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高中数学竞赛_立体几何【讲义】

第十二章 公理 1 公理 2 公理 3 推论 l 推论 2 推论 3 公理 4 定义 1 立体几何 一、基础知识 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内.则这条直线在这个平面内,记作:a ? a. 两个平面如果有一个公共点,则有且只有一条通过这个点的公共直线,即若 P∈α ∩β ,则存在唯 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面. 直线与直线外一点确定一个平面. 两条相交直线确定一个平面. 两条平行直线确定一个平面. 在空间内,平行于同一直线的两条直线平行. 异面直线及成角:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.过空间任意一点分别作两条 一的直线 m,使得α ∩β =m,且 P∈m。 异面直线的平行线,这两条直线所成的角中,不超过 900 的角叫做两条异面直线成角.与两条异面直线都 垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线,公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间 的距离. 定义 2 定义 3 定理 1 定理 2 定理 3 定理 4 定义 5 直线与平面的位置关系有两种;直线在平面内和直线在平面外.直线与平面相交和直线与平面平 直线与平面垂直:如果直线与平面内的每一条直线都垂直,则直线与这个平面垂直. 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直. 两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行. 若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个平面垂直. 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若一条直线与平面平行,则直线上每一 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线.由斜线上每一点向平面引垂线,垂足叫这 行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外. 点到平面的距离都相等,这个距离叫做直线与平面的距离. 个点在平面上的射影.所有这样的射影在一条直线上,这条直线叫做斜线在平面内的射影.斜线与它的射 影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角. 结论 1 定理 4 定理 5 定理 6 结论 2 定理 7 定义 6 定理 8 定理 9 定义 7 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角. (三垂线定理)若 d 为平面。的一条斜线,b 为它在平面 a 内的射影,c 为平面 a 内的一条直线,若 直线 d 是平面 a 外一条直线,若它与平面内一条直线 b 平行,则它与平面 a 平行 若直线。与平面α 平行,平面β 经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6,则 a//b. 若直线。与平面α 和平面β 都平行,且平面α 与平面β 相交于 b,则 a//b. (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,则两个角相等. 平面与平面的位置关系有两种:平行或相交.没有公共点即平行,否则即相交. 平面 a 内有两条相交直线 a,b 都与平面β 平行,则α //β . 平面α 与平面β 平行,平面γ ∩α =a,γ ∩β =b,则 a//b. (二面角),经过同一条直线 m 的两个半平面α ,β (包括直线 m,称为二面角的棱)所组成的图形叫 c ? b,则 c ? a.逆定理:若 c ? a,则 c ? b. 二面角,记作α —m—β ,也可记为 A—m 一 B,α —AB—β 等.过棱上任意一点 P 在两个半平面内分别作 棱的垂线 AP,BP,则∠APB(≤900)叫做二面角的平面角. 它的取值范围是[0,π ]. 特别地,若∠APB=900,则称为直二面角,此时平面与平面的位置关系称为垂直,即α 定理 10 定理 11 定理 12 定义 8 如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 如果两个平面垂直,过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内. 如果两个平面垂直,过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直. 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形,并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱) ?β . 1 都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做底面.如果底面是平行四边形则 叫做平行六面体;侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是矩形的 直棱柱叫做长方体.棱长都相等的正四棱柱叫正方体. 定义 9 定理 13 定义 10 定理 14 有一个面是多边形(这个面称为底面),其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥.底面 是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥. (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为 V,棱数为 E,面数为 F,则 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面.球面所围成的几何体叫做球.定长叫 如果球心到平面的距离 d 小于半径 R,那么平面与球相交所得的截面是圆面,圆心与球心的连线 V+F-E=2. 做球的半径,定点叫做球心. 与截面垂直.设截面半径为 r,则 d2+r2=R2.过球心的截面圆周叫做球大圆.经过球面两点的球大圆夹在 两点间劣弧的长度叫两点间球面距离. 定义 11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线.纬线上任意一点与 球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度.用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周 (以两极为端点)叫做经线,经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度,根据位置 不同又分东经和西经. 定理 15 定理 16 定理 17 (祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截 得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角.其中任意两个角之 (面积公式)若一个球的半径为 R,则它的表面积为 S =4π R2。若一个圆锥的母线长为 l,底 和大于另一个,三个角之和小于 3600. 球面 面半径为 r,则它的侧面积 S 侧=π rl. 4 3 ?R ;若棱柱(或

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