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2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案:第二讲 三 反证法与放缩法

三 反证法与放缩法 对应学生用书 P24 1.反证法 (1)反证法证明的定义:先假设要证明的命题不成立,从此为出发点,结合已知条件, 应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、 性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不成立,从而证明原命题成立. (2)反证法证明不等式的一般步骤:①假设命题不成立;②依据假设推理论证;③推出 矛盾以说明假设不成立,从而断定原命题成立. 2.放缩法 (1)放缩法证明的定义: 证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证 明的目的. (2)放缩法的理论依据有: ①不等式的传递性; ②等量加不等量为不等量; ③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较. 对应学生用书 P24 利用反证法证明不等式 [例 1] 已知 f(x)=x2+px+q. 求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2; 1 (2)|f(1)|,f|(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 [ 思路点拨 ] 有”. [证明] (1)f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2. “ 不小于 ” 的反面是 “ 小于 ” , “ 至少有一个 ” 的反面是 “ 一个也没 1 (2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 , 2 则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. 而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2 矛盾, 1 ∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 (1)反证法适用范围: 凡涉及不等式为否定性命题, 唯一性、 存在性命题可考虑反证法. 如 证明中含“至多”,“至少”,“不能”等词语的不等式. (2)注意事项:在对原命题进行否定时,应全面、准确,不能漏掉情况,反证法体现了 “正难则反”的策略,在解题时要灵活应用. 1.实数 a,b,c 不全为 0 的等价条件为( A.a,b,c 均不为 0 B.a,b,c 中至多有一个为 0 C.a,b,c 中至少有一个为 0 D.a,b,c 中至少有一个不为 0 ) 解析:“不全为 0”是对“全为 0”的否定,与其等价的是“至少有一个不为 0”. 答案:D 2.证明:三个互不相等的正数 a,b,c 成等差数列,则 a,b,c 不可能成等比数列. 证明:假设 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac. 又∵a,b,c 成等差数列 ∴a=b-d,c=b+d(其中 d 公差). ∴ac=b2=(b-d)(b+d).∴b2=b2-d2. ∴d2=0,∴d=0.这与已知中 a,b,c 互不相等矛盾. ∴假设不成立.∴a,b,c 不可能成等比数列. 3.已知函数 y=f(x)在 R 上是增函数,且 f(a)+f(-b)<f(b)+f(-a),求证:a<b. 证明:假设 a<b 不成立,则 a=b 或 a>b. 当 a=b 时,-a=-b 则有 f(a)=f(b),f(-a)=f(-b),于是 f(a)+f(-b)=f(b)+f(-a) 与已知矛盾. 当 a>b 时,-a<-b,由函数 y=f(x)的单调性可得 f(a)>f(b),f(-b)>f(-a), 于是有 f(a)+f(-b)>f(b)+f(-a)与已知矛盾.故假设不成立. ∴a<b. 利用放缩法证明不等式 [例 2] 已知实数 x,y,z 不全为零.求证: 3 x2+xy+y2+ y2+yz+z2+ z2+zx+x2> (x+y+z). 2 [思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明. [证明] = ≥ x2+xy+y2 ?x+y?2+3y2 ? 2? 4 ?x+y?2 ? 2? y y =|x+ |≥x+ . 2 2 z 同理可得: y2+yz+z2≥y+ , 2 x z2+zx+x2≥z+ , 2 由于 x,y,z 不全为零,故上述三式中至少有一式取不到等号,所以三式相加得: y ? ? z ? ? x? 3 x2+xy+y2+ y2+yz+z2+ z2+zx+x2>? ?x+2?+?y+2?+?z+2?=2(x+y+z). (1)利用放缩法证明不等式,要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式),审慎地 采取措施,进行恰当地放缩,任何不适宜的放缩都会导致推证的失败. (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法,利用放缩法证明不等式,就是采取舍掉 式中一些正项或负项,或者在分式中放大或缩小分子、分母,或者把和式中各项或某项换以 较大或较小的数,从而达到证明不等式的目的. 1 1 1 1 4.设 n 是正整数,求证: ≤ + +?+ <1. 2 n+1 n+2 2n 证明:由 2n≥n+k>n(k=1,2,?,n), 得 1 1 1 ≤ < . 2n n+k n 1 1 1 当 k=1 时, ≤ < ; 2n n+1 n 1 1 1 当 k=2 时, ≤ < ; 2n n+2 n ? 1 1 1 当 k=n 时, ≤ < , 2n n+n n ∴将以上 n 个不等式相加得: 1 n 1 1 1 n = ≤ + +?+ < =1. 2 2n n+1 n+2 2n n 5.设 f(x)=x2-x+13,a,b∈[0,1],求证: |f(a)-f(b)|<|a-b|. 证明:|f(a)-f(b)|=|a2-a-b2+b| =|(a-b)(a+b-1)|=|a-b||a+b-1| ∵0≤a≤1,0≤b≤1 ∴0≤a+b≤2, -1≤a+b-1≤1,|a+b-1|≤1. ∴|f(a)-f(b)|≤|a-b|. 对应学生用书 P25 1.如果两个正整数之积为偶数,则这两个数( A.两个都是偶数 B.一个是奇数,一个是偶数 C.至少一个是偶数 D.恰有一个是偶数 ) 解析:假设这两个数都是奇数,则这两个数的积也是奇数,这与已知矛盾,所以这两个

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