fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

【创新设计】2015高考数学(江苏专用,理科)二轮专题整合:1-2-3平面向量的线性运算及综合应用


第3讲

平面向量的线性运算及综合应用

一、填空题 1.(2014· 重庆卷改编)已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实 数 k=________. 解析 因为 2a-3b=(2k-3,-6),且(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)· c=2(2k-

3)-6=0,解得 k=3. 答案 3

→ 2.(2014· 河南十所名校联考)在△ABC 中,M 是 AB 边所在直线上任意一点,若CM → → =-2CA+λCB,则 λ=________. 解析 答案 3 由点 A,B,M 三点共线知:-2+λ=1,所以 λ=3.

3.(2014· 龙岩期末考试)在平面直角坐标系中,菱形 OABC 的两个顶点为 O(0,0), → → → → A(1,1),且OA· OC=1,则AB· AC=________. 解析 → → → → → → → 依题意,|OA|=|OC|=|AB|= 2,OA· OC=|OA||OC|cos ∠AOC=1, cos

→ → → 1 π π → → → → ∠AOC=2,∠AOC=3,则|AC|=|OA|=|OC|= 2,∠BAC=3,AB· AC=|AB||AC |cos ∠BAC=1. 答案 1

→ → → → 4.(2013· 天一、淮阴、海门中学联考)在△ABC 中,已知AB· AC=4,AB· BC=-12, → 则|AB|=________. 解析 |=4. 答案 4 → → → → → → → → → 将AB· AC=4, AB· BC=-12 两式相减得AB· (AC-BC)=AB2=16, 则|AB

→ → π 5.(2014· 山东卷)在△ABC 中,已知AB· AC=tan A,当 A=6时,△ABC 的面积为
-1-

________. 解析 π → → 由 A=6,AB· AC=tan A,

→ → 得|AB|· |AC|· cos A=tan A, → → → → 2 3 3 即|AB|· |AC|× 2 = 3 ,∴|AB|· |AC|=3, 1→ → 1 2 1 1 ∴S△ABC=2|AB|· |AC|· sin A=2×3×2=6. 答案 1 6

6.已知非零向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,向量 a 与 b 的夹角为 60° ,且|a|=|b| =1,则向量 a 与 c 的夹角为________. 解析 因为 a+b+c=0,所以 c=-(a+b).所以|c|2=(a+b)2=a2+b2+2a· b

=2+2cos 60° =3.所以|c|= 3. 3 又 c· a=-(a+b)· a=-a2-a· b=-1-cos 60° = -2, 设向量 c 与 a 的夹角为 θ, 3 - 2 a· c 3 则 cos θ=|a||c|= =- 2 .又 0° ≤θ≤180° ,所以 θ=150° . 1× 3 答案 150°

→ → → → 7. 如图, 在△ABC 中, ∠C=90° , 且 AC=BC=3, 点 M 满足BM=2 MA, 则CM· CB =________.

解析

法一

如图建立平面直角坐标系.

由题意知:A(3,0),B(0,3), → → 设 M(x,y),由BM=2MA,

-2-

?x=2?3-x?, ?x=2, 得? 解得? 即 M 点坐标为(2,1), ?y-3=-2y, ?y=1, → → 所以CM· CB=(2,1)· (0,3)=3. 法二 1→2 3CB =3. 答案 3 → → → → → → → ?2 → ? → 2 → → → CM· CB=(CB+BM)· CB=CB2+CB×? BA?=CB2+3CB· (CA-CB)= ?3 ?

→ → 8. (2014· 杭州质量检测)在△AOB 中, G 为△AOB 的重心, 且∠AOB=60° , 若OA· OB → =6,则|OG|的最小值是________. 解析 → 2→ 2 1 → → 1 → → 如图,在△AOB 中,OG=3OE=3×2(OA+OB)=3(OA+OB),

→ → → → 又OA· OB=|OA||OB|· cos 60° =6,

→ → ∴|OA||OB|=12, → → → → → 1 → → 1 → 1 → 1 ∴ | OG |2 = 9 ( OA + OB )2 = 9 (| OA |2 + | OB |2 + 2 OA · OB ) = 9 (| OA |2 + | OB |2 + 12)≥ 9 → → → → ? → → ? 1 ×?2|OA||OB|+12?=9×36=4(当且仅当|OA|=|OB|时取等号). ∴|OG|≥2, 故|OG |的最小值是 2. 答案 2

-3-

二、解答题 9.(2013· 江苏卷)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. (1)证明 αcos (2)解 由|a-b|= 2,即(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2,整理得 cos

β+sin αsin β=0,即 a· b=0,因此 a⊥b. ?cos α+cos β=0, 由已知条件? ?sin α+sin β=1,

cos β=-cos α=cos(π-α),由 0<α<π,得 0<π-α<π, 又 0<β<π,故 β=π-α.则 sin α+sin (π-α)=1, 1 π 5π 即 sin α=2,故 α=6或 α= 6 . π 5π 5π π 当 α=6时,β= 6 (舍去),当 α= 6 时,β=6. 5π π 所以,α,β 的值分别为 6 ,6. 10.已知向量 m=(sin x,-1),n=(cos x,3). sin x+cos x (1)当 m∥n 时,求 的值; 3sin x-2cos x (2)已知在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 3c=2asin(A+ B),函数 f(x)=(m+n)· m,求 π? ? f?B+8?的取值范围. ? ? 解 (1)由 m∥n,可得 3sin x=-cos x, 1 -3+1 ? 1? 3×?-3?-2 ? ? 2 =- . 9

sin x+cos x tan x+1 1 于是 tan x=- ,∴ = = 3 3sin x-2cos x 3tan x-2

(2)在△ABC 中 A+B=π-C,于是 sin(A+B)=sin C, 由正弦定理,得 3sin C=2sin Asin C, 3 ∵sin C≠0,∴sin A= 2 .又△ABC 为锐角三角形, π π π ∴A=3,于是6<B<2.
-4-

∵ f(x) = (m + n)· m = (sin x + cos x,2)· (sin x ,- 1) = sin2 x + sin xcos x - 2 = 1-cos 2x 1 π? 3 2 ? ?2x-4?- , + sin 2 x - 2 = sin 2 2 2 ? ? 2 π? π? 3 π? 2 ? ? 2 3 π π π ? B+8?- ?- = sin 2B- .由 <B< ,得 <2B<π, ∴f?B+8?= 2 sin?2? ? 4? 2 2 2 6 2 3 ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ∴0<sin 2B≤1,-2< 2 sin 2B-2≤ 2 -2, π ? 3 2 3? 即 f(B+8)∈?- , - ?. ? 2 2 2? 11.(2014· 南京、盐城模拟)如图所示,A,B 分别是单位圆与 x 轴、y 轴正半轴的 交点,点 P 在单位圆上,∠AOP=θ(0<θ<π),C 点坐标为(-2,0),平行四边形 OAQP 的面积为 S.

→ → (1)求OA· OQ+S 的最大值; π? ? (2)若 CB∥OP,求 sin?2θ-6?的值. ? ? 解 (1)由已知,得 A(1,0),B(0,1),P(cos θ,sin θ),

因为四边形 OAQP 是平行四边形, → → → 所以OQ=OA+OP=(1,0)+(cos θ,sin θ) =(1+cos θ,sin θ). → → 所以OA· OQ=1+cos θ. 又平行四边形 OAQP 的面积为 → → S=|OA|· |OP|sin θ=sin θ, → → ? π? 所以OA· OQ+S=1+cos θ+sin θ= 2sin?θ+4?+1. ? ? 又 0<θ<π,

-5-

→ → π 所以当 θ=4时,OA· OQ+S 的最大值为 2+1. → (2)由题意,知CB=(2,1), → OP=(cos θ,sin θ), 因为 CB∥OP,所以 cos θ=2sin θ. 又 0<θ<π,cos2θ+sin2θ=1, 5 2 5 解得 sin θ= 5 ,cos θ= 5 , 4 3 所以 sin2 θ=2sin θcos θ=5,cos 2θ=cos2θ-sin2θ=5. π? π π 4 3 3 1 4 3-3 ? 所以 sin?2θ-6?=sin 2θcos6-cos 2θsin 6=5× 2 -5×2= 10 . ? ?

-6-


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图