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上饶市重点中学2015届高三六校第二次联考文数


上饶市重点中学 2015 届高三六校第二次联考 数学试卷 (文科)
时间:120 分钟 总分:150 分
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.若复数 z 满足 z ? ? 2 ? i ? ? 1( i 为虚数单位) ,则 z ? ( )

A.

5 3

B.

1 5

C. 5

D.

5 5

2.已知全集 U ? x | x 2 ? 1 ,集合 A ? x | ln ? x ?1? ? 0 ,则 CU A ? ( ) A. ?x | x ? ?1或x ? 2? B.?x | x ? 2? C.?x | x ? ?1或x=1或x ? 2? D.?x | x=1或x ? 2? 3. 在 ?ABC 中, 角 A,B, C 所对的边分别为 a, b, c . 若a ? 1 则边 c ?( ) 3 , b? 3 , A? 6 0 ? , A.1 B.2 C.4 D .6

?

?

?

?

4.设 a , b 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不重合的平面.下列命题中正确的是( ) A.若 ? ? ? , a ? ? , 则a / / ? B.若 a , b 与 ? 所成的角相等,则 a与b 平行或相交 C.若 ? 内有三个不共线的点到 ? 的距离相等,则 ? / / ? D.若 ? ? ? ? b, a

?且a / /? 则 , a /b /

5. 已知样本: 8 6 4 7 11 6 8 9 10 5 则样本的平均值 x 和中位数 a 的值是 ( ) A.x ? 7.3, a ? 7.5 B.x ? 7.4, a ? 7.5 C.x ? 7.3, a ? 7和8 D.x ? 7.4, a ? 7和8

6.如图是某算法的程序框图,当输出的结果 T ? 70 时,正整数 n 的最小值是( )

A.3 7 .记集合 A ?

B.4

C.5

D.6

?? x, y ? | x

2

? y 2 ? 16? ,集合 B ? ?? x, y ? | x ? y ? 4 ? 0, ? x, y ? ? A? 表示的平面

区域分别为 ?1 , ?2 . 若在区域 ?1 内任取一点 P ? x, y ? , 则点 P 落在区域 ?2 中的概率为 ( ) A.

? ?2 4?
?

B.

3? ? 2 4?

C.

? ?2 4?

D.

3? ? 2 4?

8.函数 f ? x ? ? cos 2 ? ?x?

??

? 的单调增区间是( ) 6?
B. ? ? ? k? , 2? ? k? ? ? k ? Z ? ? ?
?6 3 ?

A. ? ? ? ? k? , ? ? k? ? ? k ? Z ? ? ?
? 3 6 ?

? ? ? C. ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? k ? Z ? 6 ? 3 ?

? 2? ? D. ? ? 2k? ? ? k ? Z ? ? ? 2k? , 3 ?6 ?

9.函数 f ? x ? , g ? x ? 都不是常数并且定义域均为 R ,则“ f ? x ? , g ? x ? 同是奇函数或同是偶 函数”是“ f ? x ? 与g ? x ? 的积是偶函数”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 10.已知变量 x , y 满足约束条件 ? A. ? 5 或 6 11.已知双曲线 B.必要不充分条件 D.既非充分条件也非必要条件

?x ? y ? 2 ,且 z ? x ? ay 的最大值为 16,则实数 a ? ( ) ?x ? y ? a
C. ? 6 D.6

B.5 或 ?6

x2 y2 ? ? 1? 0 ? b ? 2 ? 与 x 轴交于 A, B 两点,点 C ? 0, b? ,则 ?ABC 面积 4 ? b2 b 2

的最大值为( ) A.1 B.2 C.4 D.8

12.在平面直角坐标系中,O 为原点, A? ?4,0? , B ? 0,4? , C ?1,0? ,动点 D 满足 CD ? 1,

OA ? OB ? OD 的最大值是( )
A. 29 B. 4 2 C.6 D.5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知方程: x ? 12 x ? 1 ? a ? 0 在 ?1,3? 上有解,则实数 a 的取值范围是
3



14.已知三棱锥 A ? BCD 满足棱 AB, AC , AD 两两互相垂直,且 BC ? 34, CD ? 41,

BD ? 5 .则三棱锥 A ? BCD 外接球的体积为



15.过点 P ? 3, ?1? 引直线,使点 A ? 2, ?3? , B ? 4,5? 到它的距离相等,则这条直线的方程 为 .

16.把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵,然后,擦去第奇数行中的奇数和第偶数行 中的偶数,得到如图乙所示的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列, 得到一个数列 ?an ? .若 an ? 902,则 n ? .

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题共 12 分)对于数列 ?an ? ,定义其积数是 Vn ? (1)若数列 ?an ? 的积数是 Vn ? n ? 1,求 an ; ( 2 )等比数列 ?an ? 中, a2 ? 3, a3是a2和 a4 的等差中项,若数列 ?an ? 的积数 Vn 满足
Vn ? 2t ? 1 对一切 n ? N 恒成立,求实数 的取值范围. t ? n

a1 ? a 2 ?a 3 ?????? an , ? n ? N? ? . n

18. (本小题共 12 分)甲、乙两位同学玩猜数字游戏: (1)给出四个数字 0,1,2,5,先由甲将这四个数字组成一个四位数,然后由乙来猜甲 的四位数是多少,求乙猜对的概率;

(2)甲先从 1,2,3,4,5,6 这六个数中任选出两个数(不考虑先后顺序) ,然后由乙来 猜.若乙至少答对一个数则乙赢,否则甲赢.问这种游戏规则公平吗?请说明理由.

19. (本小题共 12 分)已知 E 是矩形 ABCD(如图 1)边 CD 上的一点,现沿 AE 将△DAE 折起至△D1AE(如图 2) ,并且平面 D1AE⊥平面 ABCE,图 3 为四棱锥 D1—ABCE 的主视图 与左视图. (1)求证:直线 BE⊥平面 D1AE; (2)求点 A 到平面 D1BC 的距离.

20. (本小题共 12 分)已知函数 f ? x ? ? e

x

? ln x ? k ? , (k 为常数, e =2.71828??是自然

对数的底数) .函数 y ? f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且 f ? ?1? ? 0 . (1)求 k 的值;

x (2)设 g ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 ? ? f ? x? ? e ? ? ,? ? x ? ?

ex , g ? x ? ? t ?? ? x ? 恒成立.求实数 t 的 x

取值范围.

21. (本小题共 12 分)已知 O 为坐标原点,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的短轴长为 2, a 2 b2

F 为其右焦点,P 为椭圆上一点,且 PF 与 x 轴垂直, OF ? OP ? 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,若以 AB 为直径的圆恒过原点 O,求 | AB | 弦 长的最大值.

选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,BA 是⊙O 的直径,AD⊥AB,点 F 是线段 AD 上异于 A、D 的一点,且 BD、BF 与⊙O 分别交于点 C、E.求证:

BC BF ? . BE BD

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 5 t ?x ? 2 ? ? 5 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以 O 为极点, ?y ? 5? 5 t ? 5 ?

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ? 4sin ? .
(1)求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程; (2)当 ? ? ? 0, ? ? 时,求直线 l 与曲线 C 公共点的极坐标.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知实数 a和b ? b ? 0 ? ,若不等式 a ? 2b ? a ? 2b ? M ? b 有解,记实数 M 的最小 值为 m. (1)求 m 的值; (2)解不等式 x ?1 ? x ? 3 ? m .

上饶市重点中学 2015 届高三六校第二次联考 数学试卷答案(文科)
题号 答案 1 D 2 C 3 C 14. 4 D 5 B 6 B 7 B 8 A 9 A 10 D 11 B 12 C

13. ? ?15, ?8?

125 2 ? 3

15. 4 x ? y ?13 ? 0或x ? 3

16.436

12. OA ? OB ? OD = OA ? OB ? OC ? CD ? OA ? OB ? OC ? CD ? 5 ? 1 ? 6

17.解: (1) Vn ? n ? 1 当 n ? 2 ,?a1 ? a2 ? a3 ①/②得: an ?

?a1 ? a2 ? a3

n

a ? ?n n 1 ? ?

?????? ①

an?1 ? ? n ?1? ? n

?????? ②

n ?1 n ?1

????????????????????(4 分)

当 n ? 1, a1 ? V1 ? 2

?2 ? ? an ? ? n ? 1 ? ? n ?1

? n ? 2, n ? N? ?

? n ? 1?

???????(6 分)

(2)设等比数列 ?an ? 的公比为 q

a3 是 a2 和 a4 的等差中项,且 a2 =3

?2a3 ? a2 ? a4 q2 ? 2q ? 1 ? 0
? an ? 3, 则Vn ?
即 2t ? 1 ? 3

2 2a2 ? q ? a 2 ? a 2 q

? q ? 1?

2

?0

? q ? 1 ?????????(8 分)

3n 2t ? 1 ? ? n ? N ? ? 恒成立 n n
2t ? 1? 3
即 t ? 2 ????????????(12 分)

? ?
n

min

18.解: (1)由 0,1,2,5 组成的四位数共有 18 种,如下: 1025,1052,1205,1502,1250,1520,

2015,2051,2105,2501,2150,2510, 5012,5021,5102,5201,5120,5210 ∴乙猜对的概率为 P ?

1 18

????????????????(6 分)

(2)从 1,2,3,4,5,6 中任选出 2 个数,共有 15 种,如下: (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6) 乙赢的概率为 P 乙 ?

9 3 = 15 5

甲赢的概率为 P 甲 ?

6 2 = 15 5

P 乙 ?P 甲

∴这种游戏规则不公平 ?????????????(12 分)

19.解: (1)证明:由主视图和左视图易知: AD ? DE ? EC ? BC ? 1 ∴ AE ? BE ? 2, AB ? 2 ∴ AE ? BE ? AB
2 2 2

? BE ? AE

? ? 又 平面D1 AE ? 平面ABCE ? ? BE ? 平面D1 AE ????????(5 分) 平面D1 AE ? 平面ABCE ? AE ? ?

(2)分别取 AE, BC 中点 M,N

D1 A ? D1E ? 1
? D1M ? AE ? ? 又 平面D1 AE ? 平面ABCE ? ? D1 M ? 平面ABCE 平面D1 AE ? 平面ABCE ? AE ? ? ? ? MN ? BC ? ? BC ? 平面D1MN D1M ? MN ? M ? ?
中, D1M ? R t? D 1 MN

? D1M ? BC

? BC ? D1N

2 3 , MN ? 2 2

? D1 N ?

11 2

设 A 到平面 D1BC 的距离为 d

VA? D1BC ? VD1 ? ABC

1 1 ? S ?D1BC ?d ? ? D1M ? S ?ABC 3 3 1 1 D1 N ? BC ? d ? D1M ? AB ? BC 2 2

11 2 ?1 ? d ? ? 2 ?1 2 2

?d ?

2 22 ????????(12 分) 11

20、解: (1) f ? ? x ? ? e

x

? ln x ? k ? ? e x ?

1 ,? f ? ?1? ? ek ? e ? 0 x

? k ? ?1
(2) g ? x ? ? e x ? ? 即

?????????????????????(4 分)

?1 ? ? 1 ? ln x ? ,由 g ? x ? ? t? ? x ? ?x ?

得 ex ?

e ?1 ? ? 1 ? ln x ? ? t ? x ?x ?

x

1 t ? 1 ? ln x ? ? x ? 0 ? x x

?t ? 1? x ? x ln x ? x ? 0?
则 h? ? x ? ? ? ? ln x ? 2? ? 0, x ? e?2

令 h ? x ? ? 1 ? x ? x ln x , ? x ? 0 ?

? h ? x ? 在 ? 0, e?2 ?
?t ? 1 ? 1 e2

, ? e ?2 , ?? ?

,? h ? x ?max ? h ? e ?2 ? ? 1 ?

1 e2

???????????????????????(12 分)

21.解: (1)由已知得 2b ? 2, b ? 1 ,又 OF ? OP ? OF ? OP cos ?POF ? OF ? c 2 ? 3
2

?a ? 4
2

x2 ? 椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 4

??????????(5 分)

(2) (i)当直线 OA 的斜率不存在或斜率为零时,易知 | AB |? a 2 ? b2 ? 5 ;?(7 分) (ii)当直线 OA 的斜率存在且不为零时, 直线 OA,OB 互相垂直且由图像的对称性知, 直线 OA,OB 为椭圆 C 有四个交点,从中任取两点作弦长 AB 所得的值相等. 设直线 OA 方程为: y ? kx

? k ? 0?

? y ? kx 4 ? 2 联立: ? x 2 解得: x ? 2 1 ? 4k 2 ? ? y ?1 ?4

不妨取 A ?

?

2
2

? 1 ? 4k

,

? ? 1 ? 4k ? 2k
2

同理取 B ?
2

?

2k

2 ? 4?k

,?
2

? ? 4 ? k2 ? 2

? 2 2k ? ? 2k 2 ? 则 | AB | = ? ? ?? ? ? ? 2 4 ? k 2 ? ? 1 ? 4k 2 4 ? k2 ? ? 1 ? 4k
=2

1 k2 k2 1 ? ? ? 2 2 2 1 ? 4k 4 ? k 1 ? 4k 4 ? k2
2

k 2 ? 1? ? 1? k 2 k 2 ?1 =2 =2 5 ? 1 ? 4k 2 4 ? k 2 ?1 ? 4k 2 ?? 4 ? k 2 ?
=2 5?

k 4 ? 2k 2 ? 1 k 4 ? 2k 2 ? 1 < = 5 2 5 ? 4k 4 ? 17k 2 ? 4 4k 4 ? 8k 2 ? 4
?????????(12 分)

? 综上(i) (ii)可知: | AB |max ? 5

22.证明:连接 AC,EC,

?BAC ? ?ABC ? 90? , ?ABC ? ?FDB ? 90?

? ?BAC ? ?FDB ,又 ?BAC =?BEC ,? ?BEC =?FDB
又 ?CBE =?FBD ,??BCE∽?BFD ,?

BC BF ? ????????(10 分) BE BD

23.解: (1)由 y ? 5 ?

5 5 2 5 t得 t ? y ? 5 ,将其代入 x ? 2 ? t 中得:x ? 2 y ? 8 ? 0 5 5 5
??????????(3 分)

? 直线 l 的直角坐标方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0

2 由 ? =2cos ? ? 4sin ? ,得 ? =2? cos ? ? 4? sin ?

? x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y 即 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0

? 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 ???????????(6 分)
(2)由 ?

?x ? 2 y ? 8 ? 0 ? x ? y ? 2x ? 4 y ? 0
2 2

得?

?x ? 0 ?y ? 4

? 直线 l 与曲线 C 的公共点为 ? 0, 4 ?

? ? ? 0, ? ?

? ?? (10 分) ? 直线 l 与曲线 C 公共点的极坐标为 ? 4, ? ??? ? 2?

24.解: (1)由 a ? 2b ? a ? 2b ? M ? b ,得 M ?

a ? 2b ? a ? 2b b

a ? 2b ? a ? 2b b

?

a ? 2b ? ? a ? 2b ? b

=4

? m ? 4 ??????(5 分) 要使不等式 a ? 2b ? a ? 2b ? M ? b 有解,则 M ? 4,
(2)由(1)知 m ? 4 ,? 不等式为 x ?1 ? x ? 3 ? 4 由绝对值的几何意义知 0 ? x ? 4

? 不等式解集为 ?x | 0 ? x ? 4? ??????????(10 分)


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