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南关区第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

南关区第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 函数 f(x)=sinωx+acosωx(a>0,ω>0)在 x= A.2 B.3 C.7 ) 处取最小值﹣2,则 ω 的一个可能取值是( D.9 )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( A. 2 B.4 C.

4 3

D.

8 3

【命题意图】 本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量, 重点考查空间想象能力及对基本体积公式的 运用,难度中等. 3. 若全集 U={﹣1,0,1,2},P={x∈Z|x2<2},则?UP=( A.{2} B.{0,2} 4. 在等差数列 A.12 C.{﹣1,2} 中,已知 B.24 ) B.?x∈R,x2﹣2x+3≤0 x2 D.{﹣1,0,2} ,则 C.36 ( ) D.48 )

5. ?x∈R,x2﹣2x+3>0 的否定是( A.不存在 x∈R,使? ﹣2x+3≥0

C.?x∈R,x2﹣2x+3≤0 D.?x∈R,x2﹣2x+3>0 6. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? 3 cos x 关于直线 x ? ? A、

?
6

对称 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?4 ,则 x1 ? x2 的最小值为

?
6

 B、

?     C、 5?     D、 2?
3 6 3

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7. 若复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称,且 z1 ? 2 ? i ,则复数 ( ) B.第二象限 C.第三象限

z1 在复平面内对应的点在 z2

A.第一象限

D.第四象限 )

【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识,意在考查转化思想与计算能力. 8. 线段 AB 在平面 α 内,则直线 AB 与平面 α 的位置关系是( A.AB?α B.AB?α D.以上都不对 C.由线段 AB 的长短而定 下面四个选项中的( A.①④ B.①⑤ ) C.②⑤ D.③⑤

9. 已知平面 α、β 和直线 m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α⊥β;⑤α∥β.为使 m∥β,应选择

10.如果对定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 m ? n ,均有 mf ( m) ? nf ( n) ? mf ( n) ? nf ( m) ? 0 成立,则称 函数 f ( x) 为“ H 函数”.给出下列函数: ①

f ( x) ? ln 2 x ? 5 ;② f ( x) ? ? x 3 ? 4 x ? 3 ;③ f ( x) ? 2 2 x ? 2(sin x ? cos x) ;④


?ln | x |, x ? 0 .其中函数是“ H 函数”的个数为( f ( x) ? ? ?0 , x ? 0
A.1 B.2 C.3 D. 4

【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力,对函数的单调性定义能从不同角度来刻画,对于较复杂函数也要 有利用导数研究函数单调性的能力,由于是给定信息题,因此本题灵活性强,难度大. 11.直径为 6 的球的表面积和体积分别是( A. 144? ,144?
2 2

) C. 36? ,144? ) D. 36? ,36?

B. 144? ,36?

12.圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是( A. B. 2 ? 1 C.

2 ?1 2

D. 2 2 ? 1

二、填空题
13.对于映射 f:A→B,若 A 中的不同元素有不同的象,且 B 中的每一个元素都有原象,则称 f:A→B 为一 一映射,若存在对应关系 Φ,使 A 到 B 成为一一映射,则称 A 到 B 具有相同的势,给出下列命题: ①A 是奇数集,B 是偶数集,则 A 和 B 具有相同的势; ②A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合,B 是复数集,则 A 和 B 不具有相同的势; ③若区间 A=(﹣1,1),B=R,则 A 和 B 具有相同的势. 其中正确命题的序号是      .   14.已知角 α 终边上一点为 P(﹣1,2),则 值等于      .

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  15.在复平面内,复数
2



对应的点关于虚轴对称,且
m 2 ? 2 m ?1

,则

____. .

(m ? 3m ? 3) x 16.幂函数 f ( x) ?
17. 对于集合 M, 定义函数

在区间 ?0,?? ? 上是增函数,则 m ?

对于两个集合 A, B, 定义集合 A△B={x|fA(x) fB(x) =﹣1}

. 已知 A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},则用列举法写出集合 A△B 的结果为      .     18.直线 ax﹣2y+2=0 与直线 x+(a﹣3)y+1=0 平行,则实数 a 的值为   .

三、解答题
19.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2﹣19n+1,记 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|. (1)求 Sn 的最小值及相应 n 的值; (2)求 Tn.

20.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 C (2, 0) 的直线与抛物线 y ? 4 x 相交于点 A 、 B 两点,设
2

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .
(1)求证: y1 y2 为定值; (2)是否存在平行于 y 轴的定直线被以 AC 为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线方程 和弦长,如果不存在,说明理由.

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21.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值;

1 2 ax ? 2 x ? ln x . 2

(2)若 f ( x) 在区间 [ ,2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【命题意图】 本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题, 本题渗透了分类讨论思 想,化归思想的考查,对运算能力、函数的构建能力要求高,难度大.

1 3

22.已知曲线 f ( x) ? e x ?
2

1 2 ( x ? 0 , a ? 0 )在 x ? 1 处的切线与直线 (e ? 1) x ? y ? 2016 ? 0 ax

平行. (1)讨论 y ? f ( x) 的单调性; (2)若 kf ( s ) ? t ln t 在 s ? (0, ??) , t ? (1, e] 上恒成立,求实数的取值范围.

23.(本小题满分 12 分)菜农为了蔬菜长势良好,定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防 止害虫的危害,待蔬菜成熟时将采集上市销售,但蔬菜上仍存有少量的残留农药,食用时可用清水清洗干净, 下表是用清水 x(单位:千克)清洗该蔬菜 1 千克后,蔬菜上残存的农药 y(单位:微克)的统计表: xi 1 2 3 4 5 yi 57 53 40 30 10 (1)在下面的坐标系中,描出散点图,并判断变量 x 与 y 的相关性;

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(2)若用解析式 y=cx2+d 作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程,求其解析式;(c,a 精确到 0.01);
i ,有下列数据处理信息: =11, =38, 附:设 ωi=x2 ω y

(ωi-ω)(yi-y)=-811, 计分别为

(ωi-ω)2=374,

对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线方程 y=bx+a 的斜率和截距的最小二乘估

(3)为了节约用水,且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水.(结果保留 1 位有效数字)

24.甲、乙两位同学参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加 5 次预赛,成绩如下: 甲:78 76 74 90 82 乙:90 70 75 85 80 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据; (Ⅱ)现要从中选派一人参加数学竞赛,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由.

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南关区第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:∵函数 f(x)=sinωx+acosωx(a>0,ω>0)在 x= ∴sin +acos =﹣ + =﹣2,∴a= ,∴f(x)=sinωx+ + =2kπ+ 处取最小值﹣2, cosωx=2sin(ωx+ ).

再根据 f(

)=2sin(

)=﹣2,可得

,k∈Z,∴ω=12k+7,∴k=0 时,ω=7,

则 ω 的可能值为 7, 故选:C. 【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的图象的对称性,属于基础题.   2. 【答案】B

3. 【答案】A 【解析】解:∵x2<2 ∴﹣ <x< <x< ,x∈Z|}={﹣1,0,1}, ∴P={x∈Z|x2<2}={x|﹣ ∴?UP={2} 故选:A.

又∵全集 U={﹣1,0,1,2},

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  4. 【答案】B 【解析】 ,所以 答案:B 5. 【答案】C 【解析】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,?x∈R,x2﹣2x+3>0 的否定是:?x∈R,x2﹣2x+3≤0. 故选:C.   6. 【答案】D  【解析】: f ( x) ? a sin x ? 3 cos x ? ,故选 B

a 2 ? 3 sin( x ? ? )(tan ? ?
3 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?4
? 2? 3

? f ( x)对称轴为x ? ?

?
6

? ? ? k? ?

?

3 ) a

? x1 ? ?


?
6

? 2k1? , x2 ?

5? ? 2k2? ,? x1 ? x2 6


y
5 4 3 2 1

min

7. 【答案】B

x=m y=2x



P


x 2y 3=0
2 3 4 5

O

1

x

x+y 3=0

8. 【答案】A 【解析】解:∵线段 AB 在平面 α 内, ∴直线 AB 上所有的点都在平面 α 内, ∴直线 AB 与平面 α 的位置关系: 直线在平面 α 内,用符号表示为:AB?α 故选 A. 【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一,主要根据定义进行判断,考查了空间想象能力. 公理一:如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上.  

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9. 【答案】D 【解析】解 : 当 m?α,α∥β 时,根据线面平行的定义,m 与 β 没有公共点,有 m∥β,其他条件无法推出 m∥ β, 故选 D 【点评】本题考查直线与平面平行的判定,一般有两种思路:判定定理和定义,要注意根据条件选择使用.   10.【答案】 B

第 11.【答案】D 【解析】

考点:球的表面积和体积. 12.【答案】 B 【解析】 试题分析:化简为标准形式 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ,圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半
2 2

径, d ?

1?1? 2 2

? 2 ,半径为 1,所以距离的最大值是 2 ? 1 ,故选 B.

考点:直线与圆的位置关系 1

二、填空题
13.【答案】 ①③ .

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【解析】解:根据一一映射的定义,集合 A={奇数}→B={偶数},不妨给出对应法则加 1.则 A→B 是一一映 射,故①正确; 对②设 Z 点的坐标(a,b),则 Z 点对应复数 a+bi,a、b∈R,复合一一映射的定义,故②不正确; 对③,给出对应法则 y=tan ③正确. 故选:①③ 【点评】本题借助考查命题的真假判断,考查一一映射的定义,属于基础题型,考查考生对新定义题的理解与 应用能力.   14.【答案】   . x,对于 A,B 两集合可形成 f:A→B 的一一映射,则 A、B 具有相同的势;∴

【解析】解:角 α 终边上一点为 P(﹣1,2), 所以 tanα=﹣2. = 故答案为:﹣ . 【点评】本题考查二倍角的正切函数,三角函数的定义的应用,考查计算能力.   15.【答案】-2 【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知: 所以 故答案为:-2 16.【答案】 【解析】 = =﹣ .

【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点 : (1)若幂

?? ? R ? 是偶函数,则 ? 必为偶数.当 ? 是分数时,一般将其先化为根式,再判断;(2)若幂函 ? 数 y ? x ?? ? R ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,则 ? ? 0 ,若在 ? 0, ?? ? 上单调递减,则 ? ? 0 ;(3)在比较幂值
函数 y ? x
?

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的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 1 17.【答案】 {1,6,10,12} .

【解析】解:要使 fA(x)fB(x)=﹣1, 必有 x∈{x|x∈A 且 x?B}∪{x|x∈B 且 x?A} ={6,10}∪{1,12}={1,6,10,12,}, 所以 A△B={1,6,10,12}. 故答案为{1,6,10,12}. 【点评】本题是新定义题,考查了交、并、补集的混合运算,解答的关键是对新定义的理解,是基础题.   18.【答案】1 【解析】 【分析】利用两直线平行的条件,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求得实数 a 的值. 【解答】解:直线 ax﹣2y+2=0 与直线 x+(a﹣3)y+1=0 平行, ∴ 故答案为 1. ,解得 a=1.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)Sn=2n2﹣19n+1=2 ∴n=5 时,Sn 取得最小值=﹣44. (2)由 Sn=2n2﹣19n+1, ∴n=1 时,a1=2﹣19+1=﹣16. n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2(n﹣1)2﹣19(n﹣1)+1]=4n﹣21. 由 an≤0,解得 n≤5.n≥6 时,an>0. ∴n≤5 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣(a1+a2+…+an)=﹣Sn=﹣2n2+19n﹣1. n≥6 时,Tn=﹣(a1+a2+…+a5)+a6+…+an =﹣2S5+Sn =2n2﹣19n+89. ∴Tn= . ﹣ ,

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题,考查了分 类讨论方法推理能力与计算能力,属于中档题.

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  20.【答案】(1)证明见解析;(2)弦长为定值,直线方程为 x ? 1 . 【解析】

(2)根据两点间距离公式、点到直线距离公式及勾股定理可求得弦长为 ?4(1 ? a ) x1 ? 8a ? 4a

2

,进而得

a ? 1 时为定值.
试题解析:(1)设直线 AB 的方程为 my ? x ? 2 ,由 ? 得 y ? 4my ? 8 ? 0 ,∴ y1 y2 ? ?8 ,
2

?my ? x ? 2,
2 ? y ? 4 x,

因此有 y1 y2 ? ?8 为定值.111]

x1 ? 2 y1 , ) , AC ? ( x1 ? 2) 2 ? y12 , 2 2 1 1 1 ( x1 ? 2) 2 ? y12 ? x12 ? 4 , E 点到直线 x ? a 的距离 因此以 AC 为直径圆的半径 r ? AC ? 2 2 2 x1 ? 2 d ?| ? a |, 2 x ?2 1 2 2 2 ( x1 ? 4) ? ( 1 ? a ) 2 ? x12 ? 4 ? ( x1 ? 2 ? 2a ) 2 所以所截弦长为 2 r ? d ? 2 4 2
(2)设存在直线: x ? a 满足条件,则 AC 的中点 E (

? ?4(1 ? a ) x1 ? 8a ? 4a 2 .
当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,弦长为定值 2,这时直线方程为 x ? 1 . 考点:1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质;2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 21.【答案】 【解析】(1)函数的定义域为 (0,??) ,因为 f ( x) ?

1 2 ax ? 2 x ? ln x ,当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? ln x ,则 2

1 1 1 .令 f ' ( x) ? 2 ? ? 0 ,得 x ? .…………2 分 x x 2 所以 x, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表: 1 1 1 x (0, ) ( ,??) 2 2 2 f ' ( x) 0 - + f ' ( x) ? 2 ?

f ( x)



极小值



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所以当 x ?

1 1 时, f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 1 ? ln 2 ,函数无极大值.………………5 分 2 2

22.【答案】(1) f ( x) 在 ( ??, ? ) , ( , ??) 上单调递增,在 ( ? , 0) , (0, ) 上单调递减;(2)

1 e

1 e

1 e

1 e

1 [ , ??) . 2
【解析】

试题解析:(1)由条件可得 f '(1) ? e ?
2

1 ? e 2 ? 1 ,∴ a ? 1 , a

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1 e2 x 2 ? 1 1 2 ,可得 f '( x) ? e ? 2 ? , x x2 x ?e 2 x 2 ? 1 ? 0, 1 1 由 f '( x) ? 0 ,可得 ? 解得 x ? 或 x ? ? ; e e ? x ? 0,
由 f ( x) ? e x ?
2

?e 2 x 2 ? 1 ? 0, 1 1 由 f '( x) ? 0 ,可得 ? 解得 ? ? x ? 0 或 0 ? x ? . e e ? x ? 0, 1 1 1 1 所以 f ( x) 在 ( ??, ? ) , ( , ??) 上单调递增,在 ( ? , 0) , (0, ) 上单调递减. e e e e (2)令 g (t ) ? t ln t ,当 s ? (0, ??) , t ? (1, e] 时, f ( s ) ? 0 , g (t ) ? t ln t ? 0 , t ln t 由 kf ( s ) ? t ln t ,可得 k ? 在 x ? (0, ??) , t ? (1, e] 时恒成立, f (s) ? t ln t ? ? g (t ) ? 即k ? ? ?? ? ? ,故只需求出 f ( s ) 的最小值和 g (t ) 的最大值. ? f ( s ) ? max ? f ( s ) ? max
由(1)可知, f ( s ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增,

1 e

1 e

1 e 由 g (t ) ? t ln t 可得 g '(t ) ? ln t ? 1 ? 0 在区间 (1, e] 上恒成立,
故 f ( s ) 的最小值为 f ( ) ? 2e , 所以 g (t ) 在 (1, e] 上的最大值为 g (e) ? e ln e ? e , 所以只需 k ?

e 1 ? , 2e 2 1 2

所以实数的取值范围是 [ , ??) . 考点:1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率;2、不等式恒成立问题. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导 数的几何意义,属于难题.利用导数研究函数 f ? x ? 的单调性进一步求函数最值的步骤:①确定函数 f ? x ? 的 定义域;②对 f ? x ? 求导;③令 f ? ? x ? ? 0 ,解不等式得的范围就是递增区间;令 f ? ? x ? ? 0 ,解不等式得的 范围就是递减区间;④根据单调性求函数 f ? x ? 的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小). 23.【答案】 【解析】解:(1)

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根据散点图可知,x 与 y 是负相关. (2)根据提供的数据,先求数据(ω1,y1),(ω2,y2),(ω3,y3),(ω4,y4),(ω5,y5)的回归直线 方程,y=cω+d,

= ^=y-^ω=38-(-2.17)×11=61.87. a c

-811 374

≈-2.17,

∴数据(ωi,yi)(i=1,2,3,4,5)的回归直线方程为 y=-2.17ω+61.87,
i, 又 ωi=x2

∴y 关于 x 的回归方程为 y=-2.17x2+61.87. (3)当 y=0 时,x= 61.87= 6187≈5.3.估计最多用 5.3 千克水. 2.17 217 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)用茎叶图表示如下:

(Ⅱ) = = =

= =80,



[(74﹣80)2+(76﹣80)2+(78﹣80)2+(82﹣80)2+(90﹣80)2]=32, [(70﹣80)2+(75﹣80)2+(80﹣80)2+(85﹣80)2+(90﹣80)2]=50,

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=





∴在平均数一样的条件下,甲的水平更为稳定,应该派甲去.  

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