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2012届高三数学一轮复习单元验收试题卷:数列(人教A)


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2011—2012 学年度上学期高三一轮复习

数学单元验收试题(5) 【人教 A】
命题范围:数列
[来源:金太阳新课标资源网] 说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分;答题时间 120 分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的 括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1. “公差为 0 的等差数列是等比数列”“公比为 ;

1 的等比数列一定是递减数列”“a,b,c 三数成等比数列的 ; 2

充要条件是 b2=ac”“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是 2b=a+c” ; ,以上四个命题中,正确的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.已知数列{an}中,an=

n (n∈N) ,则数列{an}的最大项是 n ? 156
2





A.第 12 项 B.第 13 项 C.第 12 项或 13 项 D.不存在 3.在等差数列中,前 n 项的和为 Sn,若 Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N 且 m≠n) ,则公差 d 的值为( A.-



4(m ? n) mn

B.-

mn 4(m ? n)

C. .-

2(m ? n) mn

D.-

mn 2(m ? n)

4.设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立 的是 A. X ? Z ? 2Y C. Y ? XZ
2

( B. Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? D. Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?



5.已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, s n 是 ?an ? 的前 n 项和,且 9s3 ? s6 ,则数列 ? ( A. )

?1? ? 的前 5 项和为 ? an ?

15 或5 8

B.

31 或5 16

C.

31 16

D.

15 8
- -

6.a、b∈R,且|a|<1,|b|<1,则无穷数列:1,(1+b)a,(1+b+b2)a2,?,(1+b+b2+?+bn 1)an 1?的和为 ( ) A.

1 (1 ? a)(1 ? b)

B.

1 1 ? ab

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C.

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D.

2 (1 ? a )(1 ? ab)

1 (1 ? a )(1 ? ab)


7.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的范围是( A. (1,2) B. (2,+∞) C.[3,+∞ ) D. (3,+∞)

8.如图,在半径为 r 的园内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又 在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设 s n 为前 n 个圆 的面积之和,则 lim s n =(
n? ?



A.2 ? r C.4 ? r

2

B.

8 ? r2 3
2

2

D.6 ? r

9.若数列{an}前 8 项的值各异,且 an+8=an 对任意 n∈N*都成立,则下列数列中可取遍{an}前 8 项值的数列 为 ( ) A.{a2k+1} B.{a3k+1} C.{a4k+1} D.{a6k+1} 10.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足 Sn=

n (21n-n2-5) (n=1,2,??,12) ,按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 万件的月份 90
( B.6 月、7 月 C.7 月、8 月 D.8 月、9 月 ) )

是 A.5 月、6 月

11.已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? 2 B. 1 ? 2

1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? ( 2 a7 ? a8

C. 3 ? 2 2

D. 3 ? 2 2 [来源:Z|xx|k.Com]

12.一给定函数 y ? f (x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? (0,1) ,由关系式 an?1 ? f (an ) 得到的数列

{an } 满足 an?1 ? an (n ? N * ) ,则该函数的图象是





A

B

C

D

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wx.jtyjy.com 第Ⅱ卷

二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 13.作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作新的内接正三角形,在新的正三角形内再作内切圆, 如此继续下去,所有这些圆的周长之和及面积之和分别为________。 14.在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1) 2(x2,y2)是第一象限的两个点,若 1,x1,x2,4 、P 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的面积是________。 15. 设等比数列 {an } 的公比为 q, n 项和为 Sn, Sn+1,Sn, n+2 成等差数列, q 的值为 前 若 S 则
?



16.若数列 ?an ? 满足:对任意的 n ? N ,只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立,记这样的 m 的个数为

(an )? , 则 得 到 一 个 新 数 列 ?( an )? ? . 例 如 , 若 数 列 ?an ? 是 1, 2,3…,n,… , 则 数 列 ?( an )? ? 是
0,1, 2,…,n ? 1,… .已知对任意的 n ? N? , an ? n2 ,则 (a5 )? ?
17. (12 分)已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式 ,((an )? )? ? .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 76 分) 。

18. (12 分)在数列 ?a n ? 中, a 1 =0,且对任意 k ? N , a 2k ?1 ,a 2k ,a 2k+1 成等差数列,其公差为 2k。
*

(Ⅰ)证明 a 4 ,a 5 ,a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式;

19. (12 分)证明以下命题: (Ⅰ)对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c) ,使得 a ,b ,c 成等差数列。
2 2 2

(Ⅱ)存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长 an,bn,cn 为正整数且 an ,bn ,cn 成等差数列。
2 2 2

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2 , 20. (12 分)设 M ? 10a ? 81a ? 207 P ? a ? 2, ? 26 ? 2a ,若将 lg M, Q, P 适当排序后可构成 Q lg lg

公差为 1 的等差数列 ?an ? 的前三项. (Ⅰ)求 a 的值及 ?an ? 的通项公式; ( Ⅱ ) 记 函 数 f ( x) ? an x 2 ? 2an?1 x ? an?2 n ? N ? 的 图 象 在 x 轴 上 截 得 的 线 段 长 为 bn , 设

?

?

Tn ?

1 (b1b2 ? b2 b3 ? ? ? bn ?1bn ) ,求 Tn 4

21. (14 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 已知 2a2 ? a1 ? a3 , 数列 等差数列。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示) ;

? S ?是公差为 d 的
n

(2)设 c 为实数,对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k ,不等式 S m ? S n ? cSk 都成立。 求证: c 的最大值为

9 。 2

22. (14 分)给出下面的数表序列:

其中表 n(n=1,2, 3 ? )有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5,? 2n-1,从第 2 行起,每行中的每个数都 等于它肩上的两数之和。 (I)写出表 4,验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表 n(n ≥3) (不要求证明) ; ( II ) 每 个数 列中 最 后一行 都 只有 一 个数 ,它 们构 成 数列 1,4,12 ? , 记 此数 列 为 ?bn ? 求 和:

b3 b b ? 4 ?? n ? 2 b1b2 b2b3 bnbn ?1

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参考答案
一、选择题 1.A;2.C;3.A;4.D;5.C;6.D;7.B;8.C;9.B;10.C;11.C;12.A;二、填空题 13.周长之和 三、解答题 17. (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。[来源:金太阳新课标资源网] 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 ?

3 3 ? 2 π a,面积之和 a2;14.1;15.-2;16.2, n ; 2 9



? a1 ? 2d ? ?6 。 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 ,

(Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 。 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8 所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ? , 所以 ?8q ? ?24 即 q =3

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

18. (I)证明:由题设可知, a2 ? a1 ? 2 ? 2 , a3 ? a2 ? 2 ? 4 , a4 ? a3 ? 4 ? 8 , a5 ? a4 ? 4 ? 12 ,

a6 ? a5 ? 6 ? 18 。
从而

a6 a5 3 ? ? ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列。 a5 a4 2

(II)解:由题设可得 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 4k , k ? N * 所 以

a2k ? ? a1 ? ? a k ? 1? a k ? ? ? 2 a k ? ? a k ? ? ? 2 ? a ?1a ? ... ? 1

?2 k ? 4

? k ? ? ? 2 ? 1? 3 1 4

.

.

3

? 2k ? k ?1? , k ? N *.
由 a1 ? 0 ,得 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? ,从而 a2k ? a2k ?1 ? 2k ? 2k 2 .

? n2 ? 1 n ? 2 , n为奇数 n2 ? ?1? ? 1 ? 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 或写为 an ? , n? N * 。 ? 2 4 n2 ? , n为偶数 ?2 ?
19.解: (Ⅰ)考虑到结构要证 a ? c ? 2b , ;类似勾股数进行拼凑。
2 2 2

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证明:考虑到结构特征,取特值 12 ,52 ,72 满足等差数列,只需取 b=5a,c=7a,对一切正整数 a 均能成 立。 结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形,再证明互 不相似,且无穷。
2 2 2 2 2 2 2 证明:当 an,bn,cn 成等差数列,则 bn ? an ? cn ? bn ,[来源:学,科,网]

分解得: (bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn ) 选取关于 n 的一个多项式, 4n(n2 ?1) 做两种途径的分解

4n(n2 ?1) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n) ? (2n2 ? 2n)(2n ? 2) 4n(n2 ?1)
?an ? n 2 ? 2n ? 1 ? 2 对比目标式,构造 ? bn ? n ? 1 (n ? 4) ,由第一问结论得,等差数列成立, ? c ? n 2 ? 2n ? 1 ? n
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。[来源: http://wx.jtyjy.com/] 下证互不相似。

m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 1 m 2 ? 2 m ? 1 ? ? 任取正整数 m,n,若△m,△ n 相似:则三边对应成比例 2 , n ? 2 n ? 1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1
m ?1 m ?1 ? ? m ? n ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。 n ?1 n ?1 20.解: )依题意有 ? 2 ? a ? 13 , (Ⅰ
由比例的性质得:

? M ? P ? 10a 2 ? 80a ? 205 ? 0, ? Q ? 10a 2 ? 83a ? 181? 0, M ? M 最大.又 P ? Q ? ?24 ? 3a ,
当 ? 2 ? a ? 8 时, P ? Q, lg P ? 1 ? lg Q. ?10P ? Q ,? a ? 满足 lg M ? 1 ? lg Q. ? a ?

1 . 2

1 符合题意. 2 86 . 7

当 8 ? a ? 13 时, P ? Q, lg P ? 1 ? lg Q. ?10Q ? P ,? a ? 但此时不满足 lg M ? 1 ? lg P. ? a ?

86 . 7

1 ??an ?的前三项为 lg P, Q, M ,此时 a ? . ∴ n ? lg P ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2 lg 2. lg lg a 2
(Ⅱ ? 2an?1 ? an ? an?2 ? f ( x) ? 0 时, ( x ? 1)(an x ? an?2 ) ? 0 )

? bn ?| x1 ? x2 |?|

an? 2 2 ? 1 |?| |, an an

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又∵ n ? n ? 2 lg 2 ? 0, ? bn ? a

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2 2 2 1 1 ,? bn?1bn ? ? ? 4( ? ). an an?1 an an?1 an

∴ ? 1 (b b ? b b ? ? ? b b ) ? 1 ? 4?( 1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 )? Tn 1 2 2 3 n ?1 n ? ? 4 4 ? a1 a2 a 2 a3 an?1 an ?

?

1 1 1 1 n ?1 = . ? ? ? a1 an 1 ? 2 lg 2 n ? 2 lg 2 (1 ? 2 lg 2)(n ? 2 lg 2)

21.解: (1)由题意知: d ? 0 ,

Sn ? S1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d

2a2 ? a1 ? a3 ? 3a2 ? S3 ? 3(S2 ? S1 ) ? S3 , 3[( a1 ? d )2 ? a1 ]2 ? ( a1 ? 2d )2 ,
化简,得: a1 ? 2 a1 ? d ? d 2 ? 0, a1 ? d , a1 ? d 2

Sn ? d ? (n ? 1)d ? nd , Sn ? n2d 2 ,[来源:学,科,网]
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2d 2 ? (n ?1)2 d 2 ? (2n ?1)d 2 ,适合 n ? 1 情形。 故所求 an ? (2n ?1)d 2 (2) (方法一)[来源:金太阳新课标资源网 HTTP://WX.JTYJY.COM/]

Sm ? Sn ? cSk ? m2d 2 ? n2d 2 ? c ? k 2d 2 ? m2 ? n2 ? c ? k 2 , c ?
2 2 2 2 又 m ? n ? 3k且m ? n , 2(m ? n ) ? (m ? n) ? 9k ?

m2 ? n2 恒成立。 k2

m2 ? n 2 9 ? , k2 2

故c ?

9 9 ,即 c 的最大值为 。 2 2

(方法二)由 a1 ? d 及 Sn ?

a1 ? (n ? 1)d ,得 d ? 0 , Sn ? n2d 2 。

于是,对满足题设的 m, n, k , m ? n ,有

S m ? S n ? (m 2 ? n 2 )d 2 ?

( m ? n) 2 2 9 2 2 9 d ? d k ? Sk 。 [ 来 源 : 金 太 阳 新 课 标 资 源 网 2 2 2

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9 。 2 9 3 3 另一方面 ,任取实数 a ? 。设 k 为偶数 ,令 m ? k ? 1, n ? k ? 1 ,则 m, n, k 符合条件, 且 2 2 2 3 3 1 2 Sm ? Sn ? (m 2 ? n 2 )d 2 ? d 2 [( k ? 1) 2 ? ( k ? 1) 2 ] ? d (9k 2 ? 4) 。 2 2 2
所以 c 的最大值 cmax ?

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2 2

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1 2 2 2 时, S m ? S n ? d ? 2ak ? aS k 。 2 2a ? 9

于是,只要 9k ? 4 ? 2ak ,即当 k ? 所以满足条件的 c ?

9 9 9 ,从而 cmax ? 。因此 c 的最大值为 。 2 2 2

22.

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