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2014年高一数学必修2考试题(18)


2014 年高一数学必修 2 考试题(18)
一、选择题: (本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若 A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上,则 y 的值是 ( ) A.

1 2

B.

3 2

C.1

D.-1

2.直线 l 与两直线 y=1 和 x-y-7=0 分别交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点为 M(1,-1) ,则直线 l 的斜率为 ( A.



3 2

B.

2 3

C.-

3 2

D. -

2 3

3.两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为( )

A. 4

B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20

4.已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的 斜率 k 的取值范围是( A. k ? ) C. k

3 4

B.

3 ?k?2 4
2 2

? 2或k ?

3 4

D. k

?2
( )

5.点( 2a, a ? 1 )在圆 x +y -2y-4=0 的内部,则 a 的取值范围是 A.-1< a <1 B. 0< a <1 C.–1< a <

1 5

D.-

1 < a <1 5
( )

6.过点 A(1,-1)与 B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程为 2 2 2 2 A.(x-3) +(y+1) =4 B.(x-1) +(y-1) =4 2 2 2 2 C.(x+3) +(y-1) =4 D.(x+1) +(y+1) =4 7.圆 x ? y ? 2 x ? 3 与直线 y ? ax ? 1 的交点的个数是
2 2





A.0 个 C.2 个
2 2

B.1 个 D.随 a 值变化而变化
2 2 2

8 、 设 集 合 M ? {( x, y ) | x ? y ? 4}, N ? {( x, y ) | ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? r (r ? 0)} 当

M ? N ? N 时, r 的取值范围是
A、 [0, 2 ? 1] B、 [0,1]
2

( C、 (0,2 ?
2



2]

D、 (0,2) )

9. 已知半径为 1 的动圆与定圆 ( x ? 5) ? ( y ? 7) ? 16 相切, 则动圆圆心的轨迹方程是 ( A. ( x ? 5) ? ( y ? 7) ? 25
2 2

1

B. ( x ? 5) ? ( y ? 7) ? 3
2 2

或 ( x ? 5) ? ( y ? 7) ? 15
2 2

C. ( x ? 5) ? ( y ? 7) ? 9
2 2

D. ( x ? 5) ? ( y ? 7) ? 25 或 ( x ? 5) ? ( y ? 7) ? 9
2 2 2 2

10. 已知定义在实数集上的偶函数 y ? f ?x ? 在区间 (0, ? ) + 上是增函数, 那么 y1 ? f ?

?? ? ?, ?3?

y2 ? f 3x

? ?
2

?1

和 y 3 ? f ? log 2

? ?

1? ? 之间的大小关系为 ( ) 4?

A. y1 < y3 < y2 B. y1 <y2< y3 C. y3 <y1 <y2 D. y3 <y2 <y1 二、填空题: (本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 11、与直线 7 x ? 24 y ? 5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是 12、圆: x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是
2 2
2 13、若直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 恰有一个公共点,则实数 b 的值为

14、在正三棱锥 P—ABC 中,D 为 PA 的中点,O 为△ABC 的中心,给出下列四个结论: ①OD∥平面 PBC; ②OD⊥PA;③OD⊥BC; ④PA=2OD. 其中正确结论的序号是 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (12 分)求经过点 A(-5,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程; 16. (12 分)已知函数 y ? b ? a ymax=3,ymin=
x2 ?2 x

( a 、b 是常数且 a >0, a ≠1)在区间[-

3 ,0]上有 2

5 ,试求 a 和 b 的值. 2

17. (14 分)如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 为正方形, PD⊥底面 ABCD,PD=AD. 求证: (1)平面 PAC⊥平面 PBD; (2)求 PC 与平面 PBD 所成的角; 18. (14 分)一束光线 l 自 A(-3,3)发出,射到 x 轴上, 2 2 被 x 轴反射到⊙C:x +y -4x-4y+7=0 上. (1)求反射线通过圆心 C 时,光线 l 的方程; (2)求在 x 轴上,反射点 M 的范围. 2 2 19(14 分)已知圆 C:x +y -2x+4y-4=0,问是否存在斜率是 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的 弦 AB,以 AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

y
2

20(14 分)如图 7,.已知圆 O: x ? y ? 1和定点 A(2,1),
2 2

A
0 2

x P

2

Q

图7

由圆 O 外一点 P(a, b) 向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q,且满足 PQ ? PA .(1) 求实数 a、b 间 满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值;(3) 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,试求半径取最 小值时圆 P 的方程.

20(文) .已知圆 C : x ? y - 4 x -14 y ? 45 ? 0, 及点 Q(-2,3) .
2 2

(1) P(a, a ? 1) 在圆上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率; (2)若 M 为圆 C 上任一点,求 |MQ | 的最大值和最小值; (3)若实数 m, n 满足 m ? n - 4m -14n ? 45 ? 0 ,求 K =
2 2

n -3 的最大值和最小值. m+2

数学试题答案
3

一、选择题: 1-5. CDDCD 二、填空题:

6-10. BCCDA ;12.1 ? 2 ;13.?1 ﹤ b ? 1 或 b ? ? 2 ;

11.7 x ? 24 y ? 80 ? 0 或 7 x ? 24 y ? 70 ? 0

14.③④; 三、解答题: 15. 解 ①当直线 l 在 x、y 轴上的截距都为零时, 设所求的直线方程为 y=kx, 将(-5,2)代入 y=kx 中, 得 k=- ,此时,直线方程为 y=- x, 即 2x+5y=0. ②当横截距、纵截距都不是零时, 设所求直线方程为
y x ? =1, 2a a 2 5 2 5

将(-5,2)代入所设方程, 解得 a=- , 此时,直线方程为 x+2y+1=0. 综上所述,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0. 16. 解: u=x +2x=(x+1) -1 令
2 2

1 2

x∈[-

3 , 0] ∴当 x=-1 时, min=-1 u 2

当 x=0 时, max=0 u

?b ? a 0 ? 3 ?a ? 2 ? 1)当a ? 1时? 5 解得? ?1 ?b ? 2 ?b ? a ? 2 ? ? ?b ? a ?1 ? 3 ?a ? ? ? 2)当0 ? a ? 1时? 5 解得? 0 ?b ? a ? ?b ? 2 ? ? ? 2 ? a? ?a ? 2 ? ? 3 综上得? 或? . b?2 ? 3 ? ?b ? 2 ? 2 3 2 2

17. 解.(1)∵PD⊥底面 ABCD, ∴AC⊥PD, 又∵底面 ABCD 为正方形, ∴AC⊥BD,而 PD 与 BD 交于点 D, ∴AC⊥平面 PBD, 又 AC ? 平面 PAC, ∴平面 PAC⊥平面 PBD. (2)记 AC 与 BD 相交于 O,连结 PO,由(1)知, AC⊥平面 PBD, ∴PC 在平面 PBD 内的射影是 PO, ∴∠CPO 就是 PC 与平面 PBD 所成的角,

4

∵PD=AD, ∴在 Rt△PDC 中,PC= 2 CD,

1 2 AC= CD, 2 2 ∴在 Rt△POC 中,有∠CPO=30°. 即 PC 与平面 PBD 所成的角为 30°. 2 2 18. 解: ⊙C:(x-2) +(y-2) =1 (Ⅰ)C 关于 x 轴的对称点 C′(2,-2),过 A,C′的方程:x+y=0 为光线 l 的方程. (Ⅱ)A 关于 x 轴的对称点 A′(-3,-3),设过 A′的直线为 y+3=k(x+3),当该直线与 ⊙C 相切时,
而在正方形 ABCD 中,OC= 有
2k ? 2 ? 3k ? 3 1? k 2 ?1? k ?
3 4或 k? 4 3

∴过 A′,⊙C 的两条切线为 y ? 3 ?

4 3 ( x ? 3), y ? 3 ? ( x ? 3) 令 y = 0 , 得 3 4

3 x1 ? ? , x2 ? 1 4
∴反射点 M 在 x 轴上的活动范围是 ?? 3 ,1?
? 4 ? ? ?

19. 解 假设存在直线 l 满足题设条件,设 l 的方程为 y=x+m, 2 2 圆 C 化为(x-1) +(y+2) =9,圆心 C(1,-2) , 则 AB 中点 N 是两直线 x-y+m=0 与 y+2=-(x-1)的交点即 N ? ? ? 以 AB 为直径的圆经过原点, ∴|AN|=|ON|,又 CN⊥AB,|CN|= ∴|AN|= 9 ? 又|ON|= (?
(3 ? m) 2 . 2

m ? 1 m ?1 ? , ?, 2 2 ? ?

1? 2 ? m 2



m ? 1 2 m ?1 2 ) ?( ) , 2 2

由|AN|=|ON|,解得 m=-4 或 m=1. ∴存在直线 l,其方程为 y=x-4 或 y=x+1.
y

20.理 解: (1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有

2

PQ ? OP ? OQ .
2 2 2

A
O 2

又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA .
2 2

x P

Q

即: (a 2 ? b2 ) ? 12 ? (a ? 2)2 ? (b ? 1) 2 . 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

5

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a 2 ? 12a ? 8 = 5(a ? ) 2 ? . 5 5
2 2 6 时, PQ ? 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 min 5 5 5 解法 2:由(1)知,点 P 在直线 l:2x + y-3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ,即求点 A 到直线 l 的距离.
故当 a ? ∴ | PQ |min = | 2×2 + 1-3 | 2
2

+ 1

2

=

2 5 . 5

(3)设圆 P 的半径为 R , ?圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1,

? R ? 1 ? OP ? R ? 1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ? 1 .

6 9 而 OP ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 5(a ? ) 2 ? , 5 5
3 6 时, OP ? 3 5. 此时, b ? ?2a ? 3 ? , Rmin ? 3 5 ? 1 . min 5 5 5 5 得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? 6 )2 ? ( y ? 3 )2 ? ( 3 5 ? 1)2 . 5 5 5 解法 2: 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 P 半径最小时为与圆 O 外切(取小者)的情形,而这时半 径的最小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1, 圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的交 点 P0.
故当 a ?

r =

3 2
2

+ 1

2

-1 =

3 5 -1. 5
2

y

又 l’ x-2y = 0, :

6 ? x? , ? x ? 2 y ? 0, ,得 ? ? 5 .即 P0( 6 ,3 ). 解方程组 ? ? 5 5 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 ? 5 ?
∴ 所求圆方程为 ( x ? 6 )2 ? ( y ? 3 )2 ? ( 3 5 ? 1)2 . 5 5 5

A

P0
O 2

x P

Q

l

20 文解: (1)∵ 点 P(a,a+1)在圆上, ∴ ∴

a 2 ? (a ? 1) 2 ? 4a ? 14(a ? 1) ? 45 ? 0 , ∴
| PQ |? (4 ? 2) 2 ? (5 ? 3) 2 ? 2 10 ,

, a ? 4 , P(4,5)

KPQ= 3 ? 5 ? 1 , ?2?4 3

6

(2)∵ 圆心坐标 C 为(2,7) , ∴ | QC |? (2 ? 2) 2 ? (7 ? 3) 2 ? 4 2 , ∴ | MQ | max ? 4 2 ? 2 2 ? 6 2 , | MQ | min ? 4 2 ? 2 2 ? 2 2 。 (3)设点(-2,3)的直线 l 的方程为: y ? 3 ? k ( x ? 2), kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 , 即 易知直线 l 与圆方程相切时,K 有最值, ∴

| ?2k ? 7 ? 2k ? 3 | 1? k 2

?2 2 ,

∴ k ? ?2 ? 3 ∴ K ?

n?3 的最大值为 ? 2 ? 3 ,最小值为 ? 2 ? 3 . m?2

7


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