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高中数学第二章变化率与导数2.4导数的四则运算法则导数的乘法与除法法则2教案

教案、学案、试题、试卷、复习资料 导数的乘法与除法法则 一、教学目标: 1、会运用两个函数的和、差、积、商的求导公式求含有积、商综合运算的函数的导数; 2、能运用导数的几何意义,求过曲线上一点的切线。 二、教学重点:两个函数的和、差、积、商的求导公式的应用 教学难点:函数积、商导数公式 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习:两个函数的和、差、积、商的求导公式 1、两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) ,即 [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) 2、若两个函数 f ( x) 和 g ( x) 的导数分别是 f ?( x) 和 g ?( x ) ,我们有 [ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ( x)? ? ? f ( x) ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? g ( x) ? ? g 2 ( x) ? ? 特别地,当 g ( x) ? k 时,有 [kf ( x)]? ? kf ?( x) (二) 、探究新课 例 1:求下列函数的导数: (1) y ? x (ln x ? sin x) ; 2 (2) y ? cos x ? x 。 x2 解: (1)解一: y? ? [ x 2 (ln x ? sin x)]? ? ( x 2 )? ? (ln x ? sin x) ? x 2 ? (ln x ? sin x)? ?1 ? ? 2 x ? (ln x ? sin x) ? x 2 ? ? ? cos x ? ? x ? 2 x ln x ? 2 x sin x ? x 2 cos x ?x ? 解二: y? ? [ x (ln x ? sin x)]? ? ( x ? ln x ? x ? sin x)? ? ( x ? ln x)? ? ( x ? sin x)? 2 2 2 2 2 ? 2 x ? ln x ? x 2 ? 1 ? 2 x ? sin x ? x 2 ? cos x ? x ? 2 x ln x ? 2 x sin x ? x 2 cos x 。 x ? (cos x ? x)? ? x 2 ? (cos x ? x) ? ( x 2 )? ? cos x ? x ? ? (2)解一: y ? ? ? ? 2 (x2 )2 ? x ? 教案、学案、试题、试卷、复习资料 (? sin x ? 1) ? x 2 ? (cos x ? x) ? 2 x (1 ? sin x) x ? 2 cos x ? 2 x ? ?? 4 x x3 x sin x ? 2 cos x ? x 。 x3 ? ? ? ? ? cos x ? x ? ? cos x x ? ? cos x ? ? 1 ? ? ? ? ? 解二: y ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 x2 ? ? x2 ? ? x ? ? x ? ? x ?? (cosx)? ? x 2 ? cos x ? ( x 2 )? ? sin x ? x 2 ? cos x ? 2 x 1 ?1 ? ? ? (x ) ? ? 2 (x2 )2 x4 x ? ? x sin x ? 2 cos x ? x x sin x ? 2 cos x ? x ?? 。 3 x x3 例 2. A(0,0), B(2, 2) 是抛物线 y ? x2 ? x 上两点,在抛物线 y ? x2 ? x 上 A 与 B 间的求一点 P , 使 ?APB 面积最大. 解:∵ | AB |? 2 2 ,∴ P 到直线 AB 的距离最大时, ?APB 面积最大, 即过 P 点的切线平行于直线 AB 时 ?APB 面积最大,设 P( x0 , y0 ) , ∵ y? ? 2 x ? 1 ,∴过点 P 的切线的斜率 k ? f ?( x0 ) ? 2 x0 ?1 ? 1 , x0 ? 1 ,∴ P(1, 0) . 例 3、求曲线 f ( x) ? 1? x 1? x ? 2 x ln x 过点(1,0)的切线方程。 解: f ?( x) ? (1 ? x )? ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? (1 ? x )? (1 ? x ) 2 ? (2 x )? ? ln x ? 2 x ? (ln x)? ? ? 1 2 x ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) 2 1 2 x ? (2 x ln 2) ? ln x ? 2x x ?? 1 x (1 ? x ) 2 ? 2 x ln 2 ln x ? 2x 。 x 将 x=1 代入 f ?( x) ,得所求切线的斜率 f ?(1) ? 曲线 f ( x) ? 7 。 4 7 ( x ? 1) 。 4 1? x 1? x ? 2 x ln x 过点(1,0)的切线方程为 y ? 例 4. 一质点运动方程 S (t ) ? a sin t ? b cos t (a ? 0) , 若速度 v(t ) 最大值为 6 , 且对任意的 t0 ? R , 在 t ? t0 与 t ? ? 2 ? t0 时速度相同,求 a , b 的值. a 2 ? b2 ? 6 , 解: v(t ) ? S ?(t ) ? a cos t ? b sin t , v(t ) max ? 教案、学案、试题、试卷、复习资料 又 v (t0 ) ? v ( ? 2 ? t0 ) ,∴ (a ? b)(cos t0 ? sin t0 ) ? 0 对 t0 ? R 恒成立,∴ a ? b ? 0 , ∵ a ? 0 ,∴ ? ? ?a ? 3 ? ?b ? ? 3 . (三) .回

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