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福建省宁德市2019年质检数学卷及答案

2019 年宁德市初中毕业班质量检测数学试题
(满分 150 分 考试时间:120 分钟)

一、选择题:本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分

1.2019 的绝对值是

A. 1 2019

B. 2019

C. ? 1 2019

2.下列几何体中,主视图与俯视图相同的是

D. ?2019

A

B

C

D

3.下列运算正确的是

A. a3 ? a2 ? a6

B. a6 ? a2 ? a3

C.( 2?)0 ? 0

4.若三角形的三边长分别为 3,x,5,则 x 的值可以是

D. 3?2 ? 1 9

A.2

B.5 C.8

D.11

5.如图,在 4? 4 的正方形网格中,点 A,B,M,N 都在格点上.从

A

M
点 M,N 中任取一点,与点 A,B 顺次连接组成一个三角形,则

下列事件是必然事件的是 A.所得三角形是锐角三角形 C.所得三角形是钝角三角形

B.所得三角形是直角三角形 D.所得三角形是等腰三角形

B

N

第 5 题图

6.一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0 根的情况是

A.只有一个实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.没有实数根

7.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来谷米 1534

石,验得其中夹有谷粒.现从中抽取谷米一把,共数得 254 粒,其中夹有谷粒 28 粒,

则这批谷米内夹有谷粒约是 A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 8.小卖部从批发市场购进一批杨梅,在销售了部分杨梅之后,

y/元
720 600

余下的每千克降价 3 元,直至全部售完.销售金额 y 元与杨

梅销售量 x 千克之间的关系如图所示.若销售这批杨梅一共 赢利 220 元,那么这批杨梅的进价是

40 x/千克 第 8 题图

A.10 元/千克

B.12 元/千克 C.12.5 元/千克 D.14.4 元/千克

9.如图,AB 是⊙O 的直径,AB=AC,AC 交⊙O 于点 E,C 交

A

⊙O 于点 D,F 是 CE 的中点,连接 DF.则下列结论错误的是

A.∠A=∠ABE B.⌒ BD=⌒ DE

C.BD=DC

D.DF 是⊙O 的切线

数学试题 第 1 页 共 11 页

O

E

F

B

DC

第 9 题图

10.点 A(2,m),B(2,m-5)在平面直角坐标系中,点 O 为

E

坐标原点.若△ABO 是直角三角形,则 m 的值不可能是

A1

B

A.4

B.2

C.1

D.0

二、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.

C

D

第 12 题图

11.2018 年国庆假期宁德市接待游客 2 940 000 人次.将数据 2 940 000 用科学记数法表示



.

12.如图,DA⊥CE 于点 A,CD∥AB,∠1=30°,则∠D=

°.

13.学校组织户外研学活动,安排给九年级三辆车,小明与小慧都可以从三辆车中任选一

辆搭乘,则小明和小慧搭乘同一辆车的概率是

.

?2 ? x>1,?

14.关于

x

的一元一次不等式组

? ? ??

x

? 2

5 ≤m

中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图

所示,则该不等式组解集是

.

-2 -1 0 1 2 3 第 14 题图

15. 小宇计算分式的过程如图所示,他开始出现计算错误的是在第

步.(填序号)

计算:

x?3 x2 ?1

?

3 1?

x

解:原式 = x ? 3 ? 3

…①

(x ?1)(x ?1) 1? x

= x ? 3 ? 3(x ?1)

…②

(x ?1)(x ?1) (x ?1)(x ?1)

=?x ? 3 ? 3(x ?1)

…③

= ? 2x ? 6

…④

G

A

D

F

BE

C

第 16 题图

16. 如图,已知正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 上的一个动点,EF⊥AE 交 CD 于点 F,以 AE,EF 为边作矩形 AEFG,若 AB=4,则点 G 到 AD 距离的最大值是________.
三、解答题:本题共 9 小题,共 86 分.

17.(本题满分 8 分)先化简,再求值: (x ? 3)2 ? x(2 ? x) ? 9 ,其中 x ? ? 3 .

数学试题 第 2 页 共 11 页

18.(本题满分 8 分)如图,F,C 是 AD 上两点,且 AF=CD;点 E,F,G 在同一直线上,

且 F,G 分别是 AC,AB 中点,BC=EF. 求证:△ABC≌△DEF.

B

G

A

F

C

D

E

19.(本题满分 8 分)春晓中学为开展“校园科技节”活动,计划购买 A 型、B 型两种型号 的航模.若购买 8 个 A 型航模和 5 个 B 型航模需用 2200 元;若购买 4 个 A 型航模和 6 个 B 型航模需用 1520 元.求 A,B 两种型号航模的单价分别是多少元.

20.(本题满分 8 分)某校九年级共有 80 名同学参与数学科托底训练.其中(1)班 30

人,(2)班 25 人,(3)班 25 人,吕老师在托底训练后对这些同学进行测试,并对测

试成绩进行整理,得到下面统计图表.

(1)班成绩分布直方图 人数 9 8 7 6 5 4 3 2 1
0 40 50 60 70 80 90 100 成绩/分
(1)表格中的 m 落在________组;(填序号)

九年级托底成绩统计表

班级
(1) 班
(2) 班
(3) 班

平均 数 75.2
71.2
72.8

中位 数 m
68
75

众数 82 79 75

①40≤x<50, ②50≤x<60, ③60≤x<70,④70≤x<80, ⑤80≤x<90, ⑥90≤x≤100.

(2)求这 80 名同学的平均成绩;

(3)在本次测试中,(2)班小颖同学的成绩是 70 分,(3)班小榕同学的成绩是 74 分,

这两位同学成绩在自己所在班级托底同学中的排名,谁更靠前?请简要说明理由.

数学试题 第 3 页 共 11 页

21.(本题满分 8 分)如图,点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点,点 E 在 BO 上,EF 垂直

平分 AB,垂足为 F.

(1)求证:△BEF ∽△DCO;

A

(2)若 AB=10,AC=12,求线段 EF 的长.

F

B EO

D

E

C

22.(8 分)已知反比例函数图象上两点 A(2,3),B ??2x ? 2,y1 ? 的位置如图所示.
(1)求 x 的取值范围;
(2)若点 C ??x,y2 ? 也在该反比例函数的图像上,试比较 y1 , y2 的大小.
y

A B

O

x

数学试题 第 4 页 共 11 页

23.(本题满分 12 分)定义:平面内,如果一个四边形的四个顶点到某一点的距离都相

等,则称这一点为该四边形的外心.

(1)下列四边形:平行四边形、矩形、菱形中,一定有外心的是



(2)已知四边形 ABCD 有外心 O,且 A,B,C 三点的位置如图 1 所示,请用尺规确定该

四边形的外心,并画出一个满足条件的四边形 ABCD;

(3)如图 2,已知四边形 ABCD 有外心 O,且 BC=8,sin∠BDC= 4 ,求 OC 的长. 5

A D
A

B

C

图1

O

B

C

图2

24.(本题满分 13 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=6,E 是 AD 边上的一个动点,

将四边形 BCDE 沿直线 BE 折叠,得到四边形 BC′D′E,连接 AC′,AD′.

(1)若直线 DA 交 BC′于点 F,求证:EF=BF;

D′

(2)当 AE= 4 3 时,求证:△AC′D′是等腰三角形; C′

?

3

(3)在点 E 的运动过程中,求△AC′D′面积的最小值. F

A

E

D

B

C

数学试题 第 5 页 共 11 页

25.(本题满分 13 分)如图 1,已知水龙头喷水的初始速度 v0 可以分解为横向初始速度
vx 和纵向初始速度 vy,? 是水龙头的仰角,且 v02 ? vx2 ? vy2 .图 2 是一个建在斜坡上的
花圃场地的截面示意图,水龙头的喷射点 A 在山坡的坡顶上(喷射点离地面高度忽略不

计),坡顶的铅直高度 OA 为 15 米,山坡的坡比为 1 .离开水龙头后的水(看成点)获 3
得初始速度 v0 米/秒后的运动路径可以看作是抛物线,点 M 是运动过程中的某一位置.忽 略空气阻力,实验表明:M 与 A 的高度之差 d(米)与喷出时间(t 秒)的关系为 d ? vyt ? 5t2 ;

M 与 A 的水平距离为 vxt 米.已知该水流的初始速度 v0 为 15 米/秒,水龙头的仰角? 为 53? . (1)求水流的横向初始速度 vx 和纵向初始速度 vy; (2)用含 t 的代数式表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y,并求 y 与 x 的关系式(不写 x 的取
值范围); (3)水流在山坡上的落点 C 离喷射点 A 的水平距离是多少米?若要使水流恰好喷射到坡

脚 B 处的小树,在相同仰角下,则需要把喷射点 A 沿坡面 AB 方向移动多少米?

(参考数据: sin 53? ? 4 , cos53? ? 3 , tan 53? ? 4 )

5

5

3

y

vy v0 ? vx
图1

M A
vxt C
O 图2

Bx

数学试题 第 6 页 共 11 页

参考答案

一、选择题: B C DBD CB A AB 二、填空题:

11. 2.94 ?106 三、解答题

12.60 13. 1 3

14. x≤?1 15.② 16.1

17.

解:原式= x2 ? 6x ? 9 ? 2x ? x2 ? 9 ·····················································4 分

= 2x2 ? 4x .

····························································· 5 分

当 x ? ? 3 时,

? ? ? ? 原式= 2?

?

2
3 ?4?

?

3

······················································· 6 分

18.

=6?4 3.

··································································· 8 分

证明:∵AF=CD,

∴AF+FC =FC+CD.

B

∴AC=FD. ········································2 分

G

∵点 F,G 分别是 AC,AB 的中点,

A

C

D

F

∴GF∥BC.

···························4 分

∴∠BCA =∠EFD. ···························5 分

E

∵BC=EF,

∴△ABC≌△DEF. ··························8 分

19. 解:设 A 型号航模单价为 x 元, B 型号航模单价为 y 元,根据题意,得 ···1 分

?8x ??4x

? ?

5y 6y

? ?

2200?, 1520?. ···········································································5



解得

? ? ?

x y

? ?

200?, ··········································································· 7
120?.



答:A 型号航模的单价为 200 元, B 型号航模的单价为 120 元. ············8 分 20.
解:(1)④; ·········································································2 分

(2) x ? 75.2? 30 ? 71.2? 25 ? 72.8? 25 80
= 73.2 (分). ···································································5 分 答:这 80 名同学的平均成绩为 73.2 分; (3)小颖同学在自己班级的托底同学中排名更靠前. ···························6 分 理由:因为 70 ? 68 ,所以小颖同学成绩处于自己班级托底同学的中上水平;
因为 74 ? 75 ,所以小榕同学成绩处于自己班级托底同学的中下水平,且这两个 班的参加托底训练的人数相同,所以小颖在自己班级的排名更靠前. 8 分
数学试题 第 7 页 共 11 页

21.

解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是菱形,

A

∴ AC ? BD ,AB∥CD.

F

∴∠FBE=∠ODC.

············2 分

又∵EF 垂直平分 AB, ∴∠BFE=∠DOC=90°.

B EO

D

E

∴△BEF ∽△DCO.

············4 分

(2)∵四边形 ABCD 是菱形,

C

∴ OC ? 1 AC ? 1 ?12 ? 6 , CD ? AB ?10 .

2

2

在 Rt△DCO 中,根据勾股定理得

OD ? CD2 ? OC2 ? 102 ? 62 ? 8 .

又∵EF 垂直平分 AB,

∴ BF ? 1 AB ? 1 ?10 ? 5 . ···························································6 分 22
由(1)可知△BEF∽△DCO,

∴ EF ? BF ,即 EF ? 5 .

OC OD

68

∴ EF ? 15 . 4
22.

··························································8 分

解:(1)根据图象上 A,B 两点的位置可知: xB ? 2 .

∴ ?2x ? 2 ? 2 .

·····································································3 分

∴ x<0 .

·····································································4 分

(2)解法一:∵ x<0 ,

∴ xC ? ?x ? 0 .

∴点 C 在第一象限内.

····················································5 分

由 xB ? xC ,得

?2x ? 2 ? ??x?

= ?x ? 2 .

∵ ?x ? 0 ,

∴ ?x ? 2 ? 2 ? 0 .

∴ xB ? xC .

∴ 0<xC<xB .

···································································7 分

∵反比例函数在第一象限内,y 随 x 的增大而减小,

∴ y2 ? y1 .

···································································8 分

数学试题 第 8 页 共 11 页

23.

解:(1)矩形. ··········································2 分

A

(2)如图 1,作图正确. ·······························5 分

(作出圆心得 2 分,确定点 D 得 1 分)

O

∴所作的点 O 是四边形 ABCD 的外心,四边形 ABCD 的就是所求作的四边形. ·······················6 分 B

(3)如图 2,∵点 O 是四边形 ABCD 的外心, ∴OA=OC=OB=OD, ∴点 A,B,C,D 都在以 OC 为半径的⊙O 上. ··8 分

图1
A

连接 OB,BC,作 OM⊥BC 于点 M.

则∠OMB=90°,∠BOC=2∠BDC.

O

∵OC=OB,

∴∠COM= 1 ∠BOC=∠BDC,CM= 1 BC=4. ····11 分

B

M

2

2

∴OC= CM ? 4 ? 4 ? 5 .························12 分

图2

sin ?COM

5

解法二:如图 3,∵点 O 是四边形 ABCD 的外心,

∴OA=OC=OB=OD,

A

∴点 A,B,C,D 都在以 OC 为半径的⊙O 上. ··8 分 E

延长 CO 交⊙O 于点 E,连结 EB,

则∠EBC=90°,∠BEC=∠BDC.

O

∴CE= BC ? 8 ? 4 ? 10 . ························11 分 B sin ?BEC 5

∴OC= 1 CE=5 . ·······································12 分 2

24.

解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,

C′

∴AD∥BC.

F

图3
D′

?

A

E

∴∠FEB=∠EBC. ··································2 分

根据对称可得∠FBE=∠EBC , ∴∠FEB=∠FBE. ∴BF=EF.············································4 分

B

图1

(2)(如图 2)

数学试题 第 9 页 共 11 页

D C
D C
D C
D C

分别过点 A 作 AG⊥BC′于 点 G,AH ⊥ C′D′于 点 H,

∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠BAD =90°.

D′
H

∴tan∠ABE=

AE AB

?

4 3

4

3

?

3. 3

C′

?

A

E

D

F

∴∠ABE =30°.······································5 分 G

∴∠FEB=90°-∠ABE=60°.

∴∠FBE=∠FEB=60°. ····························6 分

∴∠AB G=∠FBE-∠ABE=30°.

B

图2

C

∴AG= 1 AB=2. ·····································7 分 2
根据对称可得∠B C′D′=∠C=90°, C′D′= CD.

D′
H

∴∠B C′D′=∠C′GA=∠C′HA= 90°.

C′

?

∴四边形 AGC′H 是矩形. ∴ AG=C′H=2.

A

E

D

F

∴AH 是 C′D′的 垂 直 平 分 线 .··················8 分

∴AC′= AD′.

G

∴△AC′D′是等腰三角形. ··························9 分

B

图3

C

(3)(如图 5)根据对称可得点 C′与点 D′的 对 称点分 别 为 点 C,D.

作点 A 关于 BE 的 对 称点点 A′.

由对称性得 △A′CD ≌△AC′D′,BA′=BA.

∴S△A′ CD=S△AC′ D′ ,点 A′落 在以 点 B 为 圆 心 以 A B 为半径的弧 AM 上.11 分

设弧 AM 交 BC 于点 M,过点 A′作 A′N⊥CD 于 N.

由垂线段最短知 BA′+ A′N≥BM+MC.

D′

∵BA′=BM,∴ A′N≥MC.

C′

?

∴当点 A′落 在 点 M 处时△A′CD 的面积最小.

A

E

D

即△AC′D′的面积最小.

F

此时 MC=BC- BM=2.

S△AC′

D′

=S△A′

CD

=

1 2

MC

?

DC

?

4



∴△AC′D′面积的最小值为 4.····················13 分

A′

N

B

MC

图5

25.

解:(1)如图 1,∵ v02 ? vx2 ? vy2 ,? = 53? .

vy v0



vx

?

v0

cos?

? 15 ?

3 5

?

9



························ 2



? vx

vy

?

v0

sin?

? 15?

4 5

? 12.

图1
······················································②··········3



(2)由(1)得 vx ? 9 , vy ? 12 .

数学试题 第 10 页 共 11 页

根据题意,得 d ? vyt ? 5t2 ? 12t ? 5t2 , yM ? yA ? d .

∴点 M 的横坐标为: x ? vxt ? 9t ,①

纵坐标为: y ? d ?15 ? ?5t2 ?12t ?15 .②

·····································6 分

由①得 t ? 9 ,代入②得 y ? ? 5 x2 ? 4 x ?15 . ·····································8 分

x

81 3

(3)∵坡顶的铅直高度为 15 米,山坡的坡比为 1 , 3

∴ OB ?15 ? 1 ? 45 (米). 3

∴A 点的坐标为(0,15),B 点的坐标为(45,0).

设线段 AB 的函数关系式为: y ? kx ? b .将 A,B 两点坐标代入上式,得

?15 ? b, ??0 ? 45k ?

解得 b.

?b ? 15,

?

???k

?

?

1. 3

∴线段

AB

的关系式为:

y

?

?

1

x

?

15

y
.·····················M························10



3

A



? ?? ? ?

y y

? ?

? ?

5 x2 81 1x?

?4 3
15.

x

?

15, 解得

?x ? 27,

? ?

y

?

6.

?? 3

vxt C

O

图2

D

Bx

∴水流在山坡上的落点 C 离喷射点 A 的水平距离是 27 米. ···················11 分

过 C 点作 CD ? x 轴,垂足为 D,得 CD=6,BD=18.

在 Rt△DCO 中,根据勾股定理,得

BC ? CD2 ? BD2 ? 62 ? 182 ? 6 10 (米).

由平移的性质可得,需要把喷射点沿坡面 AB 方向移动 6 10 米. ············13 分

数学试题 第 11 页 共 11 页


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