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广东省广州市2014届高三毕业班综合测试(一)数学(文)


第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数 f ? x ? ? ln ? x ?1? 的定义域为( A. ? ??, ?1? B. ? ??,1? ) C. ? ?1, ?? ? D. ?1, ?? ?

2.已知 i 是虚数单位,若 ? m ? i ? ? 3 ? 4i ,则实数 m 的值为(
2

) D. 2

A. ?2

B. ?2

C. ? 2

3.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 C ? 2 B ,则 A. 2 sin C B. 2 cos B C. 2 sin B D. 2 cos C

c 为( b



1

4.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为(
2 2



A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2 2 C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

5.已知 x ? ?1 ,则函数 y ? x ? A. ?1 B. 0

1 的最小值为( x ?1
C. 1

) D. 2

6.函数 f ? x ? ?

x 的图象大致是( x ?1
2



【解析】

2

7. 已知非空集合 M 和 N ,规定 M ? N ? x x ? M 且x ? N ,那么 M ? ? M ? N ? 等于 ( A. M )

?

?

N

B. M

N

C. M

D. N

8.任取实数 a 、 b ?? ?1,1? ,则 a 、 b 满足 a ? 2b ? 2 的概率为( A.



1 8

B.

1 4

C.

3 4

D.

7 8

3

?BEF ,因此 S?DGH ? S?BEF ?

S ? S ABCD ? 2S?BEF

1 ,故阴影部分的面积等于 4 1 7 ? 22 ? 2 ? ? ,由几何概 4 2

9.设 a 、 b 是两个非零向量,则使 a ? b ? a ? b 成立的一个必要非充分的条件是( A. a ? b B. a // b C. a ? ? b ? ? ? 0? D. a ? b



10.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , an ?1 ? a1 ? sin 则 S2014 ? ( A. 1006 ) B. 1007 C. 1008

? n ? 1? ? ,记
2

Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,

D. 1009

4

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, ,每小题 5 分,满分 20 分)
(一)必做题(11~13 题) 11.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 k ? 3 ,则输出 S 的值为 .

5

12.一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图 2 所示,则这个四棱锥的体积是

.

13.由空间向量 a ? ?1, 2,3? , b ? ?1, ?1,1? 构成的向量集合 A ? x x ? a ? kb, k ? Z ,则向 量 x 的模 x 的最小值为 .

?

?

6

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 ? ?sin ? ? cos? ? ? a 与曲线

? ? 2cos ? ? 4sin ? 相交于 A 、 B 两点,若 AB ? 2 3 ,则实数 a 的值为

.

15.(几何证明选讲选做题)如图 3, PC 是圆 O 的切线,切点为点 C ,直线 PA 与圆 O 交 于 A 、 B 两点, ?APC 的角平分线交弦 CA 、CB 于 D 、 E 两点,已知 PC ? 3 , PB ? 2 ,

7



PE 的值为 PD

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,满分 80 分.解答写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
16.(本小题满分 12 分)已知某种同型号的 6 瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期. (1)从 6 瓶饮料中任意抽取 1 瓶,求抽到没过保质期的饮料的概率; (2)从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,求抽到已过保质期的饮料的概率.

【解析】

8

17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的最小正周期与单调递增区间.

? ? ? ,0? . ? 3 ?

【解析】

9

18. (本小题满分 14 分) 如图 4, 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 点 E 是棱 D1D 1B 1C1D 1 中, 的中点,点 F 在棱 B1B 上,且满足 B1F ? 2BF . (1)求证: EF ? AC 1 1; (2)在棱 C1C 上确定一点 G ,使 A 、 E 、 G 、 F 四点共面,并求此时 C1G 的长; (3)求几何体 ABFED 的体积.

10

且 BB1 ? 平面 A1B1C1D1 ,? AC 1 1 ? BB 1,

11

(3)如下图所示,连接 AC 交 BD 于点 O ,

12

19.(本小题满分 14 分)已知等差数列 ?an ? 的首项为 10 ,公差为 2 ,数列 ?bn ? 满足

bn ?

n an ? 6 n , n ? N ? . 2

(1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn ? max ?an , bn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . (注: max ?a, b? 表示 a 与 b 的最大值.)

13

【解析】

14

20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? 3 . (1)求函数 f ? x ? 的极值; (2)定义:若函数 h ? x ? 在区间 ? s, t ? ? s ? t ? 上的取值范围为 ? s, t ? ,则称区间 ? s, t ? 为函数

h ? x ? 的“域同区间”.试问函数 f ? x ? 在 ?3, ??? 上是否存在“域同区间”?若存在,求出
所有符合条件的“域同区间” ;若不存在,请说明理由.

函数 f ? x ? 在 x ? 3 处取得极小值,即 f ? x ?极小值 ? f ? 3? ? 33 ? 6 ? 32 ? 9 ? 3 ? 3 ? ?3 ;

15

21.(本小题满分 14 分)已知双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左、右焦点 a2 4

分别为 F 1 、 F2 ,离心率为 满足 PF2 ? QF2 ? 0 . (1)求实数 a 的值;

a2 3 5 ,点 P 是直线 x ? 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且 3 5

(2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)若点 P 的纵坐标为 1 ,过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同的两点 M 、 N ,在线 段 MN 上去异于点 M 、 N 的点 H ,满足

PM PN

?

MH HN

,证明点 H 恒在一条定直线上.

【解析】

16

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20

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