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高一数学同步测试等差数列

高中学生学科素质训练

高一数学同步测试(12)— 等 差 数 列

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内。

1.若 a≠b,数列 a,x1,x 2 ,b 和数列 a,y1 ,y2 ,b 都是等差数列,则

x2 ? x1 ? y2 ? y1

()

A. 3 4

B. 2 3

C.1

D. 4 3

2.在等差数列 ?an ?中,公差 d =1, a4 ? a17 =8,则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 = ( )

A.40

B.45

C.50

D.55

3.等差数列?an ?的前三项为 x ?1, x ?1, 2x ? 3,则这个数列的通项公式为 ( )

A. an ? 2n ?1 B. an ? 2n ?1 C. an ? 2n ? 3 D. an ? 2n ? 5

4.在等差数列{an }中a10 ? 0, a11 ? 0,且a11 ?| a10 |,则在 Sn 中最大的负数为 ( )

A.S17

B.S18

C.S19

D.S20

5.已知等差数列的首项为 31,若此数列从第 16 项开始小于 1,则此数列的公差 d 的取值范

围是

()

A.(-∞,-2)

B.[- 15 , -2] 7

C.(-2, +∞)

D.(— 15 ,-2) 7

6.在等差数列{an } 中,若 S9 ? 18, Sn ? 240 , an?4 ? 30 ,则 n 的值为

()

A.18

B17.

C.16

D.15

7.等差数列{an } 中, a1 ? a2 ? ? ? a50 ? 200 , a51 ? a52 ? ? ? a100 ? 2700 ,则a1 等于( )

A.-20.5

B.-21.5

C.-1221

D.-20

8.已知某数列前 n 项之和 n3 为,且前 n 个偶数项的和为 n 2 (4n ? 3) ,则前 n 个奇数项的和



()

A. ? 3n2 (n ? 1) B. n2 (4n ? 3) C. ? 3n2

D. 1 n3 2

9.一个只有有限项的等差数列,它的前 5 项的和为 34,最后 5 项的和为 146 所有项的和为

234,则它的第七项等于

()

A.22

B .21

C.19

D.18

? ? 10 . 等 差 数 列 an 中 , an am?1 ? am2 ? am?1 ? 0 ≠ 0 ,若 m > 1 且 am?1 ? am2 ? am?1 ? 0 ,

S2m?1 ? 38 ,则m的值是

()

A. 10

B. 19

C.20

D.38

二、填空题:请把答案填在题中横线上。

11.已知{an } 是等差数列,且 a4 ? a7 ? a10 ? 57, a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a14 ? 77, 若ak ? 13,

则 k=

.

12.在△ABC 中,A,B,C 成等差数列,则 tan A ? tan C ? 3 tan A tan C ?

.

2

2

22

13.在等差数列{an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 ?

.

14. Sn 是等差数列{an } 的前 n 项和, a5 ? 2, an?4 ? 30 (n≥5, n ? N* ), Sn =336,则 n

的值是

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.己知{an }为等差数列, a1 ? 2, a2 ? 3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数
列的数构成一个新的等差数列,求: (1)原数列的第 12 项是新数列的第几项? (2)新数列的第 29 项是原数列的第几项?

16.数列 ?an ?是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负。
(1)求数列公差;(2)求前 n 项和 sn 的最大值;(3)当 sn ? 0 时,求 n 的最大值。
17.设等差数列{an } 的前n项的和为 S n ,且 S 4 =-62, S 6 =-75,求: (1){an } 的通项公式 a n 及前n项的和 S n ;

(2)|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.
18.某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用 12 万元,以后每年都增加 4 万元,每年捕鱼收益 50 万元, (Ⅰ)问第几年开始获利? (Ⅱ)若干年后,有两种处理方案: (1)年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船; (2)总纯收入获利最大时,以 8 万元出售该渔船. 问哪种方案合算.
? ? 19.已知数列 an ,首项 a 1 =3 且 2a n+1=S n ·S n-1 (n≥2).
(1)求证:{ 1 }是等差数列,并求公差; Sn

(2)求{a n }的通项公式; (3)数列{an }中是否存在自然数 k0,使得当自然数 k≥k 0 时使不等式 a k>a k+1 对任意大于
等于 k 的自然数都成立,若存在求出最小的 k 值,否则请说明理由.
20.已知等差数列?an ?中,公差 d>0,等比数列?bn ?中,b1>0,公比 q>0 且 q≠1,若
an - a1 >log a bn ? log a b1 (n>1,n∈N, a >0, a ≠1),求 a 的取值范围.

高一数学上学期测试题(12)参考答案

一、选择题:ABCCB DABDA
二、填空题:11.8; 12. 3 ;

13.24;

14.21.

三、解答题:
15.分析:应找到原数列的第 n 项是新数列的第几项,即找出新、旧数列的对应关系。
解:设新数列为 ?bn ?,则b1 ? a1 ? 2,b5 ? a2 ? 3,根据bn ? b1 ? (n ?1)d,有b5 ? b1 ? 4d,



3=2+4d,∴ d

?

1 4

,∴ bn

?

2 ? (n ?1)? 1 4

?

n?7 4



an

? a1 ? (n ?1)?1 ? n ?1 ?

(4n ? 3) ? 7 4

,∴ an

?

b4n?3

即原数列的第 n 项为新数列的第 4n-3 项.

(1)当 n=12 时,4n-3=4×12-3=45,故原数列的第 12 项为新数列的第 45 项;

(2)由 4n-3=29,得 n=8,故新数列的第 29 项是原数列的第 8 项。

说明:一般地,在公差为 d 的等差数列每相邻两项之间插入 m 个数,构成一个新的等差数列,则新数

列的公差为 d . 原数列的第 n 项是新数列的第 n+(n-1)m=(m+1)n-m 项. m ?1

16.解: (1)?a ? 23 , 1

a6 ? 0 , a7 ? 0 ,



??? aa11

? ?

5d 6d

? ?

0 0

?

? 23 ? d ? ? 23 ? d 为整数, ∴ d ? ?4 .

5

6

(2) sn

?

23n

?

n(n ?1) 2

? (?4) =23 n

?

2n(n

?1)

=-2 n2 ? 25n =- 2(n ? 25)2 ? 625

4

2

∴当 n ? 6时 sn 最大=78

(3) sn ? ?2n 2 ? 25n ? 0 时,0 ? n ? 25 ,故 n 最大值为 12.
2

17.分析:通过解方程组易求得首项和公差,再求 an 及 Sn;解答②的关键在于判断项的变化趋势。

解:设等差数列首项为

a1,公差为

d,依题意得

???64aa11

? ?

6d ? ?62 15d ? ?75

解得:a1=-20,d=3。

⑴ an

?

a1

? (n ?1)d

?

3n ? 23, Sn

?

(a1

? an )n 2

?

n(?20 ? 3n ? 23) 2

?

3 n2 2

?

43 n ; 2

⑵ a1 ? ?20, d ? 3, ??an?的项随着n的增大而增大

设ak ? 0且ak?1 ? 0,

得3k ? 23 ? 0,

且3(k ?1) ? 23 ? 0,? 20 ? k ? 23 (k ? Z), k ? 7,即第7项之前均为负数

3

3

∴ | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | a14 |? ?(a1 ? a2 ? ? a7 ) ? (a8 ? a9 ? ? a14 )

? S14 ? 2S7 ? 147 .

18.解:(Ⅰ)由题设知每年费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列, 设纯收入与年数的关系为 f(n)

∴ f (n) ? 50n ? ?12 ? 16 ? ? ? (8 ? 4n)?? 98 ? 40n ? 2n2 ? 98

获利即为 f(n)>0

∴ 40n ? 2n2 ? 98 ? 0,即n2 ? 20n ? 49 ? 0

解之得:10 ? 51 ? n ? 10 ? 51即2.2 ? n ? 17.1 又 n∈N,∴n=3,4,…,17

∴当 n=3 时即第 3 年开始获利

(Ⅱ)(1)年平均收入= f (n) ? 40 ? 2(n ? 49)

n

n

∵ n ? 49 ≥ 2 n

n ? 49 n

? 14 ,当且仅当 n=7 时取“=”

∴ f (n) ≤40-2×14=12(万元)即年平均收益,总收益为 12×7+26=110 万元,此时 n=7 ; n
(2) f (n) ? ?2(n ?10)2 ? 102 ∴当 n ? 10, f (n)max ? 102
总收益为 102+8=110 万元,此时 n=10 比较两种方案,总收益均为 110 万元,但第一种方案需 7 年,第二种方案需 10 年,故选择第一种。

19.分析:证

? ? ?

1 Sn

? ?

为等差数列,即证

?

1 Sn

?

1 S n?1

?

d

(d

是常数)。

解:⑴由已知当 n ? 2时

2an

?

Sn

? Sn?1得 : 2(Sn

? Sn?1)

?

Sn

? Sn?1(n ?

2). ?

2(Sn ? Sn?1) Sn Sn?1

?1?

1 Sn

?

1 Sn?1

?

? 1 (n 2

?

2) ⑵

? { 1 }是以 1 ? 1 ? 1 为首项, 公差d ? ? 1 的等差数列。

Sn

S1 a1 3

2

1 ? 1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1)(? 1) ? 5 ? 3n ,

Sn S1

3

26

? Sn

?

6 5 ? 3n

(n

?

2)

?3 (n ? 1)

从而an

?

1 2

Sn

? Sn?1

?

(3n

18 ? 5)(3n

? 8)

(n

?

2),因此an

?

?

?

18

? ?

(3n

?

5)(3n

? 8)

(n

?

2)

⑶ 令ak

?

ak ?1

?

0,即(3k

?

2)(3k

?

5)(3k

? 8)

?

0,可得

2 3

?

k

?

5 或k 3

?

8。故只需取k 3

?

3, 则对

大于或等于3的一切自然数总有ak ? ak?1成立, 这样的自然数存在最小值3。

20.解:由已知不等式,得 a1 ? (n ?1)d ? a1 ? loga (b1qn?1) ? loga b1

(n ?1)d ? (n ?1) loga q , ∵n—1>0 当 0< a <1 时, ad ? q , ∵d>0,

∴ d ? loga q
1
∴a ? qd

1

1

若 0<q<1, 则 q d ? 1 , ∴ 0 ? a ? q d ;

1
若 q>1,则 q d ? 1 , ∴0< a <1

1
当 a >1 时, ad ? q , ∵d>0, ∴ a ? q d

1

1

1

若 0<q<1 时, 则 q d ? 1 , ∴ a >1 ; 若 q>1 时,则 q d ? 1 , ∴ a ? q d 。

1

1

综上:若 0<q<1 时, 0 ? a ? q d 或 a >1; q>1 时,0< a <1 或 a ? q d 。


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