fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题

华中师大一附中 2015—2016 学年度下学期高一期中检测 数学试题

考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把答案填在答题卡相应位置上。)

1.已知{an}是等差数列, a1 ? a7 ? ?2, a3 ? 2 ,则{an}的公差 d ?

A.-1

B.- 2

C.- 3

2.若 a, b, c 为实数,下列结论正确的是

D.- 4

A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bd

B.若 a ? b ? 0, 则 a2 ? ab ? b2

C.若 a ? b ? 0, 则 1 ? 1 ab

D.若 a ? b ? 0, 则 b ? a ab

3.关于 x 的方程 mx2 ? (2m ?1)x ? m ? 0 有两个不等的实根,则 m 的取值范围是

A.(- 1 , + ? ) 4
+?)

B.( - ? ,- 1 ) 4

C.[ - 1 ,+ ? ) D.( - 1 ,0)∪(0,

4

4

4.在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ,若 a ? 20, b ? 10, B ? 31 ,则 ?ABC 解的情况是

A. 无解 数个解

B. 有一解

C. 有两解

D. 有无

5.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若

S6 S3

?

4, 则

S9 S6

=

A. 3

B. 13 4

C. 15 4

D. 4

6.若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是

A. 35π cm3

242

B. 106 π cm3 3
C. 70π cm3
D. 212 π cm3 3

3 4
正视图 图
2 4

侧视图 图

2

1

俯视图

(第 6 题图)

7.已知圆锥的底 面直径为 2 3? , 且它的侧面展开图是一个半圆,则圆锥的表面积为 3?

A.1

B.2

C.3

D.4

8.在 ?ABC 中, B ? 120 , AB ? 2 , A 的角平分线 AD ? 3 ,则 AC ?

A. 2

B. 5

C. 6

D. 7

9.设 x ? R , 对于使 ?x2 ? 2x ≤ M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做

?x2 ? 2x 的上确界. 若 a, b ? R? ,且 a ? b ? 1,则 ? 1 ? 2 的上确界为 2a b

A. ?5

B. ?4

C. 9

D. ? 9

2

2

10.某旅行社租用 A 、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行, A 、 B 两种车辆的载客量分别

为 36 人和 60 人,租金分别为 1200 元/辆和 1800 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且

B 型车不多于 A 型车 7 辆.则租金最少为

A.23400 元

B.27000 元

C.27600 元

D.28800 元

11.若 a, b 是函数 f (x) ? x2 ? px ? q ( p ? 0, q ? 0) 的两个不同的零点,且 a,b, ?2 这三个数可

适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q ?

A.6

B.7

C.8

D.9

12.在 ?ABC 中, AB ? AC , AC 边上的中线长为 9,当 ?ABC 的面积最大时, AB 的长为

A. 9 3

B. 9 5

C. 6 3

D. 6 5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡相应位置上。)

13.锐角 △ABC 中,角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c , a ? 4,b ? 5, △ABC 的面积为 5 3 , 则边

c=



14.Rhind Papyrus 是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把 10 磅面包分给 5

个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 1 是较小的两份之和,则最小 1 份为 7
磅.

2

?y ?1

15.

实数

x,

y

满足

? ?

y

?

2x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值

为 ?2 ,则实数 m

的值为

??x ? y ? m

______.

16.已知数列?an ?中,

a1

?

a

( 0<a

?

2

),

an?1

?

?an ? ??? an

2 ?

3

(an>2) ( n ? N * ),记 (an ? 2)

Sn ? a1 ? a2 ??? an ,若 Sn ? 2016 ,则 n ?

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,把答案填 在答题卡相应位置上。) 17.(本小题满分 10 分)

已知{an}是由正数组成的等比数列, a2 ? 2 ,且 a4 , 3a3, a5 成等差数列.

(1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)数列{an?1 ? ?an} 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2n ?1(n? N?) ,求实数 ? 的值.

18.(本小题满分 10 分)

如图,旅客从某旅游区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另

一种从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿

AC 匀速步行,速度为 50 米/分钟,在甲出发 2 分钟后,乙从 A 乘缆车到 B,再从 B 匀速步行到 C.假

设缆车匀速直线运动的速度为 130 米/分钟,山路 AC 长 1260 米,经测量,cos A ? 12 , cos C ? 3 .

13

5

(1)求索道 AB 的长;

(2)问乙出发后多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

19.(本小题满分 12 分)
(1)已 知 x ? 0, y ? 0 , 1 ? 2 ? 2 ,求 2x ? y 的最小值. x y ?1
(2)已知 a ? 0,b ? 0, a ? b ? 1,比较 8 ? 1 与 1 ? 1 的大小,并说明理由. a b ab
3

20.(本小 题满分 12 分)
已 知 {an} 是 由 正 数 组 成 的 数 列 , 其 前 n 项 和 Sn 与 an 之 间 满 足 :

an

?

1 2

?

2Sn

?

1 4

(n

?

1, n

?

N?)



(1)求数列{an}的通项 an ;

(2)设 bn

?

(

1 2

)n

an

,求数列{bn}的前 n

项和 Tn



21.(本小题满分 12 分)

如图,在△ ABC 中,点 D 在边 AB 上, CD ? BC , AC ? 5 3 , CD ? 5 , BD ? 2AD .

(1)求 AD 的长;

C

(2)求△ ABC 的面积.

22.(本小题满分 14 分)

A

D

B

已知数列{an},{bn} 中, a

1?1 , bn

?

(1?

an2 a2
n?1

)

1 an?1

,n?

N?

,数列{bn}的前 n

项和为

Sn



(1)若 an ? 2n?1,求 Sn ;

(2)是否存在等比数列{an},使 bn?2 ? Sn 对任意 n ? N ? 恒成立?若存在,求出所有满足条

件的数列 {an } 的通项公式;若不存在,说明理由;

(3)若 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? ???, 求证: 0 ? Sn ? 2 .

4

1-12
13. 21

华中师大一附中 2015—2016 学年度下学期高一期中检测

参考答案

CBDAB DACDC DD

14. 1 6

15. 8

16. 1344

17.已知{an}是由正数组成的等比数列, a2 ? 2 ,且 a4 , 3a3, a5 成等差数列.

(1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)数列{an?1 ? ?an} 的前 n 项 和为 Sn ,若 Sn ? 2n ?1(n? N?) ,求实数 ? 的值.

解:(1) a4 , 3a3, a5成等差数列,6a3 ? a4 ? a5,?6 ? q ? q2 ,

q ? 0,?q ? 2

? an ? a2qn?2 ? 2 ? 2n?2 ? 2n?1 ………………………………………………5 分 (2) Sn ? (a2 ? a3 ? ? an?1) ? ?(a1 ? a2 ? ? a n ) ? (2 ? 22 ? ? 2n ) ? ?(1? 2 ? ? 2n?1)
= 2(2n ?1) ? ?(2n ?1) ? (2 ? ?)(2n ?1) ? 2n ?1

?2 ? ? ? 1,?? ? 1

………………………………………………10 分

18.如图,旅客从某旅游区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另

一种从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿

AC 匀速步行,速度为 50 米/分钟,在甲出发 2 分钟后,乙从 A 乘缆车到 B,再从 B 匀速步行到 C.假

设缆车匀速直线运动的速度为 130 米/分钟,山路 AC 长 1260 米,

经测量, cos A ? 12 , cos C ? 3 .

13

5

(1)求索道 AB 的长;

(2)问乙出发后多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

解:(1)在

?ABC中,cos A ? 12 ,cos C ? 3,?sin A ? 5 ,sin C ? 4

13

5

13

5

sin B ? sin(A ? C) ? sin Acos C ? cos C sin A ? 63 65

由正弦定理 AB ? AC , AB ? AC sin C ? 1040米

sin C sin B

sin B

所以索道 AB 的长为 1040m. ……………………………………………5 分

5

(2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,
d 2 ? (130t)2 ? 2500(t ? 2)2 ? 2 ?130t ?50(t ? 2) 12 ? 200(37t2 ? 70t ? 50) 13

? 200[37(t ? 35)2 ? 625},t ?[0,8] 37 37
当t ? 35 分时,甲乙的距离最短 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 37

19. (1)已 知 x ? 0, y ? 0 , 1 ? 2 ? 2 ,求 2x ? y 的最小值. x y ?1

(2)已知 a ? 0,b ? 0, a ? b ? 1,比较 8 ? 1 与 1 ? 1 的大小,并说明理由. a b ab

解:(1) 2x ? y ?1 ? (2x ? y ?1)( 1 ? 1 ) ? 2 ? y ?1 ? 2x ? 4 (x ? y ? 1等号成立)

2x y ?1

2x y ?1

?2x ? y ? 3, ?2x ? y 的最小值为 3 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6 分

(2) a ? b ? 1 ? 2 ab ,?ab ? 1 4

? 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ?1 ? 2 ? 8, ?8 ? 1 ? 1 ? 1 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分

a b ab ab ab

a b ab

20. 已 知 {an} 是 由 正 数 组 成 的 数 列 , 其 前 n 项 和 Sn 与 an 之 间 满 足 :

an

?

1 2

?

2Sn

?

1 4

(n

? 1, n

?

N?)



(1)求数列{an}的通项 an ;

(2)设 bn

?

(

1 2

)n

an

,求数列{bn}的前 n

项和 Tn



解:(1)

a1

?

1 2

?

1 2S1 ? 4 ,? a1 ? 1

(an

?

1)2 2

?

2Sn

?

1 4

, (an?1

?

1)2 2

?

2Sn?1

?

1 4

(n

?

2)

6

两式相减有

(an

?

1)2 2

?

(an?1

?

1)2 2

?

2an (n

?

2)

,化简有 (an

?

an ?1 )(an

?

an?1

?1)

?

0



an ? 0,? an ? an?1 ? 1,

? an ? a1 ? (n ?1)d ? n

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分

(2) bn

?

(

1 2

)n

n,?Tn

?

1 2

?

2( 1 )2 2

? 3(1)3 2

?

? n(1)n 2

1 ? 2 Tn

?

(1)2 2

?

2( 1 )3 2

?

? n(1)n?1 2

?

1 2

Tn

?

1 2

?

(1)2 2

?

? (1)n ? n(1)n?1 ? 1? (1)n ? n(1)n?1

2

2

2

2

?Tn

?

2

?

( 1 )n?1 2

?

n( 1 )n 2

?

2

?

(n

?

2)( 1 )n 2

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分

21.如图,在△ ABC 中,点 D 在边 AB 上, CD ? BC , AC ? 5 3 , CD ? 5 , BD ? 2AD .

(1)求 AD 的长;

C

(2)求△ ABC 的面积.

解:(Ⅰ) 在 ?ABC 中,因为 BD ? 2AD,设 AD ? x ,则 BD ? 2x .

A

D

B

在△ BCD 中,因为 CD ? BC , CD ? 5 , BD ? 2x ,

?cos ?CDB ? CD ? 5 . BD 2x

在?ACD中,由余弦定理有cos ?ADC ? AD2 ? CD2 ? AC2 ? x2 ? 52 ? (5 3)2 .

2? AD ? CD

2? x?5

?CDB ? ?ADC ? ? ,?cos?ADC ? ?cos?CDB ,

x2 ? 52 ? (5 3)2

5

?

??

2? x?5

2x

解得 x ? 5 .所以 AD 的长为 5 . .................................. ........6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)求得 AB ? 3x ?15, BC ? 4x2 ? 25 ? 5 3 .

?cos ?CBD ? BC ? 3 ,?sin ?CBD ? 1 .

BD 2

2

? S?ABC

?

1 2

?

AB ?

BC ? sin ?CBA

7

? 1 ?15? 5 3 ? 1 ? 75 3

2

2 4 .……………………………………………12 分

22.已知数列{an},{bn} 中, a

1?1 , bn

?

(1?

an2 a2
n?1

)

1 an?1

,n?

N?

,数列{bn}的前 n

项和为 Sn



(1)若 an ? 2n?1,求 Sn ;

(2)是否存在等比数列{an},使 bn?2 ? Sn 对任意 n ? N ? 恒成立?若存在,求出所有满足条

件的数列 {an } 的通项公式;若不存在,说明理由;

(3)若 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? ???, 求证: 0 ? Sn ? 2 .

解:(1) bn

? (1?

11 4) 2n

?

3 4

1 2n

,? Sn

?

3 (1 42

?

1 22

?

?

1 2n

)

?

3 4

(1?

(1)n 2

)

?

3 4

?

3 2n?2

............................4 分

(2)满足条件的数列{an}有且只有两个,其通项公式为 an ?1或an ? (?1)n?1

令n

? 1, S1

?

b3 ,

设 an

?

qn?1, bn

?

(1 ?

1 q2

)

1 qn

,? (1 ?

1 q2

)

1 q

?

(1?

1 q2

)

1 q3

?q ? ?1,当q ? ?1时,bn ? 0, 满足条件,an ? 1或an ? (?1)n?1 。。。。。。。。。。。8 分

(3)因1 ? a1 ? a2 ?

? an ?

,? an

?

0, 0

?

an an?1

?1

于是 0

?

an2 a2
n?1

? 1,?bn

?

(1?

an2 a2
n?1

)

1 an?1

?

0, n

? 1, 2,3,

? Sn ? b1 ? b2 ? ? bn ? 0

bn

? (1?

an2 a2
n?1

)

1 an?1

?

(1?

an )(1? an?1

an ) an?1

1 a n?1

?

(1?

an )( 1 an?1 an

?

1) an?1

an an?1

11 ? 2( ? )
a n an?1

? Sn ? b1 ? b2 ?

? bn

?

2( 1 a1

?

1 a2

?

1 a2

?

1 a3

?

1 ? 1 ) ? 2(1? 1 ) ? 2

an an?1

an?1

?0 ? Sn ? 2 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14 分

8

9


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图