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【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题五 第3讲


专题五 第3讲

第3讲
【高考考情解读】

圆锥曲线中的热点问题

纵观近几年高考,解析几何是重要内容之一,所占分值在 30
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分以上,大题小题同时有,除了本身知识的综合,还会与其它 知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题,多年高考压轴 题是解析几何题. 1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质,三种圆锥曲线都有 可能涉及. 2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题,难度较 高, 还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、 探索题、证明题,重点关注定点、定值及最值、范围问题.

主干知识梳理

专题五 第3讲

1.直线与圆锥曲线的位置关系
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(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个 一元二次方程.若 Δ>0,则直线与椭圆相交;若 Δ=0,则 直线与椭圆相切;若 Δ<0,则直线与椭圆相离.

主干知识梳理
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法:

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将直线方程与双曲线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元 方程 ax2+bx+c=0(或 ay2+by+c=0).
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①若 a≠0,当 Δ>0 时,直线与双曲线相交;当 Δ=0 时,直线 与双曲线相切;当 Δ<0 时,直线与双曲线相离. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点. (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法: 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元 方程 ax2+bx+c=0(或 ay2+by+c=0). ①当 a≠0 时,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点.

主干知识梳理
2.有关弦长问题

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有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系, “设而不求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义 的运用,以简化运算.
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(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2, 1 2 y2),则所得弦长 P1P2= 1+k |x2-x1|或 P1P2= 1+ 2|y2 k -y1|, 其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关系, 即作如下变形: |x2-x1|= ?x1+x2?2-4x1x2, |y2-y1|= ?y1+y2?2-4y1y2. (2)当斜率 k 不存在时, 可求出交点坐标, 直接运算(利用两 点间距离公式).

主干知识梳理
3.弦的中点问题

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有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求 法”来简化运算. 4.轨迹方程问题
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(1)求轨迹方程的基本步骤: ①建立适当的平面直角坐标系,设出轨迹上任一点的坐标 ——解析法(坐标法). ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系. ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化. ④化简整理方程——简化. ⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性.

主干知识梳理
(2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:将几何关系直接翻译成代数方程;

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②定义法: 满足的条件恰适合某已知曲线的定义, 用待定系数
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法求方程; ③代入法:把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系; ④交轨法: 写出两条动直线的方程直接消参, 求得两条动直线 交点的轨迹; (3) 注意①建系要符合最优化原则;②求轨迹与“求轨迹方 程”不同,轨迹通常指的是图形,而轨迹方程则是代数表达 式.步骤②⑤省略后,验证时常用途径:化简是否同解变形, 是否满足题意,验证特殊点是否成立等.

热点分类突破

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考点一 例1
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曲线方程的求法及其简单应用

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知

圆 B:(x-1)2+y2=16 与点 A(-1,0),P 为 圆 B 上的动点, 线段 PA 的垂直平分线交直 线 PB 于点 R,点 R 的轨迹记为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)曲线 C 与 x 轴正半轴交点记为 Q,过原点 O 且不与 x 轴 重合的直线与曲线 C 的交点记为 M,N,连结 QM,QN, 分别交直线 x=t(t 为常数,且 t≠2)于点 E,F,设 E,F 的 纵坐标分别为 y1,y2,求 y1· y2 的值(用 t 表示).

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(1)连结 RA,由题意得 RA=RP,RP+RB=4,

所以 RA+RB=4>AB=2,
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x2 y2 由椭圆定义,得点 R 的轨迹方程为 4 + 3 =1.
(2)设 M(x0,y0),则 N(-x0,-y0), QM,QN 的斜率分别为 kQM,kQN,

y0 y0 则 kQM= ,kNQ= , x0-2 x0+2 y0 所以直线 QM 的方程为 y= (x-2), x0-2 y0 直线 QN 的方程为 y= (x-2). x0+2

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y0 y0 令 x=t(t≠2),则 y1= (t-2),y2= (t-2), x0 - 2 x0+2
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x2 y2 3 2 2 又点 M(x0,y0)在椭圆 4 + 3 =1 上,所以 y0=3-4x0.
y2 0 所以 y1· y2= 2 (t-2)2= x0-4
? 3 2? ?3- x0??t-2?2 4 ? ?

x2 0-4

3 =-4(t-2)2,其中 t 为常数且 t≠2.

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(1)求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若 能预先知道轨迹为圆锥曲线, 则可考虑用定义法或待定系数法
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求解. (2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时,可以 用相关点法,利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面: 一是准确定位,即确定联动点, 动点的轨迹可能与多个动点相 关,但要抓住与其一起联动的点;二是找准关系,即根据已知 准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系, 然后代入联动点 所在曲线方程求解.

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→ 设 F(1,0),点 M 在 x 轴上,点 P 在 y 轴上,且MN= → → → 2MP,PM⊥PF. (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹 C 的方程; → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线 C 上的点,且|AF|, 本 → → 讲 |BF|, |DF|成等差数列, 当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)
栏 目 时,求 B 点坐标. 开 关

→ → 解 (1)设 N(x,y),则由MN=2MP,得 P 为 MN 的中点, y 所以 M(-x,0),P(0, ). 2 y → → → → → 又PM⊥PF得PM· PF=0,PM=(-x,- ), 2 y → PF=(1,- ),所以 y2=4x(x≠0). 2

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(2)由(1)知 F(1,0)为曲线 C 的焦点,由抛物线定义知,抛物线 上任一点 P0(x0,y0)到 F 的距离等于其到准线的距离, p 即 P0F=x0+ , 2 p → p → p → 所以|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,|DF|=x3+2, → → → 根据|AF|,|BF|,|DF|成等差数列,得 x1+x3=2x2, y3-y1 y3-y1 4 直线 AD 的斜率为 = 2 2= , x3-x1 y3 y1 y1+y3 - 4 4 y1+y3 所以 AD 中垂线方程为 y=- (x-3), 4 x1+x3 y1+y3 x1+x3 又 AD 中点( , )在直线上,代入上式得 =1, 2 2 2 即 x2=1,所以点 B(1,± 2).

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考点二 例2

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圆锥曲线中的定值、定点问题 x2 y2 1 已知椭圆 C: 2+ 2=1 经过点(0, 3),离心率为 ,直 a b 2

线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、
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B 在直线 x=4 上的射影依次为 D、K、E. (1)求椭圆 C 的方程; → → → → (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且MA=λAF,MB=μBF,当直 线 l 的倾斜角变化时,探求 λ+μ 的值是否为定值?若是, 求出 λ+μ 的值;否则,说明理由; (3)连结 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并 给予证明;否则,说明理由.

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(1)待定系数法;(2)用直线的斜率为参数建立直线 方程,代入椭圆方程消 y 后可得点 A,B 的横坐标的关系式, → → → → 然后根据向量关系式MA=λAF,MB=μBF把 λ,μ 用点 A,B 的横坐标表示出来,只要证明 λ+μ 的值与直线的斜率 k 无关 即证明了其为定值,否则就不是定值;(3)先根据直线 l 的斜率 不存在时的特殊情况,看两条直线 AE,BD 的交点坐标,如 果直线 AE,BD 相交于定点的话,这个特殊位置时的交点就 是这个定点,这样只要证明直线 AE,BD 都经过这个定点即 证明了两直线相交于定点,否则两直线就不相交于定点.

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c 1 解 (1)依题意得 b= 3,e=a= ,a2=b2+c2, 2 x2 y2 ∴a=2,c=1,∴椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. (2)因直线 l 与 y 轴相交,故斜率存在,设直线 l 方程为
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y=k(x-1),求得 l 与 y 轴交于 M(0,-k), 又 F 坐标为(1,0),设 l 交椭圆于 A(x1,y1),B(x2,y2), y=k?x-1?, ? ? 2 2 由?x y + =1, ? ?4 3 消去 y 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 4k2-12 8k2 ∴x1+x2= 2,x1x2= 2, 3+4k 3+4k

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→ → 又由MA=λAF,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1),

x1 x2 ∴λ= ,同理 μ= , 1-x1 1-x2
本 x1+x2-2x1x2 x1 x2 + = 讲 ∴λ+μ= 1-x1 1-x2 1-?x1+x2?+x1x2 栏 目 开 2?4k2-12? 8k2 关 2- 2

3+4k 3+4k 8 = =-3. 2 2 4 k - 12 8k 1- + 3+4k2 3+4k2

8 所以当直线 l 的倾斜角变化时,直线 λ+μ 的值为定值- . 3

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(3)当直线 l 斜率不存在时,直线 l⊥x 轴,

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则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相交于 FK 的中点 ?5 ? N?2,0?, ? ?
本 猜想,当直线 l 的倾斜角变化时, 讲 ?5 ? 栏 ? ? 目 AE 与 BD 相交于定点 N?2,0?, 开 关 证明:由(2)知 A(x ,y ),B(x ,y ), 1 1 2 2

∴D(4,y1),E(4,y2),当直线 l 的倾斜角变化时,首先证直线 ?5 ? AE 过定点?2,0?, ? ? y2-y1 ∵lAE:y-y2= (x-4), 4-x1

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y2-y1 ? 3? 5 ?- ? 当 x= 时,y=y2+ · 2 4-x1 ? 2? 2?4-x1?· y2-3?y2-y1? = 2?4-x1?
本 2?4-x1?· k?x2-1?-3k?x2-x1? 讲 = 2?4-x1? 栏 目 -8k-2kx1x2+5k?x1+x2? 开 关 =

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2?4-x1?

-8k?3+4k2?-2k?4k2-12?+5k· 8k2 = =0. 2 2?4-x1?· ?3+4k ? ∴点
?5 ? N?2,0?在直线 lAE 上. ? ?

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同理可证,点
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?5 ? N?2,0?也在直线 lBD 上. ? ? ?5 ? 相交于定点?2,0?. ? ?

∴当直线 l 的倾斜角变化时, 直线 AE 与 BD

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(1) 定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问 题,基本思想是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的问
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题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式: y-y0 =k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜 截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).

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(2013· 陕西)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截 得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不
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同的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明:直线 l 过定点.

(1)解 如图,设动圆圆心为 O1(x,y), 由题意,得 O1A=O1M, 当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点, ∴O1M= x2+42,

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又 O1A= ?x-4?2+y2, ∴ ?x-4?2+y2= x2+42, 化简得 y2=8x(x≠0).
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又当 O1 在 y 轴上时, O1 与 O 重合, 点 O1 的坐标为(0,0)也满足 方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x. (2)证明 由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2), 将 y=kx+b 代入 y2=8x 中, 得 k2x2+(2bk-8)x+b2=0.

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其中 Δ=-32kb+64>0. 8-2bk 由根与系数的关系得,x1+x2= k2 , b2 x1x2=k2 ,
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① ②

y1 y2 因为x轴是∠PBQ的角平分线,所以 =- , x1+1 x2+1 即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0 将①,②代入③得 2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, ∴k=-b,此时 Δ>0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0). ③

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考点三 例3 圆锥曲线中的最值范围问题

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(2013· 浙江)如图,点 P(0,-1)是椭 x2 y2 圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点,C1 a b 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于 另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

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? ?b=1, (1)由题意得? ? ?a=2.

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x2 2 所以椭圆 C1 的方程为 4 +y =1.
本 讲 由题意知直线l 的斜率存在,不妨设其为k, 1 栏 目 开 则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 关 2 2

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).

又圆 C2:x +y =4,

1 故点 O 到直线 l1 的距离 d= 2 , k +1 所以 AB=2 4-d2=2 4k2+3 . k2+1

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又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0.
? ?x+ky+k=0, 由? 2 2 ? ?x +4y =4.

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消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 8k 故 x0=- . 4+k2 8 k2+1 所以 PD= 2 . 4+k
1 设△ABD 的面积为 S,则 S= · AB· PD 2 8 4k2+3 = , 4+k2

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所以 S= ≤ 13 4k2+3+ 2 2 4k +3 32 32

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13 4k +3· 2 4k +3
2

16 13 本 = 13 ,
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10 当且仅当 k=± 2 时取等号.
10 所以所求直线 l1 的方程为 y=± 2 x-1.

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求最值及参数范围的方法有两种: ①根据题目给出
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的已知条件列出一个关于参数的函数关系式, 将其代入由题目 列出的不等式(即为消元),然后求解不等式;②由题目条件和 结论建立目标函数,进而转化为求函数的值域.

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已知椭圆 C1 与抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上且 C1 的中心和 C2 的顶点均为坐标原点 O,从每条曲线上的各取两 个点,其坐标如下表所示:
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x

1

- 6 0

4 -6

3 1

y -3

(1)求 C1,C2 的标准方程; π (2)过点 A(m,0)作倾斜角为 的直线 l 交椭圆 C1 于 C,D 两点, 6 且椭圆 C1 的左焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆的外部,求 m 的取值范围.

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(1)先判断出(- 6, 0)在椭圆上, 进而断定点(1, -3)和(4,

-6)在抛物线上,
故( 3,1)在椭圆上,
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x2 y2 所以椭圆 C1 的方程为 6 + 2 =1,抛物线 C2 的方程为 y2=9x. 3 (2)设C(x1,y1),D(x2,y2),直线l的方程为y= 3 (x-m),
? 3 ?y= 3 ?x-m? 由? 2 2 ?x +y =1, ?6 2 消去 y 整理得 2x2-2mx+m2-6=0, 由 Δ>0 得 Δ=4m2-8(m2-6)>0,

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即-2 3<m<2 3,

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m2-6 而 x1x2= ,x1+x2=m, 2 3 3 故 y1y2= (x1-m)· (x2-m) 本 3 3
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2 m -6 1 2 = [ x1x2-m(x1+x2)+m ] = . 3 6

欲使左焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆的外部, → → 则FC· FD>0, → → 又 F(-2,0),即FC· FD=(x1+2,y1)· (x2+2,y2) =x1x2+2(x1+x2)+y1y2+4>0.

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专题五 第3讲

整理得 m(m+3)>0,
本 讲 栏 目 开 关

即 m<-3 或 m>0. 由①②可得 m 的取值范围是(-2 3,-3)∪(0,2 3).



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专题五 第3讲

1.求轨迹与轨迹方程的注意事项 (1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动
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点 P 的运动规律,即 P 点满足的等量关系,因此要学会动 中求静,变中求不变. (2)求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检 验是否增解 ( 即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹 上 ),又要检验是否丢解 (即轨迹上的某些点未能用所求的 方程表示). 检验方法: 研究运动中的特殊情形或极端情形.

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2.定点、定值问题的处理方法

专题五 第3讲

定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题,处理时可以 直接推理求出定值,也可以先通过特定位置猜测结论后进 行一般性证明.对于客观题,通过特殊值法探求定点、定
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值能达到事半功倍的效果. 3.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意 义,则考虑利用图形性质来解决; (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关 系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,在 利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考 虑:

热点分类突破

专题五 第3讲

①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心
本 讲 栏 目 开 关

是在两个参数之间建立等量关系; ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式, 从而求出参数的取 值范围; ④利用基本不等式求出参数的取值范围; ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.

押题精练

专题五 第3讲

x2 y2 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其左、右焦点分 a b 2
本 别是 F1、 F2, 过点 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 E、 G 两点, 且△EGF2 讲 栏 的周长为 4 2. 目 开 (1)求椭圆 C 的方程; 关

(2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A、B,设 P 为椭 → → → → → 圆上一点,且满足OA+OB=tOP(O 为坐标原点),当|PA-PB| 2 5 < 时,求实数 t 的取值范围. 3

押题精练
c 2 解 (1)由题意知椭圆的离心率 e=a= , 2 2 2 2 a - b c 1 2 ∴e = 2= 2 = ,即 a2=2b2. a a 2 又△EGF2 的周长为 4 2,即 4a=4 2,
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专题五 第3讲

∴a2=2,b2=1. x2 2 ∴椭圆 C 的方程为 2 +y =1. (2)由题意知直线 AB 的斜率存在,即 t≠0.
设直线AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), y=k?x-2? ? ? 2 由?x , 2 +y =1 ? ?2

押题精练
得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.

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1 由Δ=64k -4(2k +1)(8k -2)>0,得k < . 2 8k2-2 8k2 x1+x2= ,x x = , 1+2k2 1 2 1+2k2 → → → ∵OA+OB=tOP, x1+x2 y1+y2 8k2 ∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),x= = 2 ,y= t t t?1+2k ? -4k 1 = [ k(x1+x2)-4k] = . t t?1+2k2?
4 2 2 2

∵点P在椭圆C上,
?-4k?2 ?8k2?2 ∴ +2 =2, [t?1+2k2?]2 [t?1+2k2?]2

押题精练
∴16k2=t2(1+2k2).
2 5 → → 2 5 2 ∵|PA-PB|< 3 ,∴ 1+k |x1-x2|< 3 ,
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20 ∴(1+k )[(x1+x2) -4x1x2] < 9 ,
2 2 2 4 8 k -2 20 64 k 2 ∴(1+k )[ -4· ]< , ?1+2k2?2 1+2k2 9

∴(4k2-1)(14k2+13)>0, 1 ∴k >4. 1 2 1 ∴4<k <2.
2

2 16 k 8 2 2 2 2 ∵16k =t (1+2k ),∴t = =8- , 1+2k2 1+2k2

押题精练

专题五 第3讲

3 8 2 8 2 又 <1+2k <2,∴ <t =8- 2<4, 2 3 1+2k
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2 6 2 6 ∴-2<t<- 3 或 3 <t<2, 2 6 2 6 ∴实数 t 的取值范围为(-2,- )∪( ,2). 3 3


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