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11静电场习题思考题


53

习题 11 11-1 . 直 角 三 角 形 ABC 的 A 点 上 , 有 电 荷 q1 ? 1.8 ? 10?9 C , B 点 上 有 电 荷

q2 ? ?4.8 ?10?9 C ,试求 C 点的电场强度(设 BC ? 0.04m , AC ? 0.03m )。
解: q1 在 C 点产生的场强: E1 ?

?

4?? 0 r

q1

2 AC

? i,

? q2 在 C 点产生的场强: E2 ?

? q2 j, 2 4?? 0 rBC
?
? i

? ? ? ? ? ∴ C 点的电场强度: E ? E1 ? E2 ? 2.7 ?104 i ? 1.8 ?104 j ;
C 点的合场强: E ? E ? E ? 3.24 ?10 V
2 1 2 2 4

? j

m



方向如图: ? ? arctan

1.8 ? 33.7? ? 33? 42 ' 。 2.7
?9

11-2.用细的塑料棒弯成半径为 50cm 的圆环,两端间空隙为 2cm ,电量为 3.12 ? 10 C 的 正电荷均匀分布在棒上,求圆心处电场强度的大小和方向。 解:∵棒长为 l ? 2? r ? d ? 3.12m , ∴电荷线密度: ? ?
O
R

? ?

2cm

x

q l

? 1.0 ?10?9

C ? m?1

可利用补偿法,若有一均匀带电闭合线圈,则圆心处的合场强为 0,有一段空隙,则圆 心处场强等于闭合线圈产生电场再减去 d ? 0.02 m 长的带电棒在该点产生的场强,即所求 问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在 O 点产生的场强。 解法 1:利用微元积分:

dEO x ?
?

1 4? ? 0

?

? Rd?
R2

cos ? ,

∴ EO ?

? ? cos? d? ? 4? ? R ? 2sin ? ? 4? ? R ? 2? ? 4? ? R
? 0 0 0

?

?

?d

2

? 0.72V ? m?1 ;

解法 2:直接利用点电荷场强公式:
?11 由于 d ?? r ,该小段可看成点电荷: q? ? ? d ? 2.0 ?10 C ,

则圆心处场强: EO ?

q? 4?? 0 R2

? 9.0 ?109 ?

2.0 ?10?11 ? 0.72 V ? m?1 。 2 (0.5)

方向由圆心指向缝隙处。

54

11-3.将一“无限长”带电细线弯成图示形状,设电荷均匀分布,电荷线密度为 ? ,四分之 一圆弧 AB 的半径为 R ,试求圆心 O 点的场强。 解:以 O 为坐标原点建立 xOy 坐标,如图所示。 ①对于半无限长导线 A? 在 O 点的场强:

? ? ? ? EAx ? 4? ? R (cos 2 ? cos ? ) ? 0 有: ? ? E ? ? (sin ? ? sin ? ) ? A y 4? ? 0 R 2 ?
②对于半无限长导线 B ? 在 O 点的场强:

x

? E

y

? ? ? ? EB x ? 4? ? R (sin ? ? sin 2 ) ? 0 有: ? ? E ? ? (cos ? ? cos ? ) ? B y 4? ? 0 R 2 ? ③对于 AB 圆弧在 O 点的场强:有:
? ? ? ? ? E AB x ? ? 2 cos ? d? ? ( sin ? sin ? ) ? 0 4? ? R 4? ? 0 R 2 ? 0 ? ? ? E ? 2 ? sin ? d? ? ? ? (cos ? ? cos ? ) ? AB y ?0 4? ? R 4? ? 0 R 2 0 ?

∴总场强: EO x ?

? ? ? ? ? ? , EO y ? ,得: EO ? (i ? j ) 。 4? ? 0 R 4? ? 0 R 4? ? 0 R
2 2 EO x ? EO y ?

或写成场强: E ?

2? ? ,方向 45 。 4? ? 0 R

11-4.一个半径为 R 的均匀带电半圆形环,均匀地带有电荷,电荷的线密度为 ? ,求环心处 O 点的场强 E。
Y

dq 解:电荷元 dq 产生的场为: d E ? ; 4? ? 0 R 2
?

dq

根据对称性有: ? d E y ? 0 ,则:

d?
R

?

o
? dE
X

E ? ? dEx ? ? d E sin ? ? ? ?

?

0

? R sin ? d? ? ? , 2 4? ? 0 R 2? ? 0 R

方向沿 x 轴正向。即: E ?

? ? i。 2? ? 0 R

55

11-5.带电细线弯成半径为 R 的半圆形,电荷线密度 为 ? ? ? 0sin ? ,式中 ? 0 为一常数, ? 为半径 R 与 x 轴 所成的夹角,如图所示.试求环心 O 处的电场强度。 解:如图, dE ?

? 0 sin ? d? ? dl , ? 4? ? 0 R 2 4? ? 0 R

? dE x ? dE cos ? ? 考虑到对称性,有: E x ? 0 ; ? ? dE y ? dE sin ? ?
∴ E ? dEy ? dE sin ? ? 方向沿 y 轴负向。 11-6.一半径为 R 的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为 ? ,求球心 O 处的电场强度。 解:如图,把球面分割成许多球面环带,环带宽为 d l ? Rd ? ,所带电荷: dq ? 2? r? d l 。 利用例 11-3 结论,有: d E ?

?

?

?

?
0

? 0 sin 2 ? d? ?0 ?0 ? (1 ? cos 2? )d? , ? ? ?0 4? ? 0 R 4? ? 0 R 2 8? 0 R

x dq 4? ? 0 ( x 2 ? r )
3 2 2

?

? ? 2? r xdl
4? ? 0 ( x 2 ? r 2 ) 2
3

∴ dE ?

? ? 2? R cos? ? R sin ? ? Rd?
4? ? 0 [( R sin ? )2 ? ( R cos ? )2 ]
3 2



r

?

O

x

化简计算得: E ?

? 2? 0

?

?
2

0

? ? ? 1 ? i。 sin 2? d? ? ,∴ E ? 4? 0 2 4? 0

11-7.图示一厚度为 d 的“无限大”均匀带电平板,电荷体密度为 ? 。求 板内、外的场强分布,并画出场强随坐标 x 变化的图线,即 E ? x 图线(设 原点在带电平板的中央平面上, Ox 轴垂直于平板)。 解:在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面 S1 为高斯面,

? ? d 当 x ? 时,由 ? E ? dS ? 2 E ? ?S 和 ? q ? 2x? ?S , ? S1 2
有: E ?

?x ; ?0
? d 2

?d 2? 0

? E

? ? d 当 x ? 时,由 ? E ? dS ? 2 E ? ?S 和 ? q ? 2d ? ?S , ? S2 2
有: E ?

O
?

d 2

x

?d 。图像见右。 2? 0

?d 2? 0

56

11-8.在点电荷 q 的电场中,取一半径为 R 的圆形平面(如图所示), 平面到 q 的距离为 d ,试计算通过该平面的 E 的通量. 解:通过圆平面的电通量与通过与 A 为圆心、 AB 为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。 【先推导球冠的面积:如图,令球面的半径为 r ,有 r ? 球冠面一条微元同心圆带面积为: dS ? 2? r sin ? ? rd? ∴球冠面的面积: S ?

d 2 ? R2 ,

r

O
0 cos? ? d r

d?

? r sin ?

?

?

0

2? r sin ? ? rd? ? 2? r 2 cos ?

x

d ? 2? r 2 (1 ? ) 】 r
∵球面面积为: S球面 ? 4? r 2 ,通过闭合球面的电通量为: ?闭合球面 ?

q

?0



由:

?球冠 ?球面

?

S球面 S球冠

,∴ ?球冠 ?

1 d q q d (1 ? ) ? ? (1 ? )。 2 r ? 0 2? 0 R2 ? d 2

11-9.在半径为 R 的“无限长”直圆柱体内均匀带电,电荷体密度为 ρ,求圆柱体内、外的 场强分布,并作 E~r 关系曲线。 解:由高斯定律

? ??

S

? ? 1 E ? dS ? ? qi ,考虑以圆柱体轴为中轴,半径为 r ,长为 l 的高斯面。

?0

S内

(1)当 r ? R 时, 2? r l ? E ?

?r ? ? r2 l ,有 E ? ; 2?0 ?0

(2)当 r ? R 时, 2? r l ? E ?

? ? R2 l ? R2 ,则: E ? ; ?0 2? 0 r

E
?R 2?0

??r ? 2? ( r ? R ) ? 0 即: E ? ? ; 2 ?? R (r ? R) ? 2? 0 r ?
图见右。

o

R

r

11-10. 半径为 R1 和 R2 R1 ? R2 ) ( 的两无限长同轴圆柱面, 单位长度分别带有电量 ? 和 ? ? , 试求: (1) r ? R1 ; (2) R1 ? r ? R2 ; (3) r ? R2 处各点的场强。

57

解:利用高斯定律:

? ??

S

? ? 1 E ? dS ? ? qi 。

?0

S内

(1) r ? R1 时,高斯面内不包括电荷,所以: E1 ? 0 ;

?l ? ,则: E2 ? ; ?0 2? ? 0 r (3) r ? R2 时,利用高斯定律及对称性,有: 2? rlE3 ? 0 ,则: E3 ? 0 ; ? ?E ? 0 r ? R1 ? ? ?? ? 即: E ? ? E ? r R1 ? r ? R2 。 ? ? 2? ? 0 r ?E ? 0 r ? R2 ?
(2) R1 ? r ? R2 时,利用高斯定律及对称性,有: 2? r l E2 ? 11-11.一球体内均匀分布着电荷体密度为 ? 的正电荷,若保持电荷分布不 变,在该球体中挖去半径为 r 的一个小球体,球心为 O ? ,两球心间距离

OO? ? d ,如图所示。求:

(1)在球形空腔内,球心 O ? 处的电场强度 E 0 ; (2)在球体内 P 点处的电场强度 E ,设 O ? 、 O 、 P 三点在同一直径上,且 OP ? d 。

解:利用补偿法,可将其看成是带有电荷体密度为 ? 的大球和带有电荷体密度为 ? ? 的小球 的合成。 (1)以 O 为圆心,过 O ? 点作一个半径为 d 的高斯面,根据高斯定理有:

? ? ? 4 ?d ,方向从 O 指向 O? ; E ? dS ? ? ?d 3 ? E0 ? ?S1 ?0 3 3? 0 (2)过 P 点以 O 为圆心,作一个半径为 d 的高斯面。根据高斯定理有: ? ? ? 4 ?d ,方向从 O 指向 P , E ? dS ? ? ?d 3 ? EP1 ? ?S1 ?0 3 3? 0 过 P 点以 O ? 为圆心,作一个半径为 2 d 的高斯面。根据高斯定理有: ? ? ? 4 3 ? r3 ?SE ? dS ? ? ? 0 ? 3 ?r ? EP 2 ? ? 3? 0d 2 , 2
1 2

? r3 ∴ E ? EP ? EP ? (d ? 2 ) ,方向从 O 指向 P 。 3? 0 4d
11-12.设真空中静电场 E 的分布为 E ? cx i ,式中 c 为常量,求空间电荷的分布。 解:如图,考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面, z 由: E ? dS ? cx 0 ?S
S

?

?

?

?

?

? 1 由高斯定理: ? E ? dS ?
S

?0

?q ,
S内

o
?
x0 0

?S

设空间电荷的密度为 ? ( x) ,有: cx 0 ? ? S ? ∴

? ( x)? Sd x ?0

y

x0

x

?

x0

0

? ( x) d x ? ? ? 0cd x ,可见 ? ( x) 为常数 ? ? ? ? 0 c 。
0

x0

58

11-13.带电细线弯成半径为 R 的半圆形,电荷线密度为

y R

? ? ?0 sin ? ,式中 ?0 为一常数,? 为半径 R 与 x 轴所成的夹
角,如图所示.试求环心 O 处的电场强度. 解:在?处取电荷元,其电荷为 dq =?dl = ?0Rsin??d? 它在 O 点产生的场强为

??
O
y R dEx dq

x

dE ?

? sin ? d ? dq ? 0 2 4?? 0 R 4?? 0 R
??
dE

在 x、y 轴上的二个分量 dEx=-dEcos? 对各分量分别求和 dEy=-dEsin?

?? d?
x

O dEy

Ex ?

? ?0 s i ? c o?sd ? =0 n 4?? 0 R ?0

Ey ? ?

? ?0 ?0 2 ?0 sin ? d ? ? ? 8? 0 R 4?? 0 R

∴ E ? Ex i ? E y j ? ?

?

?

?0 ? j 8? 0 R ?0 ? j 8? 0 R

答案: E ? E x i ? E y j ? ?

?

?

?

11-14.电荷量 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内,试求:离球心 r 处( r ? R )P 点的电势。 解:利用高斯定律:

? ??

S

? ? 1 E ? dS ? ? q 可求电场的分布。

? 0 S内
3

?

Qr Q r ; ? 3 ;有: E内 ? 4? ? 0 R3 ?0 R Q Q 2 (2) r ? R 时, 4? r E 外 ? ;有: E 外 ? ; ?0 4? ? 0 r 2
(1) r ? R 时, 4? r 2 E 内? 离球心 r 处( r ? R )的电势: U r ?

o rP
R

P

?

R

r

E 内 ? d r ? ? E 外 ? d r ,即:
R

?

Ur ? ?

R

r

Qr Q 3Q Q r2 。 ?dr ? ? ?dr ? ? R 4? ? r 2 4? ? 0 R3 8? ? 0 R 8? ? 0 R3 0
?

11-15.图示为一个均匀带电的球壳,其电荷体密度为 ? ,球壳内表面半径为 R1 ,外表面半 径为 R2 .设无穷远处为电势零点,求空腔内任一点的电势。 解:当 r ? R1 时,因高斯面内不包围电荷,有: E1 ? 0 , 当 R1 ? r ? R2 时,有: E 2 ?

? ? (r 3 ? R13 )
4?? 0 r 2

4 3

?

? (r 3 ? R13 ) , 3? 0 r 2

59

当 r ? R2 时,有: E3 ?

3 ? ? ( R2 ? R13 )

4 3

4?? 0 r 2

?

3 ? ( R2 ? R13 ) , 3? 0 r 2

以无穷远处为电势零点,有:
3 3 3 3 R2 ? R2 ? (r ? R ) ? ? (R ? R ) ? ? ? ? ? 2 1 2 1 ( R2 ? R12 ) 。 dr ? ? dr ? U ? ? E 2 ? d r ? ? E 3? d r ? ? 2 2 R2 R1 R2 R1 2? 0 3? 0 r 3? 0 r

11-16.电荷以相同的面密度??分布在半径为 r1 ? 10cm 和 r2 ? 20cm 的两个同心球面上,设 无限远处电势为零,球心处的电势为 U 0 ? 300V 。 (1)求电荷面密度 ? ; (2)若要使球心处的电势也为零,外球面上电荷面密度 ? ? 为多少? ( ? 0 ? 8.85?10?12 C2 ? N ?1m ?2 ) 解: (1)解一:当 r ? r1 时,因高斯面内不包围电荷,有: E1 ? 0 , 当 r1 ? r ? r 2 时,利用高斯定理可求得: E 2 ? 当 r ? r 2 时,可求得: E 3? ∴ U0 ?
2 1 2 2

?r , ?0 r
2 1 2

r1
O

?

r2 r1

? (r ? r ) , ?0 r2 2 2 2 ? r ? r1 ? ? ( r1 ? r2 ) ? ? ?? ? dr?? d r ? (r1 ? r2 ) E 2 ? d r ? ? E3 ? d r ? ? r 2 2 r r ?0 r ?0 r ?0
2

r2

2

1

2

8.85? 10?12 ? 300 ? 8.85? 10?9 C m 2 ?3 r1 ? r2 30 ? 10 q 解二:由均匀带电球面在球心处的电势: U ? ,结合电势叠加原理得: 4?? 0 r
那么: ? ?

? 0U 0

?

?U ? 4?r12 ? ? 4?r2 2 ? ?r1 ? ?r2 ? ? ? ? ? ? ? 0 0 ? 8.85? 10?9 C/m 2 4?? 0 r1 4?? 0 r2 ?0 ?0 r1 ? r2 (2)设外球面上放电后电荷密度 ? ' ,则有: ? r1 ? U0 ' ? (? r1 ? ? ' r2 ) / ? 0 ? 0 ,∴ ? ' ? ? ??
U 0 ? U1 ? U 2 ?
r2 2
则应放掉电荷为:

3 2 2 ?q ? 4? r2 (? ? ? ' ) ? ? ? 4? r2 ? 4 ? 3.14 ? 8.85 ?10?12 ? 300 ? 0.2 ? 6.67 ?10?9 C 。 2
11-17.如图所示,半径为 R 的均匀带电球面,带有电荷 q ,沿某一半径方向上有一均匀带 电细线,电荷线密度为 ? ,长度为 l ,细线左端离球心距离为 r0 。设球和线上的电荷分布不 受相互作用影响, 试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能 (设无穷远处 的电势为零) 。 解: (1)以 O 点为坐标原点,有一均匀带电细线的方向为 x 轴, 均匀带电球面在球面外的场强分布为: E ? (r ? R) 。 4? ? 0 r 2 ? ? 取细线上的微元: d q ? ? dl ? ? d r ,有: d F ? E dq ,

q

60

? r 0 ?l ∴F ??
r0

q 4?? 0 x

? ?d r ? 2

? ? ql r ? ? ? ( r 为 r 方向上的单位矢量) 4?? 0 r0 (r0 ? l )
q 4? ? 0 r
( r ? R , ? 为电势零点) 。

?

(2)∵均匀带电球面在球面外的电势分布为: U ?

对细线上的微元 d q ? ? d r ,所具有的电势能为: dW ? ∴W ?

q 4? ? 0 r

?? dr ,

q 4? ? 0

?

r 0 ?l

?d r
r

r0

?

q? 4? ? 0

ln

r 0? l 。 r0

11-18. 一电偶极子的电矩为 p ,放在场强为 E 的匀强电场中, p 与 E 之间夹角为 ? ,如图
? 所示.若将此偶极子绕通过其中心且垂直于 p 、 E 平面的轴转 180 ,外力需作功多少?

解:由功的表示式: d A ? Md? 考虑到: M ? p ? E ,有: A ?

?

?

?

??

? ??

pEsin ? d? ? 2 pE cos ? 。

11-19. 如图所示, 一个半径为 R 的均匀带电圆板, 其电荷面密度为 ? (>0)今有一质量为 m , 电荷为 ? q 的粒子( q >0)沿圆板轴线( x 轴)方向向圆板运动,已知在距圆心 O (也是 x 轴 原点)为 b 的位置上时,粒子的速度为 v0 ,求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性 始终不变)。 解:均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上 x 0 处产生的电势为:

U?

U Ob

? 2 ( R 2 ? x 0 ? x 0) ,那么, 2? 0 ? ? UO ? Ub ? ( R ? b ? R 2 ? b2 ) , 2? 0

由能量守恒定律, 有: v ?
2 v0 ?

1 1 1 2 q? 2 m v 2 ? mv0 ? (?qU Ob ) ? mv0 ? (R ? b ? R 2 ? b2 ) , 2 2 2 2? 0

q? (R ? b ? R 2 ? b 2 ) m? 0

思考题 11 11-1. 两个点电荷分别带电 q 和 2q , 相距 l , 试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零? 答:由

qQ 2qQ ,解得: x ? l ( 2 ?1) ,即离点电荷 q 的距离为 l ( 2 ?1) 。 ? 2 4? ? 0 x 4? ? 0 (l ? x) 2

11-2.下列几个说法中哪一个是正确的? (A)电场中某点场强的方向,就是将点电荷放在该点所受电场力的方向; (B)在以点电荷为中心的球面上,由该点电荷所产生的场强处处相同; (C)场强方向可由 E ? F / q 定出,其中 q 为试验电荷的电量, q 可正、可负, F 为试验 电荷所受的电场力; (D)以上说法都不正确。 答: (C) 11-3.真空中一半径为 R 的的均匀带电球面,总电量为 q ( q <0),今在球面面上挖去非常小 的一块面积 ? S (连同电荷),且假设不影响原来的电荷分布,则挖去 ? S 后球心处的电场强

61

度大小和方向. 答:题意可知: ? ? 有: E ?

q 4? ? 0 R 2

,利用补偿法,将挖去部分看成点电荷,

? ?S ,方向指向小面积元。 4? ? 0 R 2

11-4.三个点电荷 q1 、 q2 和 ? q3 在一直线上,相距均为 2 R ,以 q1 与 q2 的中心 O 作一半径 为 2 R 的球面, A 为球面与直线的一个交点,如图。求: (1)通过该球面的电通量 (2) A 点的场强 E A 。 解:(1)

?? E ? dS ;

? ??

S

? ? q ?q E ? dS ? 1 2 ;(2) E A ?

?0

q3 q1 q2 。 ? ? 2 2 4?? 0 (3R) 4?? 0 R 4?? 0 R 2

11-5.有一边长为 a 的正方形平面,在其中垂线上距中心 O 点 a / 2 处, 有一电荷为 q 的正点电荷,如图所示,则通过该平面的电场强度通量 为多少? 解:设想一下再加5个相同的正方形平面将 q 围在正方体的中心, 通过此正方体闭合外表面的通量为: ?闭合 ? q / ? 0 ,那么, 通过该平面的电场强度通量为: ? ?

q 。 6?0

11-6.对静电场高斯定理的理解,下列四种说法中哪一个是正确的? (A)如果通过高斯面的电通量不为零,则高斯面内必有净电荷; (B)如果通过高斯面的电通量为零,则高斯面内必无电荷; (C)如果高斯面内无电荷,则高斯面上电场强度必处处为零; (D)如果高斯面上电场强度处处不为零,则高斯面内必有电荷。 答:(A) 11-7.由真空中静电场的高斯定理

? ?

S

? ? 1 E ?dS ?

?0

? q 可知

(A)闭合面内的电荷代数和为零时,闭合面上各点场强一定为零; (B)闭合面内的电荷代数和不为零时,闭合面上各点场强一定都不为零; (C)闭合面内的电荷代数和为零时,闭合面上各点场强不一定都为零; (D)闭合面内无电荷时,闭合面上各点场强一定为零。 答:(C) 11-8.图示为一具有球对称性分布的静电场的 E ~ r 关系曲线.请指出 该静电场是由下列哪种带电体产生的。

62

(A)半径为 R 的均匀带电球面; (B)半径为 R 的均匀带电球体; (C)半径为 R 、电荷体密度 ? ? Ar ( A 为常数)的非均匀带电球体; (D)半径为 R 、电荷体密度 ? ? A / r ( A 为常数)的非均匀带电球体。 答:(D) 11-9.如图,在点电荷 q 的电场中,选取以 q 为中心、R 为半径的球面上一点 P 处作电势零 点,则与点电荷 q 距离为 r 的 P'点的电势为 (A) (C)

q 4?? 0 r q 4?? 0 ?r ? R ?

q ?1 1 ? ? ? ? 4?? 0 ? r R ? q ? 1 1? (D) ? ? ? 4?? 0 ? R r ?
(B)

答:(B) 11-10.密立根油滴实验,是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的,其电场 由两块带电平行板产生.实验中,半径为 r 、带有两个电子电荷的油滴保持静止时,其所在 电场的两块极板的电势差为 U 12 .当电势差增加到 4 U 12 时,半径为 2 r 的油滴保持静止,则 该油滴所带的电荷为多少? 解:

U 12 4U 4 4 q ? ρ ? π r 3 g ┄①, 12 q ? ? ρ ? π (2r ) 3 g ┄② d 3 d 3 ∴①②联立有: q ? ? 2q ? 4e 。

11-11.设无穷远处电势为零,则半径为 R 的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图 中的 U 0 和 b 皆为常量):

答:(C) 11-12.无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗? 答:不能。见书中例 11-12。


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