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高三数学高考数列求和(裂项及错位)


刘可可 19

考点十二
[真题 1] 均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记 bn ?

数列求和(裂项及错位)
?

(2009 山东卷)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ? N ,点 (n, Sn )

n ?1 (n ? N ? ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 4an

[命题探究] 创新是高考命题的要求,《考试大纲》提出命题要“创设比较新颖的问题情境” ,同时, “在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题 的一种趋势。本题将数列的递推关系式以点在函数图像上的方式给出,体现了这种命题理念,也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念。第(2) 问中对 b 的赋值,旨在使问题变得简捷,也使设置的数列求和问题降低难度,达成“不求在细节上人为地设置障碍,而是在大方向上考查考生的数学 能力”的命题指导思想。 [命题探源] 本题在设置等比数列的递推关系时,以点 (n, Sn ) 在函数 y ? b x ? r (b ? 0 的图像上的方式给出,这种命题方式与 2008 年福建一道文科有相 似之处: “已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an , an ?1 ) n ? N*)在函数 y=x +1 的图象上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若列数{bn} (
2

满足 b1=1,bn+1=bn+ 2 n ,求证:bn·bn+2<b n+1.”本题中增加了对参数 r 的求解,因此,如何正确求出 r 的值,成为本题的解题思考点,这恰好需要对递推 关系式 an ?

a

2

?S ,(?nS? 1),(n ? 2) S
1 n n ?1

的正确理解 (理角题目的条件: 数列{ an }是等比数列, a1 ? S1 满足数列递推式) 第 则 。 (2) 问求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ,

所用的方法是错位相减法,也是课本中推导等比数列前 n 项和公式时所用的方法。高考复习历来提倡回归课本,理解教材,例题的求解方法、公式的推 导方法,都需要我们在回归课本中积累知识,提炼方法,形成能力。 [知识链接] 数列求和的几种常见题型与求解方法 (1)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

1 ?1? 1 ; n(n ? 1) n n ? 1 1 1 (k ? 0) ? ( n ? k ? n ) ③ k n ? n?k


1 ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 **④ ? ? ? 2? ? ? . k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k


(2)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推 导方法). 设{an}是等差数列,且公差为 d,{bn}是等比数列,且公比为 q,记 Sn=a1b1+a2b2+?+anbn ① S n ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ... ? an?2bn?2 ? an?1bn?1 ? an bn

qSn ? a1b2 ? a2b3 ? ... ? an?3bn?2 ? an?2bn?1 ? an?1bn ? an bn?1 (1 ? q)S n ? a1b1 ? d (b2 ? b3 ? ... ? bn?2 ? bn?1 ? bn ) ? an bn?1



(3)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和. (4)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这 也是等差数列前 n 和公式的推导方法). 《规范解答》

广东省汕头市高三数学复习系列 等差数列、等比数列的性质及应用 新人教 A 版
一.课题:等差数列、等比数列的性质及应用 二.教学目标:熟练掌握等差(比)数列的基本公式和一些重要性质,并能灵活运用性质解决有关的问题,培养对知识的转化和应用能力. 三.教学重点:等差(比)数列的性质的应用. 四.教学过程: (一)主要知识:
用心 爱心 专心

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有关等差、等比数列的结论 1.等差数列 {an } 的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ,?? 仍为等差数列. 2.等差数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 3.等比数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 4.等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ,?? 仍为等比数列. 5.两个等差数列 {an } 与 {bn } 的和差的数列 {an ? bn } 仍为等差数列. 6.两个等比数列 {an } 与 {bn } 的积、商、倒数的数列 {an ? bn } 、 ? (二)主要方法: 1.解决等差数列和等比数列的问题时,通常考虑两类方法:①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 d (q ) 的方程;②巧妙运用等差数列和等比数列的 性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量. 2.深刻领会两类数列的性质,弄清通项和前 n 项和公式的内在联系是解题的关键. (三)例题分析: 例 1. (1)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后三项的和为 146,且所有项的和为 390 ,则这个数列有 13 项; (2)已知数列 {an } 是等比数列,且 an >0 , n ? N , a3a5 ? 2a4 a6 ? a5a7 ? 81 ,则 a4 ? a6 ?
*

? an ? ? 1 ? ? 、 ? ? 仍为等比数列. ? bn ? ? bn ?

9 .

(3)等差数列前 m 项和是 30 ,前 2m 项和是 100 ,则它的前 3m 项和是 210 . 例 2.若数列 {an } 成等差数列,且 Sm ? n, Sn ? m(m ? n) ,求 Sn?m . 解: (法一)基本量法(略) ;

? An 2 ? Bn ? m ? (法二)设 Sn ? An ? Bn ,则 ? 2 ? Am ? Bm ? n ?
2

(1) (2)

(1) ? (2) 得: (n2 ? m2 ) A ? (n ? m) B ? m ? n ,?m ? n , ∴ (m ? n) A ? B ? ?1,
∴ Sn?m ? (n ? m)2 A ? (n ? m) B ? ?(n ? m) .

例 3.等差数列 {an } 中共有奇数项,且此数列中的奇数项之和为 77 ,偶数项之和为 66 , a1 ? 1 ,求其项数和中间项. 解:设数列的项数为 2n ? 1 项, 则 S奇 ? ∴

(n ? 1)(a1 ? a2 n ?1 ) n(a2 ? a2 n ) ? 77 , S偶 ? ? 66 2 2

S奇 n ? 1 77 ,∴ n ? 6 ,∴数列的项数为 13 ,中间项为第 7 项,且 a7 ? 11. ? ? S偶 n 66

说明: (1)在项数为 2n ? 1 项的等差数列 {an } 中, S奇 =(n+1)a中 ,S偶 =na中,S2n +1 =(2n+1)a中 ; (2)在项数为 2n 项的等差数列 {an } 中 S奇 =nan ,S偶 =nan?1 ,S2n+1 =n(an ? an?1 ) .

例 4.数列 {an } 是首项为 1000 ,公比为

1 的等比数列,数列 {bn } 满足 10

1 bk ? (lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ) k

(k ? N * ) ,

(1)求数列 {bn } 的前 n 项和的最大值; (2)求数列 {|b n |} 的前 n 项和 S n? . 解: (1)由题意: an ? 10
4? n

,∴ lg an ? 4 ? n ,

∴数列 {lg an } 是首项为 3,公差为 ?1 的等差数列, ∴ lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ? 3k ?

k (k ? 1) 1 n(n ? 1) 7 ? n ]? ,∴ bn ? [3n ? 2 n 2 2
用心 爱心 专心

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由?

?bn ? 0 21 ,得 6 ? n ? 7 ,∴数列 {bn } 的前 n 项和的最大值为 S 6 ? S 7 ? 2 ?bn ?1 ? 0

(2)由(1)当 n ? 7 时, bn ? 0 ,当 n ? 7 时, bn ? 0 ,

∴当 n ? 7 时, Sn? ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 当 n ? 7 时,

3?

7?n 2 )n ? ? 1 n2 ? 13 n 2 4 4

1 13 S n? ? b1 ? b2 ? ? ? b7 ? b8 ? b9 ? ? ? bn ? 2S7 ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n 2 ? n ? 21 4 4

? 1 2 13 (n ? 7) ?? 4 n ? 4 n ? ∴ S n? ? ? . 1 2 13 ? n ? n ? 21 (n ? 7) ?4 ? 4
例 5*.若 Sn 和 Tn 分别表示数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和,对任意自然数 n ,有 an ? ? 设集合 A ? {x | x ? 2an , n ? N *} ,

2n ? 3 , 4Tn ?12Sn ? 13n , (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2) 2

B ? {y | y ? 4bn , n ? N *} .若等差数列 {cn } 任一项 cn ? A ? B, c1 是 A ? B 中的最大数,且 ?265 ? c10 ? ?125 ,求 {cn } 的通项公式.
解: (1)当 n ? 2, n ? N * 时: ?

?4Tn ? 12Sn ? 13n , 4Tn?1 ? 12Sn?1 ? 13(n ? 1) ?
17 13 5 ? ?3n ? ,又 b1 ? ? 也适合上式, 4 4 4

两式相减得: 4bn ?12an ? 13 ,∴ bn ? 3an ? ∴数列 {bn } 的通项公式为 bn ? ?3n ?

5 . 4

* (2)对任意 n ? N , 2an ? ?2n ? 3, 4bn ? ?12n ? 5 ? ?2(6n ? 1) ? 3 ,∴ B ? A ,∴ A ? B ? B

∵ c1 是 A ? B 中的最大数,∴ c1 ? ?17 ,设等差数列 {cn } 的公差为 d ,则 c10 ? ?17 ? 9d , ∴ ?265 ? ?17 ? 9d ? ?125 ,即 ?27

5 ? d ? ?12 ,又 4bn 是一个以 ?12 为公差的等差数列, 9

* ∴ d ? ?12k (k ? N ) ,∴ d ? ?24 ,∴ cn ? 7 ? 24n .

(四)巩固练习: 1.若数列 {an } ( n ? N *)是等差数列,则有数列 bn ? 且 cn >0 ( n ? N *) ,则有 dn ?
n

a1 ? a2 ? ? ? an ( n ? N *)也为等差数列,类比上述性质,相应地:若数列 {cn } 是等比数列, n

C1 ? C2 ?Cn ( n ? N *)也是等比数列.
4 Sn 7n ? 1 ,则第一个数列的第 11 项与第二个数列的第11 项的比是 . ? 3 Tn 4n ? 27

2.设 Sn 和 Tn 分别为两个等差数列的前 n 项和,若对任意 n ? N ,都有
*

说明:

an S 2 n ?1 . ? bn T2 n ?1

用心

爱心

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