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黑龙江省大庆铁人中学年高二下学期期中考试数学(理)试题及答案

A. 0 B. 1 C.(?1)n ?1(n ? 1)! D.(?1)n n! 10. 用数学归纳法证明错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
1? 2 ? 3 ?
时间:120 分钟 满分:150 分 出题人:赵倩楠 审核人:郭振亮

? n2 ?

n4 ? n2 ,则当错误!未找到引用源。时左端应在错误! 2

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.平行于同一直线的两直线平行. ∵a∥b,b∥c,∴a∥c. 这个推理 称为 A. 合情推理 B.归纳推理 C.类比推理 D. 演绎推理 2 2.已知随机变量 X 服从正态分布 N (3, ? ) , 且 P( X ? 2) ? 0.3 , 则 P(2 ? X ? 4) 的值等于( ) A.0.5 B.0.2 C.0.3 D.0.4
1 ) x 1 15 17 A. B. C. ln 2 D. 2 ln 2 2 4 4 4 . 设 函 数 f ( x) ? g ( x) ? x2 , 曲 线 y ? g ( x) 在 点 (1, g (1)) 处 的 切 线 方 程 为

未找到引用源。的基础上加上(
A. k 错误!未找到引用源。 C. 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。
2

)
B.错误!未找到引用源。

(k ? 1)2

(k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 2

D. 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

(k 2 ? 1) ? (k 2 ? 2) ?

? (k ? 1)2

3.由直线 x ? ? , x ? ?2 ,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积是(

1 2

y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为( 1 1 A. 4 B. ? C. 2 D. ? 4 2



11.函数 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的非负可导函数, 且满足 xf '(x ) ? f(x ) ? 0 , 对任意正数 a 、 b ,若 a ? b ,则必有( ) A. af (b) ? bf (a) B. bf (a) ? af (b) C. af (a) ? f (b) D. bf (b) ? f (a) 3 2 12.若函数 f(x)= ax ? bx ? cx ? d 的图象如图所示,则一定有( ) A. a<0 b>0 c>0 d<0 y B .a<0 b<0 c>0 d<0 C .a<0 b>0 c<0 d<0 D .a<0 b<0 c<0 d<0 x o

5.若球的半径 为 R,作内接于球的圆柱,则其侧面积的最大值为( 1 A .2 π R 2 B .π R 2 C .4 π R 2 D. π R2 2 6. 已知随机变量 ? ? ? ? 8 ,若 ? ~ B ?10,0.6? ,则 E? , D? 分别是( )

)

A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6 3 2 7.已知 f ( x) ? 2x ? 6x ? m(m为常数)在[?2, 2] 上有最大值 3 ,那么此函数在 [?2, 2] 上的最小值为( ) A. ? 37 B. ? 29 C. ?5 D. ?11 8. 如果生男孩和生女孩的概率相等, 有一对夫妻生有 3 个小孩, 已知这 对夫妻的孩子有一个是女孩,那么这对夫妻有男孩的概率是( )
6 3 7 C. D. 7 4 8 ' ? 9.若函数 f ( x) ? x( x ?1)(x ? 2)(x ? 3)...(x ? n)(n ? 1, 且n ? N ) ,且 f ( x) 是函数 f ( x)

A.

1 3

B.

的导函数,则 f ' (1) ? (



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 求定积分错误!未找到引用源。=________. 14. 已知函数 f ( x) ? x( x ? c)2 在 x ? 2 处有极大值,则 c =________. 15.在圆内画 1 条线段,将圆分割成两部分;画 2 条相交线段,彼此分割 成 4 条线段,将圆分割成 4 部分……在圆内画 6 条线段,它们彼此最 多分割成 条线段;将圆最多分割成 部分.
1

16.给出下列结论: (1)在回归分析中,可用相关指数 R2 的值判断模型的拟合效果,R2 越大,模型的拟合效果越好; (2)某工厂加工的某种钢管,内径与规定的内径尺寸之差是离散型 随机变量; (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值 的平均程度,它们越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越 小; (4)甲、乙两人向同一目标同时射击一次,事件 A : “甲、乙中至少 一人击中目标”与事件 B : “甲,乙都没有击中目标”是相互独 立事件。 其中结论正确的是 。 (把所有正确结论的序号填上) 三、解答题(17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分.) 17. 袋中有 4 只红球、3 只黑球,今从袋中随机取出 4 只球,设取到一 只红球得 2 分,取到一只黑球得 1 分,试求得分 X 的分布列及数学 期望.

20. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先 后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次 烧制过程相互独立.根据该厂现有技术水平,经过第一次烧制后, 甲、乙、丙三 件产 品合格的概率依次为 0.5、0.6、0.4,经过第二 次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6、0.5、0.75, (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为 X,求随机变量 X 的 分布列, 均值和方差.

21.是否存在常数错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 、错误! 2 2 2 2 2 2 4 2 未找到引用源。使等式 1 (n ?1 ) ? 2 (n ? 2 ) ? ? n (n ? n ) ? an ? bn ? c 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。对一切正整数成立?证 明你的结论.

18.已知曲线 y ? x 3 ? .

4 3 (1)求曲线在点 P(2, 4) 处的切线方程;

1 3

1? x ,其中 a 为大于零的常数 ax (1)若函数 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 内单调递增,求 a 的取值范围;

22. 已知函数 f ( x) ? ln x ?

(2)求曲线过点 P(2, 4) 的切线方程; (3)求斜率为 4 的曲线的切线方程.

(2)求函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上的最小值; (3)求证:对于任意的 n ? N ? , 且n >1 时,都有 ln n > ? ? ?????? ? 成立。
1 2 1 3 1 n

19. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度).设该蓄水池的 底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面 积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 ? 元( ? 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V (r ) ,并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V (r ) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.
2

[来源:]

20

[解析] 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A1、A2、A3. (1)设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则

P(E)=P(A1· A2 · A3 )+P( A1 ·A2· A3 )+P( A1 · A2 ·A3)=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×
0.6+0.5×0.4×0.4=0.38. (2) 解:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 A、B、C,则 P(A)=P(B)=P(C)=0.3, 3 所以 P(X=0)=(1-0.3) =0.343 , P(X=1)=3×(1-0.3)2×0.3=0.441, P(X=2)=3×0.32×0.7=0.189, P(X=3)=0.33=0.027. 因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p=0.3,所以 X~B(3,0.3), 故 E(X)=np=3×0.3=0.9.D (X)=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 21. [解析] 分别用 n=1,2,3 代入解方程组

3

?a+b+c=0 ?16a+4b+c=3 ?81a+9b+c=18

? ? 1 ?? b=- 4 ? ?c=0
a=
1 4

下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,由上可知等式成立; (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即 1(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2 1 1 -k2)= k4- k2, 4 4 则当 n=k+1 时,左边=1·[(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+…+k[(k+1)2- k2]+(k +1)[(k+ 1)2-(k+1)2]=1·(k2-12)+2(k2-22 )+…+k(k2-k2)+1·(2k 1 ? 1? +1)+2(2k+1)+…+ k(2k+1)= k4+?- ?k2+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1) 4 ? 4? 1 1 = (k+1)4- (k+1)2. 4 4 ∴当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1),(2)得等式对一切的 n∈N*均成立.
22.

4

5


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