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空间向量应用——二面角


空间向量的应 用

——用法向量求二面角
本溪市第二高级中学 高 亮

教学设计
? 一、教材分析 ? 二、学情分析

? 三、教学目标
? 四、重点难点 ? 五、学法教法 ? 六、教学过程

教材分析
向量知识的引入是高中数学教材改革的一
个亮点。而二面角是空间几何中的重要知识点, 是高考命题的热点,也是三种空间角中比较难 求的一个。在新课程教材(选修2-1第三章)中, 只介绍了用法向量法求二面角或其补角大小,

但并没具体介绍如何判断二面角与法向量夹角
之间或相等或互补的关系。本节课是一节解题

方法的小结课,重点突破解决如何判断二面角
大小的问题。

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学情分析
学生已学过求平面法向量的方法,二面角

的定义,也了解用向量法求二面角的基本步骤。
本节课是一节解题方法的小结课,力求解决通

过判断法向量方向准确求得二面角大小。在解
题方法步骤上学生应容易接受,但在理解法向 量夹角和二面角大小关系以及判断法向量方向 上学生有一定难度,因此在难点突破上利用课 件直观演示,以帮助同学们理解和掌握。

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教学目标
1、知识目标:掌握利用向量法求解空间角原理和基 本步骤,进一步了解向量法的优势,细节问题以及 结论性的处理方法。 2、能力目标:培养学生观察、分析与推理、从特殊 到一般的探究能力和空间想象能力;提高类比、归 纳,总结的能力。 3、情感目标:在平等的教学氛围中,通过学生之间、 师生之间的交流、合作和评价,实现共同探究、教 学相长的教学情境,培养学生主动获取知识的学习 意识,激发学生学习兴趣和热情,获得积极的情感 体验.

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重点难点
教学重点:解决“利用法向量求二面角的 大小的答角”问题。 教学难点:通过法向量的坐标来判断法向 量与二面角的“进出”关系,进一步判断 二面角大小与两个面的法向量的夹角的关 系。

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学法教法
学法:采取自主探索、类比猜想、合作交 流等形式 教法:整堂课围绕“学生主体,教师主导” 的教学原则,采取类比引导、计算机辅助 教学、反馈评价等方式。

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教学过程——复习回顾
二面角: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角。表示法:二面角 ? ? l ? ? ;

二面角的平面角: 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的范围:[0, ? ] 这与空间向量夹角的取值范围相同
?

l
?
?

复习回顾
利用法向量求二面角的原理:

? ? 设 n1 , n2 分别为平面 ? , ? 的法向量,二面角 ? ? l ? ? 的 ? ? 大小为 ? ,向量 n1 , n2 的夹角为 ? ,则有? ? ? ? ?(图1) 或 ? ? ? (图2)。

教学过程——复习回顾
? ? 向量 n1 , n2 的夹角为? ,二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? , 和 ? 相等还是互补? ?
?
?
?

? n2
?

? n1

? n1

?

?

? n2

“同进同出为补角,一进一出为夹 角”

? 看图思考:对于以下两个向量, a =(-2,-2,? 2), b =(1,1,1), 当起点落在空间直角
坐标系的原点时,终点分别在第几卦限?
若A(1,0,0),B(0,1,0),C (0,0,1),由图形易知:上述两个 向量是平面ABC的法向量,请问这两个 向量对二面角O-AB-C来说:是“进”还 是“出”?(利用几何画板制作旋转动 画) 方法总结:先看x坐标和y坐标,确定 向量在平面xOy上的指向,最后看z坐 标的正负,确定向量具体指向。

(如图)在长方体中,AB=2,BC=4,=2,点Q是BC的中点,求此时二面 角A-A1D-Q的大小。

补充提问:当点Q位于B1C1的 中点时,求二面角A-A1D-Q的 大小。

有没有一种方法能让我们在设法 向量的时候就能控制一个平面的 法向量,达到我们想要的“向上 或向下,“向后或前”,“向左 或右”,最终达到那种理想的 “一进一出”的效果呢?

原理:如图,平面ABC的法向

? 量为 n ,若要法向量的方向
? “向上”,可设 ( x, y,1) n?

? 或 n ? ( x, y, z0 ) ,其中 z0 ? 0 ;

若要法向量的方向“向前”, ? ? n n 可设 ? (1, y, z ) 或? ( x0 , y, z) , 其中 x0 ? 0 ;若要法向量的方 ? n? 向“向右”,可设 ( x,1, z )
? n ? ( x, y0 , z ) 或

y0 ? ,其中0



在正方体 ABCD? A1B1C1D1 中,求二面角 A1 ? BC ? D1 的大小。

如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD中,
1 AD // BC, ?ABC ? 90?, SA ? 面ABCD,SA ? 。 2
1 AB ? BC ? 1, AD ? 2

,求侧面SCD与面SBA所成的二面

角的大小。

? (1)取角口诀:一进一出取夹角,同进同 出取补角 ? (2)已知空间向量坐标,判断向量指向 ? (3)设平面法向量的方法:设“1”取 “正”;

1.梳理知识点,整理课堂笔记 2.书面作业:P111 练习B2 P115习题A7 3.选做题:如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有 的棱长都为2,D为 CC1 中点. 求证:(1) AB1 ? 平面A1BD ; (2)二面角 A ? A1B ? C1 的大小.

敬请各位专家、老 师批评指正,谢谢!

说课教师:高亮


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