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湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题

华中师大一附中 2015—2016 学年度下学期高一期中检测 数学试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把答案填在答题卡相应位置上。 ) 1.已知 {an } 是等差数列, a1 ? a7 ? ?2, a3 ? 2 ,则 {an } 的公差 d ? A.- 1 B.- 2 C.- 3 2.若 a , b, c 为实数,下列结论正确的是 A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bd C.若 a ? b ? 0, 则 D.- 4 B.若 a ? b ? 0, 则 a ? ab ? b
2 2

1 1 ? a b

D.若 a ? b ? 0, 则

b a ? a b

3.关于 x 的方程 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ? 0 有两个不等的实根,则 m 的取值范围是

A.(- +?)

1 , +?) 4

B.( - ? ,-

1 ) 4

C.[ -

1 1 ,+ ? ) D.( - ,0)∪(0, 4 4
?

4.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a ? 20, b ? 10, B ? 31 ,则 ?ABC 解的情况是 A. 无解 数个解 5.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 A. 3 B. 有一解 C. 有两解 D. 有无

S6 S ? 4, 则 9 = S3 S6
C.

B.

13 4

15 4

D. 4

6.若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是 3 2 4 A. 35π cm

2 3 4

106 π cm3 3 3 C. 70π cm 212 D. π cm3 3
B.

正视图 图 2 4 2 俯视图 (第 6 题图)

侧视图 图

1

7.已知圆锥的底 面直径为 A.1
?

2 3? , 且它的侧面展开图是一个半圆,则圆锥的表面积为 3?
B.2 C.3 D.4

8.在 ?ABC 中, B ? 120 , AB ? A. 2 B.

2 , A 的角平分线 AD ? 3 ,则 AC ?
C. 6 D. 7

5

2 9.设 x ? R , 对于使 ? x ? 2 x ≤ M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做

? x 2 ? 2 x 的上确界. 若 a, b ? R ? ,且 a ? b ? 1,则 ?
A. ?5 B. ?4 C.

2 ? 的上确界为 2a b 9

1

2 2 10.某旅行社租用 A 、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行, A 、 B 两种车辆的载客量分别
为 36 人和 60 人,租金分别为 1200 元/辆和 1800 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且

D. ?

9

B 型车不多于 A 型车 7 辆.则租金最少为
A.23400 元 B.27000 元 C.27600 元 D.28800 元

2 11.若 a , b 是函数 f ( x) ? x ? px ? q ( p ? 0, q ? 0) 的两个不同的零点,且 a, b, ?2 这三个数可

适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q ? A.6 B.7 C.8 D.9

12.在 ?ABC 中, AB ? AC , AC 边上的中线长为 9,当 ?ABC 的面积最大时, AB 的长为 A. 9 3 B. 9 5 C. 6 3 D. 6 5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡相应位置上。 ) 13.锐角 △ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , a ? 4, b ? 5 , △ABC 的面积为 5 3 , 则边

c=



14.Rhind Papyrus 是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把 10 磅面包分给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 磅.

1 是较小的两份之和,则最小 1 份为 7

2

?y ? 1 ? 15. 实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值 为 ?2 ,则实数 m 的值为 ?x ? y ? m ?
______.

<a ? 2 ) 16.已知数列 ?a n ? 中, a1 ? a ( 0 , a n ?1 ? ?

(a n>2) ?a n ? 2 * (n? N ) ,记 ?? a n ? 3 (a n ? 2)
.

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,若 Sn ? 2016 ,则 n ?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,把答案填 在答题卡相应位置上。 ) 17.(本小题满分 10 分) 已知 {an } 是由正数组成的等比数列, a2 ? 2 ,且 a4 ,3a3 , a5 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)数列 {an?1 ? ? an } 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2n ?1(n ? N ? ) ,求实数 ? 的值.

18.(本小题满分 10 分) 如图,旅客从某旅游区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另 一种从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行, 速度为 50 米/分钟, 在甲出发 2 分钟后, 乙从 A 乘缆车到 B, 再从 B 匀速步行到 C. 假

cos A ? 设缆车匀速直线运动的速度为 130 米/分钟, 山路 AC 长 1260 米, 经测量,
(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发后多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

12 3 , cos C ? . 13 5

19.(本小题满分 12 分) (1)已 知 x ? 0, y ? 0 ,

1 2 ? ? 2 ,求 2 x ? y 的最小值. x y ?1

(2)已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ,比较 8 ?

1 1 1 与 ? 的大小,并说明理由. a b ab

3

20.(本小 题满分 12 分) 已 知 {an } 是 由 正 数 组 成 的 数 列 , 其 前 n 项 和 S n 与 a n 之 间 满 足 :

an ?

1 1 ? 2Sn ? (n ? 1, n ? N? ) . 2 4

(1)求数列 {an } 的通项 a n ; (2)设 bn ? ( ) n an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 21.(本小题满分 12 分) 如图,在△ ABC 中,点 D 在边 AB 上, CD ? BC , AC ? 5 3 , CD ? 5 , BD ? 2AD . (1)求 AD 的长; (2)求△ ABC 的面积. C

1 2

A 22.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an },{bn } 中, a 1 ? 1 , bn ? (1 ? (1)若 an ? 2
n ?1

D

B

2 an 1 ? , n ? N ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n . ) 2 an?1 an?1

,求 S n ;
?

(2)是否存在等比数列 {an } ,使 bn? 2 ? Sn 对任意 n ? N 恒成立?若存在,求出所有满足条 件的数列 {an } 的通项公式;若不存在,说明理由; (3)若 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? ??? , 求证: 0 ? Sn ? 2 .

4

1-12 13. 21

华中师大一附中 2015—2016 学年度下学期高一期中检测 参考答案 CBDAB DACDC DD 14.

1 6

15. 8

16. 1344

17.已知 {an } 是由正数组成的等比数列, a2 ? 2 ,且 a4 ,3a3 , a5 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)数列 {an?1 ? ? an } 的前 n 项 和为 Sn ,若 Sn ? 2n ?1(n ? N ? ) ,求实数 ? 的值. 解: (1) a4 ,3a3 , a5成等差数列,6a3 ? a4 ? a5 ,?6 ? q ? q2 ,

? q ? 0,? q ? 2

?an ? a2qn?2 ? 2 ? 2n?2 ? 2n?1

………………………………………………5 分

(2) Sn ? (a2 ? a3 ? ?? an?1 ) ? ? (a1 ? a2 ? ?? a n ) ? (2 ? 22 ? ?? 2n ) ? ?(1 ? 2 ? ?? 2n?1 ) = 2(2n ?1) ? ? (2n ?1) ? (2 ? ? )(2n ?1) ? 2n ?1

? 2 ? ? ? 1,? ? ? 1

………………………………………………10 分

18.如图,旅客从某旅游区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另 一种从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行, 速度为 50 米/分钟, 在甲出发 2 分钟后, 乙从 A 乘缆车到 B, 再从 B 匀速步行到 C. 假 设缆车匀速直线运动的速度为 130 米/分钟,山路 AC 长 1260 米, 经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? . 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发后多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? 解:(1)在

12 3 5 4 ,cos C ? ,?sin A ? ,sin C ? 13 5 13 5 63 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos C sin A ? 65 AB AC AC sin C ? , AB ? ? 1040米 由正弦定理 sin C sin B sin B ?ABC中, cos A ?
所以索道 AB 的长为 1040m. ……………………………………………5 分

5

(2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,

d 2 ? (130t )2 ? 2500(t ? 2)2 ? 2 ?130t ? 50(t ? 2)
35 2 625 ) ? }, t ? [0,8] 37 37

12 ? 200(37t 2 ? 70t ? 50) 13

? 200[37(t ? 当t ?

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 35 分时,甲乙的距离最短 37 (1)已 知 x ? 0, y ? 0 ,

19.

1 2 ? ? 2 ,求 2 x ? y 的最小值. x y ?1

(2)已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ,比较 8 ? 解: (1) 2 x ? y ? 1 ? (2 x ? y ? 1)(

1 1 1 与 ? 的大小,并说明理由. a b ab

1 1 y ?1 2x ? ) ? 2? ? ? 4 ( x ? y ? 1等号成立) 2x y ?1 2x y ?1

? 2 x ? y ? 3 , ? 2 x ? y 的最小值为 3 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 6 分
(2)? a ? b ? 1 ? 2 ab ,? ab ?

1 4

1 1 1 1 1 1 a ? b ?1 2 ? ? ? ? ? ? 8, ? 8 ? ? ? .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 a b ab a b ab ab ab
20. 已 知 {an } 是 由 正 数 组 成 的 数 列 , 其 前 n 项 和 S n 与 a n 之 间 满 足 :

an ?

1 1 ? 2Sn ? (n ? 1, n ? N? ) . 2 4

(1)求数列 {an } 的通项 a n ; (2)设 bn ? ( ) n an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 解: (1) a1 ?

1 2

1 1 ? 2S1 ? ,? a1 ? 1 2 4 1 1 1 1 (an ? ) 2 ? 2 Sn ? , (an ?1 ? ) 2 ? 2 Sn ?1 ? (n ? 2) 2 4 2 4

6

两式相减有 (an ? ) ? (an ?1 ? ) ? 2an (n ? 2) ,化简有 (an ? an?1 )(an ? an?1 ?1) ? 0 ,
2 2

1 2

1 2

? an ? 0,? an ? an?1 ? 1, ? an ? a1 ? (n ?1)d ? n
(2) bn ? ( ) n,?Tn ?
n

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分

1 1 1 1 ? 2( ) 2 ? 3( )3 ? ? ? n( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 ? Tn ? ( ) 2 ? 2( )3 ? ? ? n( ) n ?1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ? n( ) n ?1 ? 1 ? ( ) n ? n( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ?Tn ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 2 ? ( n ? 2)( ) n 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 2 2 2
21.如图,在△ ABC 中,点 D 在边 AB 上, CD ? BC , AC ? 5 3 , CD ? 5 , BD ? 2AD . (1)求 AD 的长; (2)求△ ABC 的面积. 解:(Ⅰ) 在 ?ABC 中,因为 BD ? 2AD ,设 AD ? x ,则 BD ? 2x . 在△ BCD 中,因为 CD ? BC , CD ? 5 , BD ? 2x , A B C

1 2

D

? cos ?CDB ?

CD 5 ? . BD 2 x

在?ACD中,由余弦定理有 cos ?ADC ?

AD2 ? CD2 ? AC 2 x 2 ? 52 ? (5 3)2 . ? 2 ? AD ? CD 2? x ?5

? ?CDB ? ?ADC ? ? ,? cos ?ADC ? ? cos ?CDB ,

?

x 2 ? 52 ? (5 3)2 5 ?? 2? x ?5 2x
.................................. ........6 分

解得 x ? 5 .所以 AD 的长为 5 .

2 (Ⅱ)由(Ⅰ)求得 AB ? 3x ?15 , BC ? 4 x ? 25 ? 5 3 .

? cos ?CBD ?

1 BC 3 ,? sin ?CBD ? . ? 2 BD 2

1 ? S?ABC ? ? AB ? BC ? sin ?CBA 2
7

1 1 75 3 ? ?15 ? 5 3 ? ? 2 2 4 .……………………………………………12 分
22.已知数列 {an },{bn } 中, a 1 ? 1 , bn ? (1 ? (1)若 an ? 2n?1 ,求 S n ; (2)是否存在等比数列 {an } ,使 bn? 2 ? Sn 对任意 n ? N 恒成立?若存在,求出所有满足条 件的数列 {an } 的通项公式;若不存在,说明理由; (3)若 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? ??? , 求证: 0 ? Sn ? 2 . 解: (1) bn ? (1 ? )
?

2 an 1 ? , n ? N ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n . ) 2 an?1 an?1

1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 3 3 ? ,? Sn ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? (1 ? ( ) n ) ? ? n ? 2 n n 4 2 42 4 2 2 2 4 2 4 2
............................4 分

(2)满足条件的数列 {an } 有且只有两个,其通项公式为 an ? 1或an ? (?1)n?1

1 1 1 1 1 1 ) n ,? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) 3 2 q q q q q q n?1 ?q ? ?1,当q ? ?1时,bn ? 0, 满足条件,an ? 1或an ? (?1) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分
令 n ? 1, S1 ? b3 , 设 an ? q
n ?1

, bn ? (1 ?

(3)因 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ?,? an ? 0, 0 ?

an ?1 an?1

于是 0 ?

2 2 an an 1 ? 1, ? b ? (1 ? ) ? 0, n ? 1, 2,3,? n 2 2 an?1 an?1 an?1

? Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 0

? bn ? (1 ?
? 2(

2 an a a a 1 1 1 1 an ) ? (1 ? n )(1 ? n ) ? (1 ? n )( ? ) 2 an?1 an?1 an?1 an?1 a n?1 an?1 an an?1 an?1

1 1 ? ) a n an ?1

? Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2(

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ) ? 2(1 ? )?2 a1 a2 a2 a3 an an?1 an?1
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。14 分

? 0 ? Sn ? 2

8


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