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高中数学第二章变化率与导数2.4导数的四则运算法则导数的乘法与除法法则教案

教案、学案、试题、试卷、复习资料 导数的乘法与除法法则 一、教学目标: 1、了解两个函数的积、商的求导公式; 2、会运用上述公式,求含有积、商综合运算的函数的导数; 3、能运用导数的几何意义,求过曲线上一点的切线。 二、教学重点:函数积、商导数公式的应用 教学难点:函数积、商导数公式 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习:两个函数的和、差的求导公式 1.导数的定义:设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义,如果 ?x ? 0 时,?y 与 ?x 的比 叫函数的平均变化率) 有极限即 ?y (也 ?x ?y 无限趋近于某个常数, 我们把这个极限值叫做函数 y ? f ( x) 在 ?x ,即 f ( x0 ) ? lim / ?x ?0 x ? x0 处的导数,记作 y / x ? x0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x 王新敞 奎屯 新疆 2. 导数的几何意义:是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率 因此,如果 y ? f ( x) 在 点 x0 可导,则曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )(x ? x0 ) 王新敞 奎屯 新疆 3. 导函数 ( 导数 ): 如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的每点处都有导数,此时对于每一个 都对应着一个确定的导数 f / ( x) , 从而构成了一个新的函数 f / ( x) , 称这个函数 f / ( x) x ? (a, b) , 为函数 y ? f ( x) 在开区间内的导函数,简称导数, 4. 求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) (2)求平均变化率 王新敞 奎屯 新疆 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ?x ?x 王新敞 奎屯 新疆 / (3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? lim n ?x ?0 ?y ?x 王新敞 奎屯 新疆 5. 常见函数的导数公式: C ' ? 0 ; ( x )' ? nx n ?1 6. 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) ,即 [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) (二) 、探究新课 [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) 教案、学案、试题、试卷、复习资料 设函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数为 f ?( x0 ) ,g ( x) ? x 2 。 我们来求 y ? f ( x) g ( x) ? x 2 f ( x) 在 x0 处 的导数。 2 f ( x0 ) ?y ( x0 ? ?x) 2 f ( x0 ? ?x) ? x0 ? ?x ?x 2 2 ( x ? ?x) [ f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )] ? ( x0 ? ?x) 2 ? x0 f ( x0 ) ? 0 ?x 2 ( x0 ? ?x) 2 ? x0 2 f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x ?x ? ? 令 ?x ? 0 ,由于 ?x ?0 2 lim ( x0 ? ?x) 2 ? x0 ?x ?0 lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ?x 2 ( x0 ? ?x) 2 ? x0 ? 2 x0 ?x ?0 ?x lim 2 知 y ? f ( x) g ( x) ? x 2 f ( x) 在 x0 处的导数值为 x0 f ?( x0 ) ? 2x0 f ( x0 ) 。 因此 y ? f ( x) g ( x) ? x 2 f ( x) 的导数为 x 2 f ?( x) ? ( x 2 )? f ( x) 。 一般地,若两个函数 f ( x) 和 g ( x) 的导数分别是 f ?( x) 和 g ?( x ) ,我们有 [ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ( x)? ? ? f ( x) ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? g ( x) ? ? g 2 ( x) ? ? 特别地,当 g ( x) ? k 时,有 [kf ( x)]? ? kf ?( x) 例 1:求下列函数的导数: (1) y ? x e ; 2 x 2 x 2 x (2) y ? 2 x x sin x ; x 2 x 2 (3) y ? x ln x 。 x 解: (1) y? ? ( x e )? ? ( x )?e ? x (e )? ? 2xe ? x e ? (2x ? x )e ; (2) y ? ? ( x sin x)? ? ( x )? sin x ? x (sin x)? ? sin x 2 x ? x cos x ; (3) y ? ? ( x ln x)? ? ( x)? ln x ? x(ln x)? ? 1 ? ln x ? x ? 例 2:求下列函数的导数: 1 ? ln x ? 1 。 x 教案、学案、试题、试卷、复习资料 sin x (1) y ? ; x x2 (2) y ? 。 ln x ? (sin x)? ? x ? sin x ? ( x)? cos x ? x ? sin x ? 1 x cos x ? sin x ? sin x ? ? ? ? 解: (1) y ? ? ; ? ? x2 x2 x2 ? x ? 1 ? 2 x ? ln x ? x 2 ? ? x2 ? (

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