求函数最值:先求导数 f ' ?? ? ? ?2 ? 2sin? ? 1?? sin? ? 1? ,再求导函数零点

??

?
6

,列表分析函数单调性变化规律,确定函数最值

试题解析:(1)连接 OB ,根据对称性可得 ?AOE ? ?BOF ? ? 且 OA ? OB ? 1 , 所以 AD ? 1 ? cos? ? sin? , BC ? 1 ? cos? ? sin? , AB ? 2cos? ,

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所以 S ?

? AD ? BC ? ? AB ? 2 1 ? sin? cos? ,其中 ? 0 ?? ? ? ?
2

2



考点:利用导数求函数最值 【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求单调区间;第二 步:解 f′(x)=0 得两个根 x1、x2;第三步:比较两根同区间端点的大小;第四步:求极值;第五步:比较极 值同端点值的大小. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵f(x)= ∴由 2k ≤ + ≤2kπ sin cos +cos2 =sin( + ,k∈Z 可解得:4kπ﹣ ,4kπ ) , ,k∈Z,

≤x≤4kπ ],k∈Z.

∴函数 f(x)单调递增区间是:[4kπ﹣ (Ⅱ)∵f(A)=sin( + ) ,

∵由条件及正弦定理得 sinBcosC=(2sinA﹣sinC)cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB, ∴则 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, ∴sin(B+C)=2sinAcosB,又 sin(B+C)=sinA≠0, ∴cosB= ,又 0<B<π, ∴B= . , ,

∴可得 0<A< ∴ < + <

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sin( +

)<1,

故函数 f(A)的取值范围是(1, ). 【点评】 本题考查三角函数性质及简单的三角变换, 要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角 函数进行化简求值,属于中档题.  

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