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建邺区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

建邺区第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题 姓名__________ 分数__________

4 2 1. 已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a , a ? 3a ,且 a ? N * , x ? A, y ? B 使 B 中元素 y ? 3x ? 1 和 A 中的元素

?

?

x 对应,则 a, k 的值分别为( A. 2, 3 B. 3, 4 C. 3, 5

) D. 2, 5 ,且 z=2x+y 的最大值是最小值的 2 倍,则实数 a 的值是( )

2. 已知实数 x,y 满足有不等式组 A.2 B. C. D.

3. 设 x∈R,则 x>2 的一个必要不充分条件是( A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3 4. 设集合 A ?



?? x, y ? | x, y,1? x ? y 是三角形的三边长 ? ,则 A 所表示的平面区域是(



A. A.0 B. C.

B.
2

C.

D. )

5. 已知直线 y=ax+1 经过抛物线 y =4x 的焦点,则该直线的倾斜角为( D.

6. 设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式 A.(﹣2,0)∪(2,+∞) ∪(0,2) 7. 设函数 f(x)= A.(﹣3,1)∪(3,+∞) ﹣3)∪(1,3) 则不等式 f(x)>f(1)的解集是( B.(﹣3,1)∪(2,+∞) )

>0 的解集为(



B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D. 0) (﹣2,

C.(﹣1,1)∪(3,+∞)

D.(﹣∞,

8. 已知命题 p:“?∈[1,e],a>lnx”,命题 q:“?x∈R,x2﹣4x+a=0””若“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围 是( )

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A.(1,4] B.(0,1] C.[﹣1,1] D.(4,+∞) 9. 某校为了了解 1500 名学生对学校食堂的意见,从中抽取 1 个容量为 50 的样本,采用系统抽样法,则分段 间隔为( A. 10 )1111] B. 15 C. 20 D. 30 )

10.在空间中,下列命题正确的是(

A.如果直线 m∥平面 α,直线 n?α 内,那么 m∥n B.如果平面 α 内的两条直线都平行于平面 β,那么平面 α∥平面 β C.如果平面 α 外的一条直线 m 垂直于平面 α 内的两条相交直线,那么 m⊥α D.如果平面 α⊥平面 β,任取直线 m?α,那么必有 m⊥β
2 11.已知集合 A ? {x x ? 3 x ? 2 ? 0, x ? R} , B ? {x 0 ? x ? 5, x ? N} ,则满足条件 A ? C ? B 的集合 C 的

个数为 A、 B、 2 C、 3
2

D、 4 )

12.若命题 p:?x0∈R,sinx0=1;命题 q:?x∈R,x +1<0,则下列结论正确的是( A.¬p 为假命题 B.¬q 为假命题 C.p∨q 为假命题 D.p∧q 真命题

二、填空题
13.已知函数 f(x)=x2+ x﹣b+ (a,b 为正实数)只有一个零点,则 + 的最小值为 .

14. 将曲线 C1: y ? 2sin(? x ? 最小值为_________. 15.已知点 M(x,y)满足 是 .
2

?
4

), ? ? 0 向右平移

? 个单位后得到曲线 C2 , 若 C1 与 C2 关于 x 轴对称, 则? 的 6

,当 a>0,b>0 时,若 ax+by 的最大值为 12,则 + 的最小值

16.方程 4 ? x ? k ? x ? 2 ? ? 3 有两个不等实根,则的取值范围是
2 2 17.已知 x , y 为实数,代数式 1 ? ( y ? 2) ? 9 ? (3 ? x ) ?

. .

x 2 ? y 2 的最小值是


【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识,意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 18.若双曲线的方程为 4x2﹣9y2=36,则其实轴长为

三、解答题
19.若函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值.

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20.设函数 f(x)=x+ax2+blnx,曲线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的切线斜率为 2 (1)求 a,b 的值; (2)设函数 g(x)=f(x)﹣2x+2,求 g(x)在其定义域上的最值.

21.已知圆 C:(x﹣1) +y =9 内有一点 P(2,2),过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A,B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,求直线 l 的方程.

2

2

22.(本小题满分 12 分) 某校高二奥赛班 N 名学生的物理测评成绩(满分 120 分)分布直方图如下,已知分数在 100-110 的学生 数有 21 人. (1)求总人数 N 和分数在 110-115 分的人数; (2)现准备从分数在 110-115 的名学生(女生占

1 )中任选 3 人,求其中恰好含有一名女生的概率; 3

(3)为了分析某个学生的学习状态,对其下一阶段的学生提供指导性建议,对他前 7 次考试的数学成绩 (满分 150 分),物理成绩 y 进行分析,下面是该生 7 次考试的成绩.

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数学 物理

88 94

83 91

117 108

92 96

108 104

100 101

112 106

已知该生的物理成绩 y 与数学成绩是线性相关的,若该生的数学成绩达到 130 分,请你估计他的物理 成绩大约是多少? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) …… (un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的最小二乘估计分 别为: ? ?
^

? (u ? u)(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u)
i ?1 i

n

,a ? v? ? u.

^

^

2

23. 在某大学自主招生考试中, 所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科 目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示,其中“数 学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

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(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的 平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A.在至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽 取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

24.在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 tanA= (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)若三角形△ ABC 的面积为 ,求角 C.

,c=



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建邺区第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】
4 4 ? ? ?a ? 3 ? 3 ? 1 ?a ? 3 ? k ? 1 试题分析: 分析题意可知: 对应法则为 y ? 3x ? 1 , 则应有 ? 2 (1) 或? 2 (2) , ? ? ? a ? 3a ? 3 ? k ? 1 ?a ? 3a ? 3 ? 3 ? 1 ?a ? 2 * 由于 a ? N ,所以(1)式无解,解(2)式得: ? 。故选 D。 ?k ? 5

考点:映射。 2. 【答案】B

【解析】解:由约束条件

作出可行域如图,

联立 联立

,得 A(a,a), ,得 B(1,1),

化目标函数 z=2x+y 为 y=﹣2x+z, 由图可知 zmax=2×1+1=3,zmin=2a+a=3a, 由 6a=3,得 a= . 故选:B. 【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 3. 【答案】A 【解析】解:当 x>2 时,x>1 成立,即 x>1 是 x>2 的必要不充分条件是, x<1 是 x>2 的既不充分也不必要条件,

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x>3 是 x>2 的充分条件, x<3 是 x>2 的既不充分也不必要条件, 故选:A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 4. 【答案】A 【解析】

考 点:二元一次不等式所表示的平面区域. 5. 【答案】D
2 2 【解析】解:抛物线 y =4x 的焦点(1,0),直线 y=ax+1 经过抛物线 y =4x 的焦点,可得 0=a+1,解得 a=﹣1,

直线的斜率为﹣1, 该直线的倾斜角为: 故选:D. 【点评】本题考查直线的倾斜角以及直线的斜率的关系,抛物线的简单性质的应用,考查计算能力. 6. 【答案】B 【解析】解:∵f(x)是偶函数 ∴f(﹣x)=f(x) 不等式 也就是 xf(x)>0 ①当 x>0 时,有 f(x)>0 ∵f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0 ∴f(x)>0 即 f(x)>f(2),得 0<x<2; ②当 x<0 时,有 f(x)<0 ∵﹣x>0,f(x)=f(﹣x)<f(2), ,即 .

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∴﹣x>2?x<﹣2 综上所述,原不等式的解集为:(﹣∞,﹣2)∪(0,2) 故选 B 7. 【答案】A 【解析】解:f(1)=3,当不等式 f(x)>f(1)即:f(x)>3 如果 x<0 则 x+6>3 可得 x>﹣3,可得﹣3<x<0.
2 如果 x≥0 有 x ﹣4x+6>3 可得 x>3 或

0≤x<1

综上不等式的解集:(﹣3,1)∪(3,+∞) 故选 A. 8. 【答案】A 【解析】解:若命题 p:“?∈[1,e],a>lnx,为真命题, 则 a>lne=1, 若命题 q:“?x∈R,x ﹣4x+a=0”为真命题, 则△=16﹣4a≥0,解得 a≤4, 若命题“p∧q”为真命题, 则 p,q 都是真命题, 则 ,
2

解得:1<a≤4. 故实数 a 的取值范围为(1,4]. 故选:A. 【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用条件先求出命题 p,q 的等价条件是解决本题的 关键. 9. 【答案】 D 【解析】 试题分析:分段间隔为 考点:系统抽样 10.【答案】 C 【解析】解:对于 A,直线 m∥平面 α,直线 n?α 内,则 m 与 n 可能平行,可能异面,故不正确; 对于 B,如果平面 α 内的两条相交直线都平行于平面 β,那么平面 α∥平面 β,故不正确;

1500 ? 50 ,故选 D. 30

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对于 C,根据线面垂直的判定定理可得正确; 对于 D,如果平面 α⊥平面 β,任取直线 m?α,那么可能 m⊥β,也可能 m 和 β 斜交,; 故选:C. 【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用,考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的 位置关系,同时考查了推理能力,属于中档题. 11.【答案】D 【解析】 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, x ? R} ? {1, 2} , B ? ?x | 0 ? x ? 5, x ? N? ? ?1,2,3,4? . ∵ A ? C ? B ,∴ C 可以为 ?1, 2? , ?1, 2,3? , ?1, 2, 4? , ?1,2,3,4? . 12.【答案】A 【解析】解: ∴?x0∈R,sinx0=1; ∴命题 p 是真命题;
2 2 由 x +1<0 得 x <﹣1,显然不成立;

时,sinx0=1;

∴命题 q 是假命题; ∴¬p 为假命题,¬q 为真命题,p∨q 为真命题,p∧q 为假命题; ∴A 正确. 故选 A.
2 【点评】考查对正弦函数的图象的掌握,弧度数是个实数,对?∈R 满足 x ≥0,命题¬p,p∨q,p∧q 的真假和

命题 p,q 真假的关系.

二、填空题
13.【答案】 9+4 .

2 【解析】解:∵函数 f(x)=x +

x﹣b+ 只有一个零点,

∴△=a﹣4(﹣b+ )=0,∴a+4b=1, ∵a,b 为正实数, ∴ + =( + )(a+4b)=9+ ≥9+2 当且仅当 = =9+4 ,即 a= b 时取等号, +

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∴ + 的最小值为:9+4 故答案为:9+4 【点评】本题考查基本不等式,得出 a+4b=1 是解决问题的关键,属基础题. 14.【答案】 6 【解析】解析:曲线 C2 的解析式为 y ? 2sin[? ( x ?

) ? ] ? 2sin(? x ? ? ? ) ,由 C1 与 C2 关于 x 轴对 6 4 4 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 称知 sin(? x ? ? ? ) ? ? sin(? x ? ) , 即 ?1 ?c o s ( )? s i n (? ?x ) ?s i n ( ? )c o s ( ? ) 0 ? x ? ? 对一切 4 6 4 6 ? 4 6 4 ?

?

?

?

?

? ? 1 ? cos( ? ) ? 0 ? ? ? 6 x ? R 恒成立,∴ ? ∴ ? ? (2k ? 1)? ,∴ ? ? 6(2k ? 1), k ? Z ,由 ? ? 0 得 ? 的最小值为 6. 6 ?sin( ? ? ) ? 0 ? 6 ?
15.【答案】 4 . 【解析】解:画出满足条件的平面区域,如图示:





,解得:A(3,4),

显然直线 z=ax+by 过 A(3,4)时 z 取到最大值 12, 此时:3a+4b=12,即 + =1, ∴ + =( + )( + )=2+ 当且仅当 3a=4b 时“=”成立, 故答案为:4. + ≥2+2 =4,

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【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了利用基本不等式求最值,解答此题的关键是对“1”的灵活运用, 是基础题. 16.【答案】 ? 【解析】 如图所示, 函数 y ? 4 ? x 2 的图象是一个半圆, 4 ? x 2 和 y ? k ? x ? 2? ? 3 的图象, 3? 0 3 ? ,当直线 直线 y ? k ? x ? 2? ? 3 的图象恒过定点 ? 2,3? ,结合图象,可知,当过点 ? ?2,0 ? 时, k ? 2?2 4 k (0 ? 2) ? 3 ? 0 5 ? 5 3? ? 2 ,解得 k ? ,所以实数的取值范围是 ? , ? .111] y ? k ? x ? 2? ? 3 与圆相切时,即 12 ? 12 4 ? 1? k 2 试题分析: 作出函数 y ?

? 5 3? , ? ? 12 4 ?

考点:直线与圆的位置关系的应用. 【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的 斜率公式, 以及函数的图像的应用等知识点的综合考查, 着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答 问题的能力,属于中档试题,本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键. 17.【答案】 41 . 【 解 析 】

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18.【答案】 6 .
2 2 【解析】解:双曲线的方程为 4x ﹣9y =36,即为:



=1,

可得 a=3, 则双曲线的实轴长为 2a=6. 故答案为:6. 【点评】本题考查双曲线的实轴长,注意将双曲线方程化为标准方程,考查运算能力,属于基础题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:由题意可得: ∵当 a>1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增,
2 ∴f(2)﹣f(1)=a ﹣a= a,解得 a=0(舍去),或 a= .

∵当 0<a<1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递减,
2 ∴f(1)﹣f(2)=a﹣a =

,解得 a=0(舍去),或 a= .

故 a 的值为 或 .

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【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 20.【答案】
2 【解析】解:(1)f(x)=x+ax +blnx 的导数 f′(x)=1+2a+ (x>0),

由题意可得 f(1)=1+a=0,f′(1)=1+2a+b=2, 得 ; ,

2 f x) =x﹣x2+3lnx, g =f g( = ﹣2x﹣1=﹣ ′ x) (2) 证明: ( (x) (x) ﹣2x+2=3lnx﹣x ﹣x+2 (x>0) ,

x g′(x) g(x)

(0,1) + ↗

1 0 极大值

(1,+∞) ﹣ ↘

∴g(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减, 可得 g(x)max=g(1)=﹣1﹣1+2=0,无最小值. 21.【答案】 【解析】 【分析】(1)求出圆的圆心,代入直线方程,求出直线的斜率,即可求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,求出直线的斜率,即可写出直线 l 的方程; 2 2 【解答】解:(1)已知圆 C:(x﹣1) +y =9 的圆心为 C(1,0),因为直线 l 过点 P,C,所以直线 l 的斜 率为 2,所以直线 l 的方程为 y=2(x﹣1),即 2x﹣y﹣2=0. (2)当弦 AB 被点 P 平分时,l⊥PC,直线 l 的方程为 ,即 x+2y﹣6=0.

22.【答案】(1) ? ? 60 , n ? 6 ;(2) P ? 【解析】

8 ;(3) 115 . 15

试 题解析:

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(1)分数在 100-110 内的学生的频率为 P 1 ? (0.04 ? 0.03) ? 5 ? 0.35 ,所以该班总人数为 N ?

21 ? 60 , 0.35

分数在 110-115 内的学生的频率为 P 2 ? 1 ? (0.01 ? 0.04 ? 0.05 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.01) ? 5 ? 0.1,分数在 110-115 内的人数 n ? 60 ? 0.1 ? 6 . (2)由题意分数在 110-115 内有 6 名学生,其中女生有 2 名,设男生为 A1 , A2 , A3 , A4 ,女生为 B1 , B2 ,从 6 名学生中选出 3 人的基本事件为: ( A 1, B 1) , ( A 2, A 3 ) , ( A2 , A4 ) , 1, A 2) , (A 1, A 3) , (A 1, A 4) ,(A 1 , B2 ) , ( A

( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , A4 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( A4 , B1 ) , ( A4 , B2 ) , ( B1, B2 ) 共 15 个.
其中恰 好含有一名女生的基本事件为 ( A1 , B1 ) ,( A ( A2 , B1 ) ,( A3 , B1 ) ,( A3 , B2 ) ,( A4 , B1 ) , 1 , B2 ) ,( A2 , B2 ) ,

( A4 , B2 ) ,共 8 个,所以所求的概率为 P ?
(3) x ? 100 ?

?12 ? 17 ? 17 ? 8 ? 8 ? 12 ? 100 ; 7 ?6 ? 9 ? 8 ? 4 ? 4 ? 1 ? 6 y ? 100 ? ? 100 ; 7 由于与 y 之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到 ^ ^ 497 b? ? 0.5 , a ? 100 ? 0.5 ? 100 ? 50 , 994 ∴线性回归方程为 y ? 0.5x ? 50 ,
∴当 x ? 130 时, y ? 115 .1 考点:1.古典概型;2.频率分布直方图;3.线性回归方程. 【易错点睛】本题主要考查古典概型,频率分布直方图,线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程, 关键在于正确求出系数 a, b ,一定要将题目中所给数据与公式中的 a, b, c 相对应,再进一步求解.在求解过程中, 由于 a, b 的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数 为 b , 常数项为这与一次函数的习惯表示不同. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10÷0.25=40 人, 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为: 40×(1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025)=40×0.075=3 人; (Ⅱ)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为: ×=2.9; (Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A,

8 . 15

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所以还有 2 人只有一个科目得分为 A, 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学, 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为: Ω ={{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}},一共有 6 个基本事件. 设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个, 则 P(B)= .

【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由题意知,tanA= 则 = ,

,即有 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC,

所以 sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB, 由正弦定理,a=b,则 =1;… (Ⅱ)因为三角形△ABC 的面积为
2 所以 S= absinC= a sinC=

,a=b、c=



,则 =

,① ,② )=1,sin(C+ = , )= ,

由余弦定理得, 由①②得,cosC+ 又 0<C<π,则 解得 C= 于中档题. ….

sinC=1,则 2sin(C+ C+ < ,即 C+

【点评】本题考查正弦定理,三角形的面积公式,以及商的关系、两角和的正弦公式等,注意内角的范围,属

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