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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第44课 递推数列求通项(1)课件 文

考纲要求
1.掌握几种常见的数列的通项公式求法. 2. 会将数列进行适当的变形,转化为可求通项的数列.

基础自测
1.在数列 1,1, 2,3,5,8,13, x,34,55, …中, x 的值是( A. 19 C. 21 B. 20 D. 22 )

【答案】C 【解析】观察可知 an?2 ? an?1 ? an ,∴ x ? 8 ? 13 ? 21 .

2.数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对所有的 n ? 2 都有 a1 ? a2 ? a3 ? … ?an ? n2 , 则 a3 ? ( )

9 A. 4
【答案】A

3 B. 2

25 C. 9

25 D. 16

a1 ? a2 ? a3 32 9 【解析】 a3 ? ? 2? . a1 ? a2 2 4

3.在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 , an? 2 ? 2an?1 ? an ,则 a4 ? ( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6



【答案】B 【解析】∵ an? 2 ? 2an?1 ? an , ∴数列 {an } 为等差数列, ∴ d ? 2 ?1 ? 1, ∴ a4 ? 1 ? 3 ?1 ? 4 .

1 4. 若数列 {an } 中,a1 ? , 且对任意的正整数 p, q 都有 a p ?q ? a p ? aq , 3
则 an =( )

1 2 n?1 A. ( ) 3
【答案】C

1 n?1 B. ( ) 3

1 n C. ( ) 3

1 D. 3

【解析】 ∵令 p ? n, q ? 1 ,∴ an?1 ? an ? a1 ,∴

an ?1 1 ? . an 3

1 1 n ?1 1 n ∴数列 {an } 为等比数列,∴ an ? ? ( ) ? ( ) . 3 3 3

典例剖析
1.通用公式法

? S1 ,???????????n ? 1, 若知数列的前 n 项和 Sn ,则 an ? ? ? S n ? S n ?1 , n ? 2.
注意:对于 n ? 1 时的情况一定要检验, 若当 n ? 1 时, a1 也满足 an 的表达式,则两式可合并.

【例 1】已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式.
【解析】 a1 ? S1 ? 0 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (n2 ?1) ? [(n ?1)2 ?1] ? 2n ?1 . ∵ a1 ? 0 ? 2 ?1 ? 1 ,

n ? 1, ?0, ∴ an ? ? ?2n ? 1, n ? 2.

【变式】已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和满足 Sn ? 1 , 且 6Sn ? (an ? 1)(an ? 2) , n ? N ,求数列 {an } 的通项公式.
*

1 【解析】由 a1 ? S1 ? (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 , 6 ∵ a1 ? S1 ? 1 ,∴ a1 ? 2 .
∵ an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ?

1 1 (an ?1 ? 1)(an ?1 ? 2) ? (an ? 1)(an ? 2) , 6 6

∴ an?1 ? an ? 3 ,或 an?1 ? ?an , ∵ an ? 0 ,∴ an?1 ? an ? 3 , ∴ {an } 是以 2 为首项,公差为 3 的等差数列, ∴ {an } 的通项为 an ? 3n ? 1 .

2.累加法
递推关系形如 an?1 ? an ? f (n) . 方法:变形为 an?1 ? an ? f (n) ,用累加法求解. 即: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) .

【例 2】已知数列 {an } 满足 a1 ? 2

, an ? an?1 ? 2n ?1,(n ? 2) ,求 an .

【解析】∵当 n ? 2 时, an ? an?1 ? 2n ?1 , ∴ an ? an?1 ? 2n ?1 , ∴ an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

? [(2n ? 1) ? (2n ? 3) ? ? ? 3] ? 2
? [(2n ? 1) ? 3] ? (n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 1 , 2
2

∵ a1 ? 2 ? 1 ? 1 , ∴ an ? n ? 1.
2

【变式】已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a n ?1 ? a n ?

1 ,求 an . 2 n ?n 1 1 1 1 【解析】 an ?1 ? an ? 2 ? ? ? n ? n n ? n ? 1? n n ? 1

1 1 ? , ∴ a n ? a n ?1 ? n ?1 n 1 1 a n ?1 ? a n ? 2 ? ? , n ? 2 n ?1
…,

1 a 2 ? a1 ? 1 ? , 2 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 2 ? 3 ? , ∴ an ? ( n ?1 n n ? 2 n ?1 2 n 1 1 a1 ? 2 ? 3 ? ,∴ an ? 3 ? . ∵ 1 n

3.累乘法
递推关系形如 an?1 ? f (n) ? an . 方法:变形为

an?1 ? f (n) ,用累乘法求解. an

即: an ?

an an ?1 a ? ? … ? 2 ? a1 (n ? 2) . an ?1 an ?2 a1

【例 3】已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2n ? an ,求 an .
【解析】∵ an?1 ? 2n ? an ,∴

an ?1 ? 2n , an

an a2 a3 a4 ? 21 ? 22 ??????2n?1 , ∴ ? ? ????? a1 a2 a3 an ?1
n ( n ?1) an 1? 2????? ( n ?1) ∴ ?2 ?2 2 , a1

又? a1 ? 1 ,∴ an ? 2

n ( n ?1) 2



【变式】已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) ,求 an .
【解析】∵ an ? n(an?1 ? an ) ,∴ (n ? 1)an ? nan?1 , ∴

an?1 n ? 1 , ? an n

2 3 4 n an a2 a3 a4 ? ? ? ???????? ∴ ? ? ????? , n ?1 a1 a2 a3 an ?1 1 2 3


an ?n, a1

又? a1 ? 1 ,∴ an ? n .

4.对数法
i 递推关系形如 an?1 ? an , 其中 i ? R 且 i?i ? 1? ? 0 , 数列 ?an ? 是正项数列.

方法:对等式两边同时取对数得 lg an?1 ? i lg an .

lg a n ?1 从而化为 ? i, lg a n
可知数列 ?lg an ?是首项为 lg a1 ,公比为 i 的等比数列.

2 【例 4】已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ,求 an .

2 【解析】在等式 an?1 ? an ,

两边取常用对数得 lg an?1 ? 2 lg an ,

lg a n ?1 ∴ ? 2, lg a n
∴数列 ?lg an ?是以 lg 2 为首项,以 2 为公比的等比数列, ∴ lg an ? 2
n ?1

? lg 2 ? lg 2

2n ?1

,∴ an ? 2

2n?1

.

2 【变式】已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 2an ,求 an .

2 【解析】∵ an?1 ? an ? 2an ,? an?1 ? 1 ? (an ? 1)2 ,

两边取对数得 lg(1 ? an?1 ) ? 2lg(1 ? an ) , ∴

lg(1 ? an?1 ) ? 2, lg(1 ? an )

∴ {lg(1 ? an )} 是以 lg(1 ? a1 ) ? lg3 为首项,以 2 为公比的等比数列, ∴ lg(1 ? an ) ? 2 ∴ 1 ? an ? 3
2n?1 n ?1

? lg3 ? lg3
2n?1

2n?1



,∴ an ? 3

?1.

归纳反思
数列的通项公式是常考的重点内容,累加、累乘法是用来解 决问题的基础,是训练的重点.


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