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2012届高考数学第一轮复习强化训练 15.5《曲线的方程和轨迹问题》新人教版选修4-4


15.5 曲线的方程和轨迹问题
【考纲要求】 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 【基础知识】 1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义 在直角坐标系中, 如果曲线 C 上的点与一个二元方程 f ( x, y ) ? 0 的实数解建立了如下 关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解(纯粹性);(2)以这个方程的解为坐标 的点都在曲线上(完备性)。那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。 2、求简单的曲线方程的一般步骤 (1)建立直角坐标系:利用垂直性和对称性建立适当的坐标系; (2)设点: 用有序实数对 ( x, y ) 表示曲线上任意一点 M 的坐标 (不要把其它的点的坐标设成

( x, y ) );
(3)列式:用坐标表示条件 P (M ) ,列出方程 f ( x, y ) ? 0 ; (4)化简:化方程 f ( x, y ) ? 0 为最简形式; (5)检验:检验某些特殊点是否满足题意,把不满足的点排除,把满足的点补充上来。 3、求简单的曲线方程的主要方法:轨迹四法 待代直参 (1)待定系数法:通过对已知条件的分析,发现动点满足某个圆锥曲线的定义,然后 设出曲线的方程,求出其中的待定系数。 (2)代入法:如果点 M 的运动是由于点 P 的运动引起的,可以先用点 M 的坐标表示点 P 的坐标,然后代入点 P 满足的方程,即得动点 M 的轨迹方程。 (3)直接法:直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程。 (4)参数法:动点 M ( x, y ) 的运动主要是由于某个参数 ? 的变化引起的,可以选参、设参, 然后用这个参数表示动点的坐标,即 ?

? x ? f (? ) ,再消参。 ? y ? g (? )

4、轨迹和轨迹方程 轨迹和轨迹方程是两个不同的概念,轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特 征的描述,而求轨迹方程只求那个方程即可,不需描述曲线的特征。 【例题精讲】 例1 如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1, O1O2 ? 4 ,过动点 P 分别作圆 O1 、圆 O2 的

切线 PM、PN(M、N 分别为切点),使得 PM ? 的轨迹方程.

2 PN .试建立适当的坐标系,并求动点 P

解:以 O1O2 的中点 O 为原点, O1O2 所在的

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-1-

直线为 x 轴,建立平面直角坐标系, 则 O1 (?2,0), O2 (2,0) 由已知 PM ?

2 PN 可得: PM 2 ? 2PN 2
2 2

因为两圆的半径均为 1,所以 PO1 ? 1 ? 2( PO2 ? 1) 设 P ( x, y ) ,则 ( x ? 2) ? 1 ? 2[( x ? 2) ? y ? 1] ,即 ( x ? 6) ? y ? 33
2 2 2 2 2

所以所求轨迹方程为: ( x ? 6) ? y ? 33 (或 x ? y ? 12 x ? 3 ? 0 )
2 2 2 2

P

M
N
O 1

O 2

例2

已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 和点 P(1,2),直线 l 经过点 P 并与椭圆 C 交于 A、B 16 9

两点,求当 l 倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程。

解:设弦中点为 M(x,y),交点为 A( x1 ,y1 ) 、B ( x 2 ,y 2 ) 。当 M 与 P 不重合时,A、B、 M、P 四点共线。 ∴ ( y 2 ? y1 )( x ? 1) ? ( x 2 ? x1 )( y ? 2) ①

2 2 x12 y12 x2 y2 由 ? ? 1, ? ? 1 ,两式相减得 16 9 16 9

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 16 9
又 x1 ? x 2 ? 2 x,y1 ? y 2 ? 2 y ∴

2 x ( x1 ? x 2 ) 2 y ( y1 ? y 2 ) ?? 16 9
2 2



由①②可得: 9 x ? 16 y ? 9 x ? 32 y ? 0



当点 M 与点 P 重合时,点 M 坐标为(1,2),适合方程③。

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-2-

∴弦中点的轨迹方程为: 9 x ? 16 y ? 9 x ? 32 y ? 0
2 2

15.5 曲线的方程和轨迹问题强化训练 【基础精练】 1. 已知平面 ? // 平面 ? ,直线 l ? ? ,点 P ? l ,平面 ? 、 ? 间的距离为 4,则在 ? 内到点 P 的距离为 5 且到直线 l 的距离为 A. 一个圆 C. 四个点

9 的点的轨迹是( 2



B. 两条平行直线 D. 两个点

2 在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? 面 PAB, BC ? 面 PAB,底面 ABCD 为梯形,AD=4,BC=8, AB=6, ?APD ? ?CPB ,满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是( ) A. 圆 C. 抛物线 B. 不完整的圆 D. 抛物线的一部分

3. 如图,定点 A 和 B 都在平面 ? 内,定点 P ? ?, PB ? ?, C 是 ? 内异于 A 和 B 的动点。且

PC ? AC ,那么动点 C 在平面 ? 内的轨迹是(
A. 一条线段,但要去掉两个点 B. 一个圆,但要去掉两个点 C. 一个椭圆,但要去掉两个点 D. 半圆,但要去掉两个点



4. 如图 3,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 是侧面 BC1 内一动点,若 P 到直线 BC 与直 线 C1 D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 ) D. 抛物线

图3

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5. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,点 P 是平面 AC 内的动点,若点 P 到直线

A1 D1 的距离等于点 P 到直线 CD 的距离,则动点 P 的轨迹所在的曲线是(
A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 直线



6. 已知异面直线 a,b 成 60? 角,公垂线段 MN 的长等于 2,线段 AB 两个端点 A、B 分别在 a,b 上移动,且线段 AB 长等于 4,求线段 AB 中点的轨迹方程。

7. 已知圆 E 的方程为 (x-1) + y = 1, 四边形 PABQ 为该圆的内接梯形,底 AB 为圆的 直径且在 x 轴上,以 A、B 为焦点的椭圆 C 过 P、Q 两点. (1) 若直线 QP 与椭圆 C 的右准线相交于点 M,求点 M 的轨迹; (2) 当梯形 PABQ 周长最大时,求椭圆 C 的方程.

2

2

8. 已知双曲线的两个焦点分别为 F1、F2,其中 F1 又是抛物线 y = 4 x 的一个焦点,且点 A(-1, 2),B(3, 2)在双曲线上. (1)求点 F2 的轨迹; (2)是否存在直线 y = x+m 与点 F2 的轨迹有且只有两个公共点,若存在,求出实数 m 的值, 若不存在,说明理由.

2

9. 已知常数 a > 0,c = (0, a),i = (1, 0),经过原点 O,以 c +λ i 为方向向量的直 线与经过定点 A(0 , a),以 i - 2λ c 为方向向量的直线交于点 P,其中λ ∈R,试问:是否
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存在两个定点 E , F,使得 | PE| + | PF | 为定值,若存在,求出 E, F 的坐标,若不存在, 说明理由.

10. 如图, 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, ,AB 边 0) 所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 点 T (?11) 在 AD 边所在直线上. , (I)求 AD 边所在直线的方程; (II)求矩形 ABCD 外接圆的方程; (III)若动圆 P 过点 N (?2, ,且与矩形 ABCD 的外接圆外 0) 切,求动圆 P 的圆心的轨迹方程.

y

C
T D

M
B

N

O
A

x

11. 如图,设抛物线 C : y ? x 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. (1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB. y
2

F A

B

l

x
O
P

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12. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0)、F2(c,0),Q a2 b2

是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并 且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ?

c x; a

(Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M, 使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.

13. 过抛物线 y =4x 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,O 为坐标原点.求△AOB 的 重心 G 的轨迹 C 的方程.

2

14. 已知圆 C : x ? y ? 1 和点 Q (2, 0) ,动点 M 到圆 C 的切线长与 | MQ | 的比等于常数
2 2

? (? ? 0) ,求动点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?

【拓展提高】 2 1.设点 A 和 B 为抛物线 y =4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知 OA⊥OB,OM⊥AB, 求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线

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2.三峡工程需修建一个土石基坑,基坑成矩形 ABCD ,按规定, 挖出的土方必须沿道路 PA 或 PB 送到 P 点处。已知

PA ? 100m, PB ? 150m, BC ? 60m, AB ? 160m ,能否在池中确定
一条界线,使得位于界线一侧的点沿道路 PA 送土方较近,而另一侧 的点沿道路 PB 送土方较近?如果能,请说明这条界线是什么曲线, 并求出轨迹方程。

【基础精练参考答案】 1. 如图 1, 设点 P 在平面 ? 内的射影是 O, OP 是 ? 、? 的公垂线, 则 OP=4。 在 ? 内到点 P 的距离等于 5 的点到 O 的距离等于 3, 可知所求点的轨迹是 ? 内 在以 O 为圆心,3 为半径的圆上。又在 ? 内到直线 l 的距离等于 是两条平行直线 m、n,它们到点 O 的距离都等于 ( ) 2 ? 4 2 ?

9 的点的集合 2
17 ? 3 ,所 2

9 2

以直线 m、n 与这个圆均相交,共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点,故选 C。

2. 因为 AD ? 面 PAB, BC ? 面 PAB,所以 AD//BC,且 ?DAP ? ?CBP ? 90? 。 又 ?APD ? ?CPB, AD ? 4, BC ? 8 , 可得 tan ?APD ?

AD CB ? ? tan ?CPB , PA PB

即得

PB CB ? ?2 PA AD

在平面 PAB 内,以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点 O 为坐标原点,建立平面直角坐标系,则 A (-3,0)、B(3,0)。设点 P(x,y),则有

| PB | ? | PA |

( x ? 3) 2 ? y 2 ( x ? 3) 2 ? y 2

?2,

整理得 x 2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0 由于点 P 不在直线 AB 上,故此轨迹为一个不完整的圆,选 B。 3. 因为 AC ? PC ,且 PC 在 ? 内的射影为 BC,所以 AC ? BC ,即 ?ACB ? 90? 。所以点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆且去掉 A、B 两点,故选 B。

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4. 因为 P 到 C1 D1 的距离即为 P 到 C1 的距离,所以在面 BC1 内,P 到定点 C1 的距离与 P 到定直线 BC 的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点 P 的轨迹为抛物线,故选 D。

5. 以 A 为原点,AB 为 x 轴、AD 为 y 轴,建立平面直角坐标系。设 P(x,y),作 PE ? AD 于 E、 PF ? A1 D1 于 F,连结 EF,易知

| PF | 2 ?| PE | 2 ? | EF | 2 ? x 2 ? 1
又作 PN ? CD 于 N,则 | PN |?| y ? 1 | 。 依题意 | PF |?| PN | , 即 x 2 ? 1 ?| y ? 1 | , 化简得 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 故动点 P 的轨迹为双曲线,选 B。

6. 如图,易知线段 AB 的中点 P 在公垂线段 MN 的中垂面 ? 上,直线 a ' 、 b' 为平面 ? 内过 MN 的中点 O 分别平行于 a、b 的直线, AA' ? a ' 于 A' , BB' ? b' 于 B' ,则 AB ? A' B' ? P ,且 P 也为 A' B' 的中点。 由已知 MN=2,AB=4,易知 AA' ? 1, AP ? 2, 得 A' B' ? 2 3 。

则问题转化为求长等于 2 3 的线段 A' B' 的两个端点 A' 、 B' 分别在 a ' 、 b' 上移动时其中点 P 的轨迹。现以 ?A' OB' 的角平分线为 x 轴,O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系。

设 P( x , y) , | OA' |? m, | OB' |? n , 则 A' (

3 1 3 1 m, m), B' ( n ,? n ) 2 2 2 2
用心 爱心 专心 -8-

x?

3 1 (m ? n ), y ? (m ? n ) 4 4

3 1 (m ? n ) 2 ? (m ? n ) 2 ? (2 3 ) 2 4 4
消去 m、n,得线段 AB 的中点 P 的轨迹为椭圆,其方程为

x2 ? y2 ? 1。 9

7. 解 (1) 设椭圆 C:b (x-1) + a y = a b (a >b >0),由题意知 2c = 2, 故 c = 1, 2 如图 9-9,从而可得 右准线的方程 x = a +1, ??????????????????????? ① 2 2 2 设 M(x, y),P(x0, y0),连 PB,则有 | PA| + |PB| = |AB| , 2 2 ∴ ( | PA| + | PB| ) - 2| PA|·|PB| = 4,由此可得 (2a) - 2·2 | yP | = 4,即 yP 2 = ±(a -1),??????② 于是,由①②得 y =±(x- 2). 又∵ 点 P(x0, y0)是圆 E 上的点,且不与 AB 重合, 2 2 ∴ 0 < |y0| < 1,故有 0 < a - 1< 1 , 即 1 < a < 2??????????????????????? ③ 由①③得 2 < x < 3,∴ 点 M 的轨迹是两条线段,其方程为 y =±(x-2) (2 < x < 3). o o (2) 设∠ABQ =θ ,∵点 Q 在 P 点左侧,∴θ ∈(45 , 90 ), 又|AB| = 2, 于是,由图 9-9 可得 | PA| = |BQ| = 2cosθ , |PQ| = |AB|-2|BQ|cosθ 2 = 2- 4cos θ , ∴ 周长 L= (2-4cos θ ) + 4cosθ + 2 ? ?4(cos? ? ) 2 ? 5 . 当 cos? ? ,即? ? 60? 时,周长 L 取最大值 5. 此时 |BQ| = 1, |AQ| = 3 ,2a = |BQ| +|AQ| =1+ 3 , ∴ a2 ? (
1? 3 2 2 ? 3 3 , b2 ? a2 ?1 ? , ) ? 2 2 2
y B O Q P xA
2

2

2

2 2

2

2

1 2

1 2

故 所求椭圆的方程为

( x ? 1) 2 2? 3 2

?

y2 3 2

?1.

图 9-9

8. 解 (1) 由题意知 F1(1, 0),设 F2(x , y),则 | |AF1|-|AF2| | = | |BF1|-|BF2| | = 2a > 0.???????????① ∵ A(-1, 2),B(3, 2) 在已知双曲线上,且 |AF1| = | BF1| = 2 2 .于是 (ⅰ) 当 | AF1|-|AF2| = |BF1|-|BF2|时,有 |AF2| = |BF2| , 再代入①得: F2 的轨迹为直线 x = 1 除去两个点 F1(1, 0), D(1, 4). (ⅱ) ∵ 当 | AF1|-|AF2| = - ( |BF1|-|BF2| ) 时,有 | AF2| + |BF2| = |AF1| + |BF1| = 4 2 > 4 = |AB| , ∴ 点 F2 的轨迹是以 A、B 两点为焦点的椭圆 Q,且除去 F1(1, 0),D(1, 4)两点, 故所求的轨迹方程为 l:x = 1 与 Q:
( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ? ? 1 ( y≠0,y≠ 4 ). 8 4
-9-

用心 爱心 专心

(2) 设存在直线 L:y = x+ m 满足条件.(ⅰ) 若 L 过点 F1 或点 D, ∵ F1、D 两点既在直线 l:x = 1 上,又在椭圆 Q 上,但不在 F2 的轨迹上, ∴ L 与 F2 的轨迹只有一个公共点,不合题意. (ⅱ) )若 L 不过点 F1 和 D 两点,(m≠-1, m≠3),则 L 与 l 必有一个公共点 E,且 E 点 不在椭圆 Q 上, ∴ 要使 L 与 F2 的轨迹有且只有两个公共点,则 L 必与 Q 有且只有一个公共点. 由 ? ( x ? 1) 2 ?
? ? 8 ? y ? x ? m, ?

得 3x - (10 - 4m) x +2m - 8m +1= 0, ( y ? 2) 2 ? 1, 4
2 2 2

2

2

从而,有 △= (10 - 4m) - 12(2m - 8m+1) = - 8 ( m -2m-11) , 当△= 0 时,有 m ? 1 ? 2 3 .即存在符合条件的直线 y = x+ 1 ? 2 3 .

9. 解 ∵ c +λ i = (λ , a),i - 2λ c = (1, - 2λ a) , 由向量平行关系得 OP 与 AP 的方程分别为λ y = ax,y- a = - 2λ ax.?????????????? ① 由此消去参数λ ,得 点 P(x ,y)满足方程为
x2 ? 1 8 a ( y ? )2 2 ? 1 , ????????????????? ② a 2 ( ) 2

∵ a > 0 , 从而,有(1) 当 a ? E,F ; (2) 当 0< a ? 个焦点: E (
1 2

2 时,方程②表示的是圆,不存在符合题意的两个定点 2

2 时,方程②表示的是椭圆,故存在符合题意的两个定点,即为椭圆的两 2

1 a 1 ? a 2 , ), F (? 2 2 2

1 a ? a2 , ) ; 2 2

(3) 当 a ?
1 2

2 时,方程②表示的是椭圆,故存在合乎题意的两个定点,即为椭圆的两个 2

焦点: E (0, (a ? a 2 ? )) , F (0, (a ? a 2 ? ) ) .

1 2

1 2

1 2

10. 解:(I)因为 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,且 AD 与 AB 垂直, 所以直线 AD 的斜率为 ?3 . 又因为点 T (?11) 在直线 AD 上, ,

所以 AD 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1) 即 3 x ? y ? 2 ? 0 .

(II)由 ?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, 解得点 A 的坐标为 (0, 2) , ? ?3 x ? y ? 2 = 0

因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2, . 0)
用心 爱心 专心 - 10 -

所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又 AM ?

(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .
2 2

从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8 . (III)因为动圆 P 过点 N ,所以 PN 是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切, 所以 PM ? PN ? 2 2 , 即 PM ? PN ? 2 2 .

故点 P 的轨迹是以 M ,N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支. 因为实半轴长 a ?

2 ,半焦距 c ? 2 .所以虚半轴长 b ? c 2 ? a 2 ? 2 .
x2 y 2 ? ? 1( x ≤ ? 2) . 2 2

从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为

2 11. 解:(1)设切点 A、B 坐标分别为 ( x, x0 )和( x1 , x12 )(( x1 ? x0 ) ,

2 ∴切线 AP 的方程为: 2 x 0 x ? y ? x 0 ? 0;

切线 BP 的方程为: 2 x1 x ? y ? x1 ? 0;
2

x0 ? x1 , y P ? x0 x1 2 x ? x1 ? x P ? xP , 所以△APB 的重心 G 的坐标为 xG ? 0 3 2 y ?y ?y x 2 ? x 2 ? x0 x1 ( x0 ? x1 ) 2 ? x0 x1 4 xP ? y p yG ? 0 1 P ? 0 1 ? ? , 3 3 3 3 2 所以 y p ? ?3 y G ? 4 xG ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:
解得 P 点的坐标为: x P ?

1 x ? (?3 y ? 4 x 2 ) ? 2 ? 0, 即y ? (4 x 2 ? x ? 2). 3

(2)方法 1:因为 FA ? ( x0 , x0 ? ), FP ? (
2

? x ?x ? 1 ??? 1 ??? 1 0 1 , x0 x1 ? ), FB ? ( x1 , x12 ? ). 4 2 4 4 由于 P 点在抛物线外,则 | FP |? 0. x0 ? x1 1 1 1 ??? ??? ? ? ? x0 ? ( x0 x1 ? )( x0 2 ? ) x0 x1 ? FP ? FA 2 4 4 ? ??? 4 , ? ? ? ∴ cos ?AFP ? ??? ??? ? ??? ? | FP || FA | | FP | 1 2 2 2 | FP | x0 ? ( x0 ? ) 4 x0 ? x1 1 1 1 ??? ??? ? ? ? x1 ? ( x0 x1 ? )( x12 ? ) x0 x1 ? FP ? FB 2 4 4 ? ??? 4 , ? ? ? 同理有 cos ?BFP ? ??? ??? ? ??? ? | FP || FB | | FP | 1 2 2 2 | FP | x1 ? ( x1 ? ) 4
∴∠AFP=∠PFB.
用心 爱心 专心 - 11 -

??? ?

方法 2: ①当 x1 x 0 ? 0时,由于x1 ? x 0 , 不妨设x 0 ? 0, 则y 0 ? 0, 所以 P 点坐标为 (

x1 ,0) , 2

则 P 点到直线 AF 的距离为: d1 ? 即 ( x12 ? ) x ? x1 y ?

| x1 | 1 ; 而直线BF的方程 : y ? ? 2 4

x12 ? x1

1 4 x,

1 4

1 x1 ? 0. 4

1 x x 1 |x | | ( x12 ? ) 1 ? 1 | ( x12 ? ) 1 4 2 4 ? 4 2 ? | x1 | 所以 P 点到直线 BF 的距离为: d 2 ? 1 2 1 x12 ? ( x12 ? ) 2 ? ( x1 ) 2 4 4
所以 d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.

1 2 x0 ? 1 4 ( x ? 0), 即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, ②当 x1 x 0 ? 0 时,直线 AF 的方程: y ? ? 0 0 0 4 x0 ? 0 4 4 1 x12 ? 1 4 ( x ? 0), 即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, 直线 BF 的方程: y ? ? 1 1 1 4 x1 ? 0 4 4 所以 P 点到直线 AF 的距离为:

x ?x 1 x ?x 1 1 2 | ( x0 ? )( 0 1 ) ? x0 2 x1 ? x0 | | 0 1 )( x0 2 ? ) 4 2 4 2 4 ? | x0 ? x1 | d1 ? ? 1 2 2 1 2 x0 ? ( x0 ? ) 2 ? x0 2 4 4 | x ? x0 | 同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 d 2 ? 1 ,因此由 d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB. 2
12. (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为 ( x, y ). 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得

| F1 P |? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? b 2 ?

b2 2 c x ? (a ? x) 2 . a a2

由 x ? ? a, 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. a a

证法二:设点 P 的坐标为 ( x, y ). 记 | F1 P |? r1 , | F2 P |? r2 , 则 r1 ?

( x ? c) 2 ? y 2 , r2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 .

c x. a c 证法三:设点 P 的坐标为 ( x, y ). 椭圆的左准线方程为 a ? x ? 0. a
由 r1 ? r2 ? 2a, r12 ? r22 ? 4cx, 得 | F1 P |? r1 ? a ?
用心 爱心 专心 - 12 -

2 由椭圆第二定义得 | F1 P | ? c ,即 | F1 P |? c | x ? a |?| a ? c x | . a c a a a2 |x? | c

由 x ? ? a, 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. a a

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为 ( x, y ). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ?TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |?

1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2
2 2 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . 解法二:设点 T 的坐标为 ( x, y ). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ?TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.
? x? ? ?, y ? ),则 ? 设点 Q 的坐标为( x ? ?y ? ? ?
2 2

x? ? c , 2 y? . 2
2

? x ? ? 2 x ? c, 因此 ? ? y ? ? 2 y.



由 | F1Q |? 2a 得 ( x ? ? c) ? y ? ? 4a . 将①代入②,可得 x ? y ? a .
2 2 2



综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a .
2 2 2

(Ⅲ)解法一:C 上存在点 M( x 0 , y 0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y 0 ? a 2 , ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

③ ④
2 b2 . 所以,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c c

由③得 | y 0 |? a ,由④得 | y 0 |?

用心 爱心 专心

- 13 -

当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M
c
2 当 a ? b 时, MF1 ? (?c ? x 0 ,? y 0 ), MF2 ? (c ? x 0 ,? y 0 ) , c

2

由 MF1 ? MF2 ? x 0 ? c ? y 0 ? a ? c ? b ,
2 2 2 2 2 2

MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos ?F1 MF2 ,
S? 1 | MF1 | ? | MF2 | sin ?F1 MF2 ? b 2 ,得 tan ?F1 MF2 ? 2. 2

解法二:C 上存在点 M( x 0 , y 0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y 0 ? a 2 , ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . 2 ?

③ ④

由④得 | y 0 |?

4 2 2 b2 2 . 上式代入③得 x 0 ? a 2 ? b 2 ? (a ? b )(a ? b ) ? 0. c c c c

2 于是,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c

当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M
c
2 y0 y0 当 a ? b 时,记 k1 ? k F M ? , , k 2 ? k F2 M ? 1 c x0 ? c x0 ? c

2

由 | F1 F2 |? 2a, 知 ?F1 MF2 ? 90? ,所以 tan ?F1 MF2 ?| k1 ? k 2 |? 2.
1 ? k1 k 2

13. 解: 抛物线的焦点坐标为 (1, , 0) 当直线 l 不垂直于 x 轴时, 设方程为 y=k x-1) ( , 2 代入 y =4x, 2 2 2 2 得 k x -x(2k +4)+k =0. 设 l 方程与抛物线相交于两点, ∴k≠0.设点 A、B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 根据韦达定理,有 x1+x2=

2(k 2 ? 2) 4 ,从而 y1+y2=k(x1+x2-2)= . 2 k k

设△AOB 的重心为 G(x,y), 0 ? x1 ? x 2 2 4 x= = + 2 , 3 3 3k 则 0 ? y1 ? y 2 4 y= = ,

3 3k 4 8 2 ∴y = x- .当 l 垂直于 x 轴时,A、B 的坐标分别为(1,2)和(1,-2), 3 9

2 4 3 2 消去 k,得 x= + ( y) , 3 3 4

用心 爱心 专心

- 14 -

2 8 2 4 ,0),也适合 y = x- , 3 3 9 8 2 4 因此所求轨迹 C 的方程为 y = x- . 3 9
△AOB 的重心 G( 14. 解:设点 M ( x, y ) ,点 M 到圆 C 的切线的切点为 P ,则

| MP |? ? | MQ |

? | MP |? | MO |2 ? | OP |2 ? x 2 ? y 2 ? 1


| MQ |? ( x ? 2) 2 ? y 2

x 2 ? y 2 ? 1 ? ? ( x ? 2) 2 ? y 2

整理,得:

(? 2 ? 1) x 2 ? (? 2 ? 1) y 2 ? 4? 2 x ? (1 ? 4? 2 ) ? 0
∴ 动点 M 的轨迹方程为 (? ? 1) x ? (? ? 1) y ? 4? x ? (1 ? 4? ) ? 0
2 2 2 2 2 2

当 ? ? 1 时,它表示直线 4 x ? 5 ? 0

2? 2 2 1 ? 3? 2 2? 2 2 ) ?y ? 2 当 ? ? 1 时,它的方程为 ( x ? 2 ,表示以 ( 2 , 0) 为圆心, ? ?1 ? ?1 (? ? 1) 2
1 ? 3? 2 为半径的圆。 | ? 2 ? 1|
【拓展提高参考答案】 1. 解法一 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0) 直线 AB 的方程为 x=my+a
M

P

N
O 1

O 2

y

y 由 OM⊥AB,得 m=- x
由 y =4px 及 x=my+a,消去 x,得 y -4pmy-4pa=0 所以 y1y2=-4pa, x1x2=
2 2

A

( y1 y2 ) 2 ? a2 2 (4 p)

o

N
M B

x

所以,由 OA⊥OB,得 x1x2 =-y1y2 所以 a ? 4 pa ? a ? 4 p
2

故 x=my+4p,用 m=-

y 2 2 代入,得 x +y -4px=0(x≠0) x

用心 爱心 专心

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故动点 M 的轨迹方程为 x +y -4px=0(x≠0), 它表示以(2p,0)为圆心, 2p 为半径的圆, 以 去掉坐标原点

2

2

则 OB 的方程为 y ? ?
由 OM⊥AB,得

1 x ,代入 y2=4px 得 B(2 pk 2 , ?2 pk ) k x2 ? y 2 ? 2p 2p x? y ? 0 ??①上, 2 k k

M 既在以 OA 为直径的圆 又在以 OB 为直径的圆
2 2

x 2 ? y 2 ? 2 pk 2 x ? 2 pky ? 0 ??②上(O 点除外),

① ?k 2 +②得 x +y -4px=0(x≠0) 故动点 M 的轨迹方程为 x +y -4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心,以 2p 为半径的圆, 去掉坐标原点
2 2

2.解:如图所示,以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 中点为原点建立直角坐标系。 若这样界线存在,如图设点 M 为此曲线上任一点,则由题义得:

PA ? AM ? PB ? BM ,即 MA ? MB ? PB ? PA ? 150 ? 100 ? 50
? 点M 的轨迹为以 A 、 B 为焦点的双曲线的右支(在矩形 ABCD 内部的一段)。
方程为:

x2 y2 ? ?1 625 5775

?x ? 25? (在矩形 ABCD 内部的一段)。

用心 爱心 专心

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