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2016-2017学年高中数学 第三章 三角恒等变形 3.2.3 两角和与差的正切函数课件 北师大版必修4_图文

2.3 两角和与差的正切函数

学习目标

思维脉络

1.掌握两角和与差的正切公

式.

2.掌握两角和与差的正切公式 的变形.

3.能利用两角和与差的正切公

式及其变形解决求值、化简与

证明问题.

两角和与差的正切公式 (1)Tα+β:tan(α+β)=1ta-ntan +ttaann ; (2)Tα-β:tan(α-β)=1t+antan-tatnan.

做一做 1

已知 α∈

π 2



,sin α=35,则 tan

+ π
4

等于(

)

A.1 B.7 C.-1 D.-7

7

7

解析:∵α∈

π 2



且 sin α=35,

∴cos α=-4,tan α=-3.

5

4

∴tan + π
4

=

1+tan 1-tan

=

1-34 1+34

=

1.
7

答案:A

做一做 2 化简:1+tan = .

1-tan

解析:11+-ttaann

=

tan4 5°+tan 1-tan45 °tan



=tan(θ+45°).

答案:tan(θ+45°)

思考辨析

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画

“×”.

(1)要使公式 tan(α±β)=1ta?ntan±ttaann有意义,只需 α,β≠kπ+π2(k∈Z)即可.

()

(2)在△ABC 中,若 tan A=1,tan B=1,则 C=45°或 135°. ( )

(3)若

α,β

满足

tan

α+tan

2

3

β=√3(1-tan

αtan

β),则

α+β=kπ+π(k∈Z).

3

()

(4)若 α,β,α+β≠kπ+π,k∈Z,则 tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β)
2

恒成立. ( )

答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√

探究一

探究二

探究三

易错辨析

探究一两角和与差的正切公式的直接应用

【例 1】 (1)在△ABC 中,已知 tan A,tan B 是方程 3x2+8x-1=0 的两个

根,则 tan C 等于( )

A.2

B.-2 C.4

D.-4

(2)(2016 山东德州高二期末)如果 tan(α+β)=3,tan - π = 1,则

4

4

2

tan + π 的值为( )

4

A.10 B. 2 C.2 D.2

11 11 5

解析:(1)由已知得 tan A+tan B=-8,tan Atan B=-1,∴tan

3

3

8

C=-tan(A+B)=-tan +tan
1-tan tan

=

3
1+13

=2.

(2)tan

+ π
4

=tan ( + )-

-

π 4

=

tan (+)-tan -π4 1+tan (+)tan -π4

=

34-12

1+34×

1 2

=

121.

答案:(1)A (2)B

探究一

探究二

探究三

易错辨析

探究一

探究二

探究三

易错辨析

变式训练 1 (1)已知 tan 1°=a,则 tan 44°等于( )

A.1-a B.1+a

C.1+
1-

D. 1-
1+

(2)已知 tan + π = 1,tan(α+β)=5,则 tan - π =

.

64

7

6

解析:(2)tan - π =tan ( + )- + π

6

6

57-14 1+57×14

=

1333.

答案:(1)D (2)13

33

=

tan ( +)-tan 1+tan ( +)tan

+π6 +π6

=

探究一

探究二

探究三

易错辨析

探究二两角和与差的正切公式的逆用与变形用
【例 2】 (1)求值:1√+3√-3tatann1155°°; (2)求值:tan 70°-tan 10°-√3tan 70°tan 10°; (3)在非直角三角形 ABC 中,求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 思路分析:(1)将√3视为 tan 60°后再逆用两角差的正切公式; (2)注意到 70°-10°=60°,且 tan 60°=√3,因此,可用两角差的正切 公式的变形; (3)将等式左边任意两项结合利用两角和的正切公式变形,结合 A+B+C=π,利用诱导公式证明.

探究一

探究二

探究三

易错辨析

(1)解:1√+3√-3tatann1155°°

=

tan60 °-tan15 ° 1+tan60 °tan15 °

=tan(60°-15°)=tan 45°=1.

(2)解:由于 tan(70°-10°)=1t+atna7n07°0 °-tatann1100°° = √3, 因此 tan 70°-tan 10°=√3 + √3tan 70°tan 10°,

于是 tan 70°-tan 10°-√3tan 70°tan 10°

=√3 + √3tan 70°tan 10°-√3tan 70°tan 10°=√3.

(3)证明:由

tan(A+B)=1ta-tnan+ttaann

可得


tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B),

又 A+B+C=π,所以 A+B=π-C,

从而 tan(A+B)=-tan C,

于是 tan A+tan B+tan C=-tan C(1-tan Atan B)+tan C

=-tan C+tan Atan Btan C+tan C=tan Atan Btan C,

故原式成立.

探究一

探究二

探究三

易错辨析

探究一

探究二

探究三

易错辨析

变式训练 2 (1)若 tan 28°·tan 32°=m,则 tan 28°+tan

32°=( )

A.√3m

B.√3(1-m)

C.√3(m-1)

D.√3(m+1)

(2)(2016 辽宁沈阳高二检测)已知 α+β=π4,则(1+tan α)(1+tan β)的值

是( )

A.-1 B.1 C.2 D.4 解析:(1)tan 28°+tan 32°=tan(28°+32°)·(1-tan 28°tan

32°)=√3(1-m).

(2)∵tan(α+β)=1ta-ntan +ttaann



=tanπ4=1,

∴tan α+tan β=1-tan αtan β,

∴(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+1-tan αtan β+tan

αtan β=2. 答案:(1)B (2)C

探究一

探究二

探究三

易错辨析

探究三给值求角问题

【例 3】 已知 tan(α-β)=12,tan β=-17,且 α,β∈(0,π),求 2α-β. 思路分析:先由 α=(α-β)+β 求出 tan α 的值,再由 2α-β=(α-β)+α 求出

2α-β 的正切值,讨论 2α-β 的范围后即可确定 2α-β 的值.

解:∵tan

α=tan[(α-β)+β]=tan (-)+tan
1-tan (-)tan

=

12-17 1-12× -17

= 1,而 α∈(0,π),∴α
3



0,

π 2

.

又 tan β=-17,β∈(0,π),∴β∈

π 2



,

∴α-β∈(-π,0).

而 tan(α-β)=1>0,∴α-β∈ -π,- π ,

2

2

∴2α-β=(α-β)+α∈(-π,0).



tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]= tan (-)+tan
1-tan (-)tan

=

112-+12×1313=1,∴2α-β=-34π.

探究一

探究二

探究三

易错辨析

探究一

探究二

探究三

易错辨析

变式训练 3 (2016 福建福州高三检测)设 α,β∈ 0, π ,且 tan α=1,tan

2

7

β=43,则 α-β 等于(

)

A.π3 B.π4 C.34π D.-π4

解析:∵tan α=1,tan β=4,

7

3

∴tan(α-β)= tan -tan =
1+tan tan

1+1717-43×43=-1.

∵∴αα,-ββ∈=-π40.故, π2选,∴Dα.-β∈

-

π 2

,

π 2

.

答案:D

探究一

探究二

探究三

易错辨析

因忽视题目中的隐含条件而致误

典例已知 tan α,tan β 是方程 x2+3√3x+4=0 的两根,若 α,β∈

-π , π
22

,

则 α+β 等于多少?

错解:因为 tan α,tan β 是方程 x2+3√3x+4=0 的两根,所以 tan α+tan

β=-3√3,tan αtan β=4,

所以

tan(α+β)=1ta-ntan +ttaann



=

-3√3 1-4

=

√3.

又 α,β∈ - π , π ,所以-π<α+β<π,
22
所以 α+β=π3或-23π.

正解:同错解可得,tan(α+β)=√3.

由 tan α+tan β=-3√3,且 tan αtan β=4,

可知 tan α<0,tan β<0.

又 α,β∈

-

π 2

,

π 2

,所以 α,β∈

-

π 2

,0

,

所以 α+β∈(-π,0),所以 α+β=-2π.

3

探究一

探究二

探究三

易错辨析

12345

1.已知 1- α =2+√3,则 tan + α 等于( )

1+ α

4

A.2+√3 B.1

C.2-√3 D.√3 解析:tan + α
4
答案:C

= 1+ α = 1 =2-√3.
1- α 2+√3

12345

2.在△ABC中,C>90°,则tan A·tan B与1的关系适合 ( )

A.tan A·tan B>1

B.tan A·tan B<1

C.tan A·tan B=1

D.不能确定

解析:因为C>90°,所以A+B<90°.

所以tan(A+B)>0,tan A+tan B>0.

所以1-tan Atan B>0,

所以tan Atan B<1.

答案:B

12345

3.(2016湖南湘潭高中联考)化简tan 10°tan 20°+tan 20°·tan 60°+tan

60°tan 10°的值等于( )

A.1

B.2

C.tan 10°

D.√3tan 20°

解析:因为tan 60°(tan 10°+tan 20°)

= √3 [tan(10°+20°)(1-tan 10°tan 20°)] =1-tan 10°tan 20°,将它代入原式即可.

答案:A

12345

4解.化析简:原:1式t+an√=31π2t1a-t+√nan3t1aπ21nπ=21-π2tatnanπ3π3=tan

.

π 12

-

π 3

=tan

-

π 4

=-1.

答案:-1


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