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导数概念和几何(含例题和有答案的习题)


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课次教学计划(教案)

课题

导数及其应用(一) 知识目标 (1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系” , 解决了平均变化率的几何意义后, 明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的 形成寻求解决问题的途径。 (2) 借助两个类比的动画,从圆中割线和切线的变化联系,推广到一般曲线中用 割线逼近的方法直观定义切线。 (3) 依据割线与切线的变化联系,数形结合探究函数
f ?( x 0 )

f (x)



x ? x0

处的导数 处的

的几何意义,使学生认识到导数

f ?( x 0 )

就是函数

f (x)

的图象在

x ? x0

切线的斜率。即:
f
/

?x0 ? ?

?x? 0

lim

f ?x0 ? ? x ? ? f ( x0 ) ?x

=曲线在

x ? x0

处切线的斜率

教学目标

能力目标 通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题, 加深对导数 内涵的理解。在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想 方法。

态度目标 (1)通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想,使学生了解近似与精确间的辨 证关系;通过有限来认识无限,体验数学中转化思想的意义和价值; (2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会,如:探究活动,让学生自 主探究新知,例题则采用练在讲之前,讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜 能,促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法,获得广泛的 数学活动经验,提高综合能力,学会学习,进一步在意志力、自信心、理性精神 等情感与态度方面得到良好的发展。

1

http://www.ms2004.com 教学重点、难点 (1)理解和掌握切线的新定义、 导数的几何意义及应用于解决实际问题, 体会数形 结合、以直代曲的思想方法。 (2) 发现、理解及应用导数的几何意义。

考点及教学思路 (1) 学生通过观察感知、动手探究,培养学生的动手和感知发现的能力。
教学策略

(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识,再类比探索一般曲线的情况,完善 对切线的认知,感受逼近的思想,体会相切是种局部性质的本质,有助于数学思 维能力的提高。 (3) 结合分层的探究问题和分层练习,期望各种层次的学生都可以凭借自己的能 力尽力走在教师的前面,独立解决问题和发现新知、应用新知。

教学方法:讲授法和练习法 教学准备:课堂例题和练习的准备

一、 教学温故:
名称 公式 备注 1、联系斜率公式进行理解 2、已知一定点 P0(x0,y0)和斜率 k; 1、 联系点斜式进行理解; 2、 此时是已知一定点 P(0,b)和斜 率 k; 3、 b 表示直线在 y 轴上的截距 1、 两点式要求 x1≠x2 且 y1≠y2; 2、 当 x1=x2 且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴; 3、 当 x1≠x2 且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴。 截距式 x/a+y/b=1 1、 联系两点式进行理解; 2、 点 P1(a,0) 2(0,b)分别为直 ,P 线与坐标轴的交点坐标; 1、 联系二元一次方程组的相关知识点 理解; 2、 熟练掌握 A、B、C 对直线位置的影 响作用。

点斜式

y-y0=k(x-x0)

斜截式

y=kx+b

y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1 两点式

一般式

Ax+By+C=0(A、B 不同时为零)

2

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二. 新知导航
导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数

导 数

导数的运算 导数的运算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值

导数的概念

1.导数的定义:对函数 y=f(x),在点 x=x0 处给自变量 x 以增量△x,函数 y 相应有增量△ y=f(x0+△x)-f(x0),若极限
?x? 0

lim

?y ?x

? lim

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x

?x? 0

存在,则此极限称为 f(x)在点 x=x0 处的导

数,记为 f ’(x0),或



导数的几何意义:

函数 y

? f (x)

在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y
f ( x ))

? f (x)

在点 ( x 0 ,

f ( x ))

处的切线的斜率,也就是说,曲线
'

y ? f (x)

在点 P ( x 0 ,

处的切线的斜率是

f (x0 )

'

,切线方程为 y ?

y 0 ? f ( x )( x ? x 0 ).

一些基本初等函数的导数表 (1) ( c ) ? 0 ;
'

(2) ? x? ? ? ? ? x
x ' x

? ?1

? 1 ? ? ? ? 0 ? ;与此有关的如下: ? ? ? ? x ?
x ' x

?

? x ?? ?
?1

?

1 x
2

,

?

? ? 1 x ? ? ? x2 ? ? ; 2 x ? ?

?

1

?

(3) ( e ) ? e ; (5) (ln x ) ?
'
'

(4) ( a ) ? a (ln a )( a ? 0 , a ? 1) ; (6) (lo g x ) ?
'
'

1 x

( x ? 0) ;

1 x ln a

( a ? 0 , a ? 1, x ? 0 ) ;

(7) ( s in x ) ? c o s x ; 导数的运算法则:

(8) (c o s x ) ? ? s in x ;

3

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(1) ( c f ( x ) ) ? c f ( x ) ;
' '

(2) [ f ( x ) ? g ( x )] ? ? f ? ( x ) ? g ? ( x ) ; (3) ( f ( x ) g ( x ) ) ? f ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ( x ) ;
' ' '

(4) (

1 f (x)

) ? ?
'

f (x) f (x)
2

'

( f (x) ? 0) ;

(5) (

f (x) g (x)

) ?
'

f (x)g (x) ? f (x)g (x)
' '

( f ( x ))

2

( f (x) ? 0) ;

(6)若 y ? f ( u ), u ? a x ? b , 则 f ( x ) ? f ( u ) ? a 。
' '

三、经典范例:

(一)求曲线的切线方程四种常见的类型及解法: (重点)
(求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点 P ( x 0, y 0 ) 及斜率,其求 法为:设 P ( x 0, y 0 ) 是曲线 y
y ? f (x) ? f (x)

上的一点,则以 P 的切点的切线方程为: y

? y 0 ? f ? ( x 0 )( x ? x 0 )

.若曲线 . )

在点 P ( x 0, f ( x 0 )) 的切线平行于 y 轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为 x

? x0

类型一:已知切点,求曲线的切线方程
此类题较为简单,只须求出曲线的导数 例 1 曲线 y A. y C. y
? x ? 3x ? 1
3 2

f ?( x )

,并代入点斜式方程即可. )

在点 (1, 1) 处的切线方程为( ?
? ?3x ? 2 ? 4x ? 5 ? f ? (1) ? ? 3

? 3x ? 4 ? ?4 x ? 3
f ?( x ) ? 3 x ? 6 x
2

B. y D. y

解:由
y ? ?3x ? 2

则在点 (1, 1) 处斜率 k ?

,故所求的切线方程为 y

? ( ? 1) ? ? 3 ( x ? 1) ,即

,因而选B.

类型二:已知斜率,求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决. 例 2 与直线 2 x A. 2 x C. 2 x
? y ? 4 ? 0

的平行的抛物线 y B. 2 x ? D. 2 x
y ?3? 0

? x

2

的切线方程是(



? y ?3? 0 ? y ?1? 0

? y ?1? 0
? 2 x0 ? 2

解:设 P ( x 0, y 0 ) 为切点,则切点的斜率为 y ? |x ? x
∴ x0 ? 1 .



0

由此得到切点 (1, .故切线方程为 y 1)

? 1 ? 2 ( x ? 1)

,即 2 x

? y ?1? 0

,故选D.
? 2x ? b

评注:此题所给的曲线是抛物线,故也可利用 ? 法加以解决,即设切线方程为 y

,代入 y

? x

2



4

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得 x2
? 2x ? b ? 0

,又因为 ?

? 0

,得 b

? ?1

,故选D.

类型三:已知过曲线上一点,求切线方程
过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法. 例 3 求过曲线 y
? x ? 2x
3

上的点 (1, 1) 的切线方程. ?
? 3 x0 ? 2
2

解:设想 P ( x 0, y 0 ) 为切点,则切线的斜率为 y ? |x ? x
∴ 切线方程为 y ? y 0 ? (3 x 0 ? 2 )( x ? x 0 )
2



0



y ? ( x 0 ? 2 x 0 ) ? (3 x 0 ? 2 )( x ? x 0 )
3 2


( x 0 ? 2 x 0 ) ? (3 x 0 ? 2 )(1 ? x 0 )
3 2

又知切线过点 (1, 1) ,把它代入上述方程,得 ? 1 ? ? 解得 x 0
? 1 ,或 x 0 ? ?



1 2

. ,或
1? ? 1 ? ? 3 ?? y ? ? ? ? 1? ? ? ? 2 ? ? x ? ? 2? ? 8 ? ? 4 ??

故所求切线方程为
5 x ? 4 y ? 1?

y ? (1 ? 2 ) ? (3 ? 2 )( x ? 1)

,即

x ? y ? 2 ? 0

,或

. 0
4y ?1? 0

评注:可以发现直线 5 x ?

并不以 (1, 1) 为切点,实际上是经过了点 (1, 1) 且以 ? ? ? ?
?

?

1 7 ? , ? 2 8 ?

为切点的

直线.这说明过曲线上一点的切线,该点未必是切点,解决此类问题可用待定切点法.

类型四:已知过曲线外一点,求切线方程
此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解. 例 4 求过点 ( 2, ) 且与曲线 y 0
? 1 x

相切的直线方程.
? ?
0

解:设 P ( x 0, y 0 ) 为切点,则切线的斜率为 y ? |x ? x
∴ 切线方程为 y ? y 0 ? ?
1 x0
2

1 x0
2

. . .

( x ? x0 )

,即 y

?

1 x0

? ? 1

1 x0
2

( x ? x0 ) 1 x0
2

又已知切线过点 ( 2, ) ,把它代入上述方程,得 ? 0 解得 x 0
? 1, y 0 ? 1 x0 ?1

? ?

x0

(2 ? x0 )

,即 x ?

y ? 2 ? 0



评注:点 ( 2, ) 实际上是曲线外的一点,但在解答过程中却无需判断它的确切位置,充分反映出待定切点 0 法的高效性. 例 5 已知函数 y 解:曲线方程为 y 设切点为 M
? x ? 3x
3

,过点 A ( 0,6 ) 作曲线 y 1

? f (x)

的切线,求此切线方程.

? x ? 3x
3

,点 A ( 0,6 ) 不在曲线上. 1

( x 0, y 0 )


? x0 ? 3 x0
3

则点 M 的坐标满足 y 0 因
f ? ( x 0 ) ? 3 ( x 0 ? 1)
2





5

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故切线的方程为 y
? y 0 ? 3 ( x 0 ? 1)( x ? x 0 )
2


2

点 A ( 0,6 ) 在切线上,则有 1 6 ? 1 化简得 x 0 3
? ? 8 ,解得 x 0 ? ? 2

( x 0 ? 3 x 0 ) ? 3 ( x 0 ? 1)( 0 ? x 0 )
3




? y ? 16 ? 0

所以,切点为 M

( ? 2, 2 ) ?

,切线方程为 9 x



评注:此类题的解题思路是,先判断点 A 是否在曲线上,若点 A 在曲线上,化为类型一或类型三;若点 A 不在曲线上,应先设出切点并求出切点。

(二)判断分段函数的在段点处的导数
?1 2 ( x ? 1 )( x ? 1 ) ? ?2 已知函数 f ( x ) ? ? ,判断 f ( x ) 在 x ? 1 处是否可导? ? 1 ( x ? 1 )( x ? 1 ) ?2 ?



分析:对分段函数在“分界点”处的导数问题,要根据定义来判断是否可导.
1 ?y ?x 2

?(1 ? ? x )

2

?1 ? ?x

?

1 2

(1 ? 1 )
2

解: lim

?x? 0

? lim

?x? 0

?1

?x? 0

lim ?

?y ?x

? lim

1 ? 1 2 ? (1 ? ? x ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? ? 2 ? 2 ? ?x

?x? 0

?

1 2

∴ f ( x ) 在 x ? 1 处不可导.
f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

说明: 函数在某一点的导数, 是指一个极限值, lim 即

?x? 0

, ?x ? 0 ; 当 包括 ? x ? 0 ;

?

? x ? 0 ,判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果存在

?

且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数.

(三)证明函数的在一点处连续
例 证明:若函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导,则函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续.

分析:从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略,要证明 f ( x 0 ) 在点 x 0 处连续,必须证明
lim f ( x ) ? f ( x 0 ) .由于函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导,因此,根据函数在点 x 0 处可导的定义,逐步实现两个转

x ? x0

化,一个是趋向的转化,另一个是形式(变为导数定义形式)的转化. 解:证法一:设 x ? x 0 ? ? x ,则当 x ? x 0 时, ? x ? 0 ,

6

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x ? x0

lim

f ( x ) ? lim

x ? x0

f ( x0 ? ? x)

? lim

x ? x0

? f ( x0

? ? x) ? f ( x0 ) ? f ( x0 )?

? lim

? f ( x0 ? ? x) ? f ( x0 ) ? ? ? x ? f ( x0 ) ? x ? x0 ? ?x ? ?

? lim

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x

?x? 0

? lim ? x ? lim
?x? 0

?x? 0

f ( x0 )

? f ? ( x 0 ) ? 0 ? f ( x 0 ) ? f ( x 0 ).

∴函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续. 证法二:∵函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导, ∴在点 x 0 处有
lim [ f ( x ) ? f ( x 0 )] ? lim ? y
?x? 0

x ? x0

?y ? ?y ? ? lim ? ? ? x ? ? lim ? lim ? x x? 0 ? ?x ? ?x? 0 ? x ?x? 0
? f ?( x 0 ) ? 0 ? 0

∴ lim f ( x ) ? f ( x 0 ). ∴函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续.
x ? x0

说明:对于同一个问题,可以从不同角度去表述,关键是要透过现象看清问题的本质,正确运用转化思想来 解决问题.函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续,有极限以及导数存在这三者之间的关系是:导数存在 ? 连续 ? 有极 限.反之则不一定成立.证题过程中不能合理实现转化,而直接理解为 lim f ( x 0 ? ? x ) 是使论证推理出现失
?x? 0

误的障碍. 例 设函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导,试求下列各极限的值. 1. lim
f ( x0 ? ? x) ? f ( x0 ) ?x 1 x


5

?x? 0

2.已知曲线 y ? x ?

上一点 A ( 2 , ) ,用斜率定义求:
2

(1)点 A 的切线的斜率 (2)点 A 处的切线方程 四、课堂练习(2-3 页) 1.若 f ? ( x 0 ) ? 2 ,则 lim
f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 2k 1 2
k?0

等于( A )

A.-1 B.-2 C.-1 D.

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1.? f ? ( x 0 ) ? lim ∴ lim
? ? ? ? f ?x 0 ? ( ? k ) ? ? f ( x 0 ) ?k
k?0

, ? 2 (含 ? x ? ? k )

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) f ?( x 0 ? ( ? k ) ? ? f ( x 0 ) ?k 2k 1 2

k?0

1 2 1 2

lim

k?0

? ?

f ?( x 0 )

? 2 ? ? 1 . 故选 A.

2. lim

f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ? h ) 2h

h? 0

.

原式= lim

f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? h ) 2h

h? 0

?

f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ) ? 1 ? lim ? lim ? h? 0 ? h? 0 2 ? h ? h ? 1 2

?

? f ?( x 0 ) ?

f ? ( x 0 ) ? ? f ? ( x 0 ).

2 求下列各函数的导数(其中 a,b 为常数) (1) y ? 3 x ? x ? 5
2

解: y ? ? 6 x ? 1 解: y ? ?
2 2 x ? (? 1 x
2

(2) y ? 2 x ?

1 x

? 4

3

) ?

1 x

?

1 x
2

(3) y ?

x

2

?

2 x
2

解: y ? ?

1 2

(2 x) ? 2(?2) x

?3

? x?

4 x
3

2

(4) y ?

1? x x

3

解: y ?

1? x x

3

? x

?

1 2

5

y? ? (?

1 2

?

3 2

)x

?

5 2

3

x2

? x

2

(5) y ? ( x ? 1)(

1 x

? 1)

解: y 解: y

? (

x ? 1)(

1 x

? 1) ?

1 x

?

x

y? ? ?

1 2

?

3 2

x

?

1 2
1 2

?

1 2

x

? ? 2

1 x

(1 ?

1 x

)

3

1

(6) y ? ( x ? 1) 2 x (7) y ? ( x ? a )( x ? b ) 五、课外作业(2-3 页)

? ( x ? 1)

2x ?

2(x2 ? x2 )

y? ?

2(

3 2

1

x2 ?

1 2

?

x

) ?

1 2x

( 3 x ? 1)

解: y ? ( x ? a )( x ? b ) ? x ? ( a ? b ) x ? a b
2

y ? ? 2 x ? ( a ? b)

1.下列求导正确的是( B A. ( x ?
1 x
x x C. ( 3 ) ? ? 3 ? lo g 3 e


2

)? ? 1 ?

1 x
2

B. (log
2

x )? ?

1 x ln 2

D. ( x c o s x ) ? ? ? 2 x s in x D ) D. y ? x ? 2

2.曲线 y ? 4 x ? x 在点 ? ? 1, ? 3 ? 处的切线方程是(
3

A. y ? 7 x ? 4

B. y ? 7 x ? 2

C. y ? x ? 4
8

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3.曲线 y ? x ? 2 x ? 4 x ? 2 在点 ? 1, ? 3 ? 处的切线方程是_ 5 x ? y ? 2 ? 0 _____.
3 2

4.过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为( D )
2

A. 2 x ? y ? 2 ? 0
3

B. 3 x ? y ? 3 ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 1 ? 0

5 过曲线 y ? x ? 2 x 上一点 A ? 1, 3 ? 的切线方程是 5x-y-2=0 或 11x-4y+1=0. 6.过点 A ? 2 , ? 1 ? 作曲线 y ? x ? x ? 2 x 的切线,求切线的方程.
3 2

x+y-1=0 或 x+4y+2=0 或 31x-y-63=0 7.已知一直线 l 过点 A ? 0 ,1 ? 且与曲线 y ? x ? 2 x ? 1 相切,那么切点坐标为( C
3 2

)

A .( 0 , 1)

B .(1, 0 )

C .( 0 ,1) 或 (1, 0 )

C .( 0 ,1) 或 ( 2 ,1) D

8.设 f ( x ) ? ?

2 3

x ? x ? 4 x ,则过点(0,0)的曲线 y ? f ( x ) 的切线方程是 4 x ? y ? 0 或 3 5 x ? 8 y ? 0 .
3 2
3 2

9.已知一直线 l 经过原点且与曲线 y ? x ? 3 x ? 2 x 相切,试求直线 l 的方程。
y ? 2x 或 y ? ?

1 4

x.
x
2

y ?

? 3 ln x

1

10.已知曲线

4

的一条切线的斜率为 2 ,则切点的横坐标为( B
1



A. 2
y ? x

B. 3

C.

2

D.1

11.曲线

x ? 2 在点(-1,-1)处的切线方程为

(A ) D.y=-2x-2

A. y=2x+1
12.若 lim

B. y=2x-1

C.y=-2x-3

f ( x0 ? ? x) ? f ( x0 ) ?x

?x? 0

? k ,则 lim 1 2

f ( x0 ? 2 ? ? x) ? f ( x0 ) ?x

等于( )

?x? 0

A. 2 k

B. k

C.

k

D.以上都不是

分析:本题考查的是对导数定义的理解,根据导数定义直接求解即可 解:由于 lim
f ( x0 ? 2 ? ? x) ? f ( x0 ) ?x f ( x0 ? 2 ? ? x) ? f ( x0 ) 2 ??x 2 ? ?x ?2 ? 2 k ,应选 A
?x? 0

? lim

?x? 0

? 2 ? lim

f ( x0 ? 2 ? ? x) ? f ( x0 )

?x? 0

9

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13 求下列各函数的导数(其中 a,b,c,n 为常数) (1) y ? x ln x 解: y ? ? x ? ln x ? x (ln x ) ? ? ln x ? x ?
1 x 1 x ? ln x ? 1

(2) y ? x ln x 解: y ? ? ( x ) ? ln x ? x (ln x ) ? ? n x
n

n

n

n ?1

ln x ? x ?
n

? x

n ?1

( n ln x ? 1)

(3) y ? lo g a (4) y ?
x ?1 x ?1 5x 1? x
2

x

解: y ?

1 2

lo g a x

y? ?

1 2 x ln a
? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ( x ? 1)
2

解: y ? ?

( x ? 1) ?( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 1) ? ( x ? 1)
2

2

2

? ?

2 ( x ? 1)
2

(5) y ?

解: y ? ?

( 5 x ) ? (1 ? x ) ? ( 5 x ) (1 ? x ) ?
2

(1 ? x )
2

2

?

5 (1 ? x ) ? ( 5 x ) ( 2 x ) (1 ? x )
2 2

?

5 (1 ? x )
2

(1 ? x )
2

2

(6) y ? 3 x ?

2x 2? x

解: y ? ?

3?

( 2 x ) ?( 2 ? x ) ? ( 2 x )( 2 ? x ) ? (2 ? x)
2

? 3?

2 ( 2 ? x) ? ( 2 x)( ?1) (2 ? x)
2

? 3?

4 ( 2 ? x)
2

(7) y ? x s in x ? c o s x
x 1 ? cos x

解: y ? ? sin x ? x c o s x ? sin x ? x c o s x
(1 ? c o s x ) ? x (1 ? c o s x ) ? (1 ? c o s x )
2

(8) y ?

解: y ? ?

?

1 ? c o s x ? x s in x (1 ? c o s x )
2

14.用导数的定义求函数 y ? 1 ? 2 x 在点 x ? 1 处的导数。
2

解: f ? (1) ? lim

f ( x ) ? f (1) x ?1
2

x?1

? lim

1 ? 2 x ? ( ? 1)
2

x?1

x ?1

? lim

2 ? 2x x ?1

2

x?1

? ? 2 lim 1 ? x ? ? 4
x?1

14 求曲线 y ?

3

x 上点(1,1)处的切线方程与法线方程。
3

15 求曲线 y ?

x 上点(1,1)处的切线方程与法线方程。
2

解:切线斜率 k ? f ? (1) ?

2 3

?

1 3 x ?1

x

?

2 3



解:切线斜率 k ? f ? (1) ?

2 3

?

1 3 x ?1

x

?

2 3



法线斜率为 ?

3 2

所求切线方程为 y ? 1 ?

2 3

( x ? 1) ,即 2 x ? 3 y ? 1 ? 0

所求法线方程为 y ? 1 ? ?

3 2

( x ? 1) ,即 3 x ? 2 y ? 5 ? 0

10


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