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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第一章 三角函数 1.6 课时作业]

§1.6

三角函数模型的简单应用

课时目标 1.会解三角形和利用三角形建立数学模型,解决实际问题.2.会用三角函数解决一 些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

1.三角函数的周期性 y=Asin(ωx+φ) (ω≠0)的周期是 T=________; y=Acos(ωx+φ) (ω≠0)的周期是 T=________; y=Atan(ωx+φ) (ω≠0)的周期是 T=________. 2.函数 y=Asin(ωx+φ)+k (A>0,ω>0)的性质 (1)ymax=________,ymin=________. (2)A=________________,k=________________________________. (3)ω 可由________________确定,其中周期 T 可观察图象获得. (4)由 ωx1+φ=________,ωx2+φ=________,ωx3+φ=______,ωx4+φ=____________,ωx5 +φ=________中的一个确定 φ 的值. 3.三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻 画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.

一、选择题 1. 如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系 π 100πt+ ?,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( 式为 s=6sin? ) 6? ?

1 1 A. s B. s C.50 s D.100 s 50 100 2.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(ωx+φ)+ π? b? 已知 3 月份达到最高价 9 千元, 7 月份价格最低为 ?A>0,ω>0,|φ|<2?的模型波动(x 为月份), 5 千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为( ) π π * ? A.f(x)=2sin? ?4x-4?+7(1≤x≤12,x∈N ) π π? * B.f(x)=9sin? ?4x-4?(1≤x≤12,x∈N ) π C.f(x)=2 2sin x+7(1≤x≤12,x∈N*) 4 π π? * D.f(x)=2sin? ?4x+4?+7(1≤x≤12,x∈N ) π ? ?π ? ?π? 3.若函数 f(x)=3sin(ωx+φ)对任意 x 都有 f? ) ?6+x?=f?6-x?,则 f?6?等于( A.3 或 0 B.-3 或 0 C.0 D.-3 或 3

4. 如图所示, 设点 A 是单位圆上的一定点, 动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致是( )

5.设 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0≤t≤24.下表是该港口某一 天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察,函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y=k+Asin(ωt+φ)的图象.下面的函数 中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( ) π A.y=12+3sin t,t∈[0,24] 6 π ? B.y=12+3sin? ?6t+π?,t∈[0,24] π C.y=12+3sin t,t∈[0,24] 12 π π? D.y=12+3sin? ?12t+2?,t∈[0,24] 题 号 1 2 3 4 5 答 案 二、填空题 m π? ?2 3? 6.函数 y=2sin? ? 3 x+3?的最小正周期在?3,4?内,则正整数 m 的值是________. 7. 设某人的血压满足函数式 p(t)=115+25sin(160πt), 其中 p(t)为血压(mmHg), t 为时间(min), 则此人每分钟心跳的次数是________. 8.一根长 l cm 的线, 一端固定,另一端悬挂一个小球, 小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm) g π ?, 与时间 t(s)的函数关系式时 s=3cos? 其中 g 是重力加速度, 当小球摆动的周期是 1 s ? l t+3? 时,线长 l 等于________. 三、解答题 9. 如图,一个水轮的半径为 4 m,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟转动 5 圈,如 果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始计算时间.

(1)将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数; (2)点 P 第一次到达最高点大约需要多少时间?

10.某港口水深 y(米)是时间 t (0≤t≤24,单位:小时)的函数,下面是水深数据: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 t(小时) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 y(米)

据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似的看成正弦函数型 y=Asin ωt+B 的 图象. (1)试根据数据表和曲线,求出 y=Asin ωt+B 的解析式; (2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是安全的,如果某船的吃水度(船 底与水面的距离)为 7 米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它 在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)

能力提升 11.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

12.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A、B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d= __________,其中 t∈[0,60].

1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然 界中的周期现象(运动)有着广泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图,选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题. (4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验.

§1.6

三角函数模型的简单应用 答案

知识梳理 2π 2π π 1. |ω| |ω| |ω| ymax-ymin ymax+ymin 2π π 3 2.(1)A+k -A+k (2) (3)ω= (4)0 π π 2π 2 2 T 2 2 3.周期 作业设计 1.A 2.A π ? ?π ? π? π ?π ? 3. D [因为 f? 所以直线 x= 是函数 f(x)图象的对称轴. 所以 f? ?6+x?=f?6-x?, ?6?=3sin?6ω+φ? 6 π kπ+ ?=± =3sin? 3.因此选 D.] 2? ? l 4.C [d=f(l)=2sin .] 2 5.A [在给定的四个选项 A、B、C、D 中,我们不妨代入 t=0 及 t=3,容易看出最能近似 表示表中数据间对应关系的函数是 A.] 6.26,27,28 6π 2 6π 3 解析 ∵T= ,又∵ < < , m 3 m 4 ∴8π<m<9π,且 m∈Z,∴m=26,27,28. 7.80

2π 1 1 解析 T= = (分),f= =80(次/分). 160π 80 T g 8. 2 4π 2π g g 解析 T= =1.∴ =2π.∴l= 2. l 4π g l 9.解 (1)如图所示建立直角坐标系, π ? 设角 φ? ?-2<φ<0?是以 Ox 为始边,OP0 为终边的角.

5×2π π OP 每秒钟内所转过的角为 = . 60 6 5 ×2π? π 由 OP 在时间 t(s)内所转过的角为? ? 60 ?t=6t. 由题意可知水轮逆时针转动, π ? 得 z=4sin? ?6t+φ?+2. 1 π 当 t=0 时,z=0,得 sin φ=- ,即 φ=- . 2 6 π π? 故所求的函数关系式为 z=4sin? ?6t-6?+2. π π? (2)令 z=4sin? ?6t-6?+2=6, π π? 得 sin? ?6t-6?=1, π π π 令 t- = ,得 t=4, 6 6 2 故点 P 第一次到达最高点大约需要 4 s. 2π π 10.解 (1)从拟合的曲线可知,函数 y=Asin ωt+B 的一个周期为 12 小时,因此 ω= = . T 6 又 ymin=7,ymax=13, 1 ∴A= (ymax-ymin)=3, 2 1 B= (ymax+ymin)=10. 2 π ∴函数的解析式为 y=3sin t+10 (0≤t≤24). 6 (2)由题意,水深 y≥4.5+7, π 即 y=3sin t+10≥11.5,t∈[0,24], 6 π 5π π 1 π ? ∴sin t≥ , t∈?2kπ+6,2kπ+ 6 ? ?,k=0,1, 6 2 6 ∴t∈[1,5]或 t∈[13,17], 所以,该船在 1∶00 至 5∶00 或 13∶00 至 17∶00 能安全进港. 若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过 16 小时. π 11.C [∵P0( 2,- 2),∴∠P0Ox= . 4

π π 按逆时针转时间 t 后得∠POP0=t,∠POx=t- ,此时 P 点纵坐标为 2sin(t- ), 4 4 π ∴d=2|sin(t- )|. 4 当 t=0 时,d= 2,排除 A、D; π 当 t= 时,d=0,排除 B.] 4 πt 12.10sin 60 解析 将解析式可写为 d=Asin(ωt+φ)形式,由题意易知 A=10,当 t=0 时,d=0,得 φ=0; 当 t=30 时,d=10, π πt 可得 ω= ,所以 d=10sin . 60 60


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