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2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案:第二讲 三 反证法与放缩法


三 反证法与放缩法 对应学生用书 P24 1.反证法 (1)反证法证明的定义:先假设要证明的命题不成立,从此为出发点,结合已知条件, 应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、 性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不成立,从而证明原命题成立. (2)反证法证明不等式的一般步骤:①假设命题不成立;②依据假设推理论证;③推出 矛盾以说明假设不成立,从而断定原命题成立. 2.放缩法 (1)放缩法证明的定义: 证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证 明的目的. (2)放缩法的理论依据有: ①不等式的传递性; ②等量加不等量为不等量; ③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较. 对应学生用书 P24 利用反证法证明不等式 [例 1] 已知 f(x)=x2+px+q. 求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2; 1 (2)|f(1)|,f|(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 [ 思路点拨 ] 有”. [证明] (1)f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2. “ 不小于 ” 的反面是 “ 小于 ” , “ 至少有一个 ” 的反面是 “ 一个也没 1 (2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 , 2 则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. 而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2 矛盾, 1 ∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 (1)反证法适用范围: 凡涉及不等式为否定性命题, 唯一性、 存在性命题可考虑反证法. 如 证明中含“至多”,“至少”,“不能”等词语的不等式. (2)注意事项:在对原命题进行否定时,应全面、准确,不能漏掉情况,反证法体现了 “正难则反”的策略,在解题时要灵活应用. 1.实数 a,b,c 不全为 0 的等价条件为( A.a,b,c 均不为 0 B.a,b,c 中至多有一个为 0 C.a,b,c 中至少有一个为 0 D.a,b,c 中至少有一个不为 0 ) 解析:“不全为 0”是对“全为 0”的否定,与其等价的是“至少有一个不为 0”. 答案:D 2.证明:三个互不相等的正数 a,b,c 成等差数列,则 a,b,c 不可能成等比数列. 证明:假设 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac. 又∵a,b,c 成等差数列 ∴a=b-d,c=b+d(其中 d 公差). ∴ac=b2=(b-d)(b+d).∴b2=b2-d2. ∴d2=0,∴d=0.这与已知中 a,b,c 互不相等矛盾. ∴假设不成立.∴a,b,c 不可能成等比数列. 3.已知函数 y=f(x)在 R 上是增函数,且 f(a)+f(-b)<f(b)+f(-a),求证:a<b. 证明:假设 a<b 不成立,则 a=b 或 a>b. 当 a=b 时,-a=-b 则有 f(a)=f(b),f(-a)=f(-b),于是 f(a)+f(-b)=f(b)+f(-a) 与已知矛盾. 当 a>b 时,-a<-b,由函数 y=f(x)的单调性可得 f(a)>f(b),f(-b)>f(-a), 于是有 f(a)+f(-b)>f(b)+f(-a)与已知矛盾.故假设不成立. ∴a<b. 利用放缩法证明不等式 [例 2] 已知实数 x,y,z 不全为零.求证: 3 x2+xy+y2+ y2+yz+z2+ z2+zx+x

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