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满洲里市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

满洲里市实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 下列图象中,不能作为函数 y=f(x)的图象的是( )

姓名__________

分数__________

A.

B.

C.

D.

2. 设集合 A. D. B. C.





3. 在《张邱建算经》中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布比同数递减,初日织五尺, 末一日织一尺,计织三十日”,由此推断,该女子到第 10 日时,大约已经完成三十日织布总量的( A.33% 4. 已知 i 是虚数单位,则复数 A.﹣ + i B.﹣ + i C. ﹣ i B.49% 等于( D. ﹣ i ) C.62% ) D.88%

5. 函数 f ( x)( x ? R) 是周期为 4 的奇函数,且在 [0, 2] 上的解析式为 f ( x) = í

ì ? x(1 - x),0 #x 1 ,则 ? ? sin px,1 < x ? 2

17 41 f ( )+ f ( ) =( 4 6



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A.

7 16

B.

9 16

C.

11 16

D.

13 16

【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识,意在考查转化和化归思想和基本运算能 力. 6. 已知等差数列 A. 的公差 B. 且 成等比数列,则 C. D. ( )

7. 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问 各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且 甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题 中,甲所得为( ) A . 钱 B. 钱 C. 钱 D . 钱

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,过 F2 的直线交双曲线于 P, Q 两点且 a2 b2 5 4 ). PQ ? PF1 ,若 | PQ |? ? | PF1 | , ? ? ? ,则双曲线离心率 e 的取值范围为( 12 3 10 37 37 10 10 ] ] ,??) A. (1, B. (1, C. [ D. [ , ] 2 5 2 5 2
8. 已知双曲线 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 9. 某校新校区建设在市二环路主干道旁,因安全需要,挖掘建设了一条人行地下通道,地下通道设计三视图 中的主(正)视力(其中上部分曲线近似为抛物)和侧(左)视图如图(单位:m),则该工程需挖掘的总土 方数为( )

A.560m3

B.540m3

C.520m3

D.500m3

10.已知数列 ?an ? 是各项为正数的等比数列,点 M (2,log2 a2 ) 、 N (5,log2 a5 ) 都在直线 y ? x ? 1 上,则数列

?an ? 的前 n 项和为(
A. 2 ? 2
n


n ?1

B. 2

?2

C. 2 ? 1
n

D. 2

n ?1

?1
) D. y ? x ? z

11.已知 x, y , z 均为正实数,且 2x ? ? log 2 x , 2? y ? ? log2 y , 2? z ? log2 z ,则( A. x ? y ? z B. z ? x ? y C. z ? y ? z

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12.设双曲线焦点在 y 轴上,两条渐近线为 A.5 B. C.

,则该双曲线离心率 e=( D.



二、填空题
13.已知 Sn 是数列 { ___________. 【命题意图】 本题考查数列求和与不等式恒成立问题, 意在考查等价转化能力、 逻辑推理能力、 运算求解能力. 14.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 cm3.

n n } 的前 n 项和,若不等式 | ? ? 1 | ? S n ? n ?1 对一切 n ? N ? 恒成立,则 ? 的取值范围是 n ?1 2 2

15 . 【 徐 州 市 2018 届 高 三 上 学 期 期 中 】 已 知 函 数 ,则实数 的取值范围为______.
3 2

( 为自然对数的底数),若

16.设函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? ax 有两个不同的极值点 x1 , x2 ,且对不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立,则实数的取值范围是 . . . 17.直线 2x+3y+6=0 与坐标轴所围成的三角形的面积为

18.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=5,BC=4,AA1=3,沿该长方体对角面 ABC1D1 将其截成两部 分,并将它们再拼成一个新的四棱柱,那么这个四棱柱表面积的最大值为

三、解答题
19.已知函数 f ? x ? ? x ? bx ? a ln x .
2

(1)当函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 5x ? 5 ? 0 ,求函数 f ? x ? 的解析式; (2)在(1)的条件下,若 x0 是函数 f ? x ? 的零点,且 x0 ? ? n, n ? 1? , n ? N ,求的值;
*

?

?

(3)当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 有两个零点 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,且 x0 ?

x1 ? x2 ,求证: f ? ? x0 ? ? 0 . 2

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20.如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, E 为 AC 与 BD 的交点, PA ? 平 面 ABCD , M 为 PA 中点, N 为 BC 中点. (1)证明:直线 MN / / 平面 ABCD ; (2)若点 Q 为 PC 中点, ?BAD ? 120? , PA ? 3 , AB ? 1 ,求三棱锥 A ? QCD 的体积.

21.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面 PAB⊥平面 ABCD, (Ⅰ)求证:平面 PED⊥平面 PAC; (Ⅱ)若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 ,求二面角 A﹣PC﹣D 的平面角的余弦值.

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22.已知函数 f(x)=2x2﹣4x+a,g(x)=logax(a>0 且 a≠1). (1)若函数 f(x)在[﹣1,3m]上不具有单调性,求实数 m 的取值范围; (2)若 f(1)=g(1) ①求实数 a 的值; ②设 t1= f(x),t2=g(x),t3=2x,当 x∈(0,1)时,试比较 t1,t2,t3 的大小.

23.在△ABC 中,D 为 BC 边上的动点,且 AD=3,B= (1)若 cos∠ADC= ,求 AB 的值;



(2)令∠BAD=θ,用 θ 表示△ABD 的周长 f(θ),并求当 θ 取何值时,周长 f(θ)取到最大值?

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24.已知 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列, Sn 为数列 ?an ? 的前项和, a1 ? b1 ? 1 ,且 b3S3 ? 36 ,

b2 S2 ? 8 ( n ? N * ).
(1)求 an 和 bn ; (2)若 an ? an?1 ,求数列 ?

?

1 ? ? 的前项和 Tn . a a ? n n ?1 ?

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满洲里市实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:根据函数的定义可知,对应定义域内的任意变量 x 只能有唯一的 y 与 x 对应,选项 B 中,当 x >0 时,有两个不同的 y 和 x 对应,所以不满足 y 值的唯一性. 所以 B 不能作为函数图象. 故选 B. 【点评】 本题主要考查函数图象的识别, 利用函数的定义是解决本题的关键, 注意函数的三个条件: 非空数集, 定义域内 x 的任意性,x 对应 y 值的唯一性. 2. 【答案】B 【解析】解:集合 A 中的不等式,当 x>0 时,解得:x> ;当 x<0 时,解得:x< , 集合 B 中的解集为 x> , 则 A∩B=( ,+∞). 故选 B 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3. 【答案】B 【 解 析 】

4. 【答案】A 【解析】解:复数 故选:A. 【点评】本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 5. 【答案】C = = = ,

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6. 【答案】A 【解析】 由已知 所以 答案:A 7. 【答案】B 【解析】解:依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d, 则由题意可知,a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d,即 a=﹣6d, 又 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1, 则 a﹣2d=a﹣2× 故选:B. 8. 【答案】C
1 | ? | PF2 |? 2a , | QF 1 | ? | QF2 |? 2a ,两式相加得 【解析】如图,由双曲线的定义知, | PF





成等比数列,所以

,即 ,故选 A

=



| PF1 | ? | QF1 | ? | PQ |? 4a ,又 | PQ |? ? | PF1 | , PQ ? PF1 , ? | QF1 |? 1 ? ?2 | PF 1 |,

? | PF1 | ? | QF1 | ? | PQ |? (1 ? 1 ? ?2 ? ? ) | PF1 |? 4a ,
?| PF2 |? 2a (1 ? ? ? 1 ? ?2 ) 1 ? 1 ? ?2 ? ?
②,在

| PF1 |?

4a 1 ? 1 ? ?2 ? ? ①,

?PF1 F2 中, | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?| F1 F2 |2 ,将①②代入得

4 2a (1 ? ? ? 1 ? ?2 ) 2 4a ? ) ? 4c 2 ( )2 ? ( 2 2 ( 1 ? 1 ? ? ? ? ) 1 ? 1 ? ?2 ? ? 1 ? 1 ? ?2 ? ? ,化简得:
(1 ? ? ? 1 ? ?2 ) 2 (1 ? 1 ? ? ? ? )
2 2

? e2

5 4 , ] ,令 1 ? 1 ? ? ? ? ? t ,易知 y ? 1 ? 1 ? ? ? ? 在 12 3 上单调递减,故
2

2

[

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4 5 1 1 1 37 5 37 10 4 (2 ? t ) 2 t 2 ? 4t ? 8 t ?[ , ] ?e2 ? 2 ? ? 8( ? ) 2 ? ? [ , ] e ? [ ? , ] 2 2 3 3 , t 4 2 25 2 , 5 2 ,故答案 选 t t t
C. 9. 【答案】A 【解析】解:以顶部抛物线顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐标系,易得抛物线过点(3, ﹣1),其方程为 y=﹣ S1= 下部分矩形面积 S2=24, 故挖掘的总土方数为 V=(S1+S2)h=28×20=560m . 故选:A. 【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查,考查学生的计算能力,属于中档题. 10.【答案】C 【解析】解析:本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式. log 2 a2 ? 1 , log 2 a5 ? 4 ,∴ a2 ? 2 , a5 ? 16 , ∴ a1 ? 1 , q ? 2 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 2 ? 1 ,选 C.
n

,那么正(主)视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积 =2 =4,
3

11.【答案】A 【解析】

考 点:对数函数,指数函数性质. 12.【答案】C 【解析】解:∵双曲线焦点在 y 轴上,故两条渐近线为 y=± x, 又已知渐近线为 故双曲线离心率 e= = ,∴ = ,b=2a, = = ,

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故选 C. 【点评】 本题考查双曲线的标准方程, 以及双曲线的简单性质的应用, 判断渐近线的斜率 = , 是解题的关键.

二、填空题
13.【答案】 ?3 ? ? ? 1

1 1 1 1 , S n ? 1? ? 2 ? 2 ? … n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n?2 n?2 ?(n ? 1) ? n ?1 ? n ? n ,两式相减,得 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n ,所以 S n ? 4 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | ? 4 ? n ?1 对一切 n ? N? 恒成立,得 | ? ? 1 | ? 2 ,解得 ?3 ? ? ? 1 . 于是由不等式 | ? ? 1 2
【解析】由 S n ? 1 ? 2 ?

1 1 ? 3? 2 ? 2 2

? (n ? 1) ?

1

n?2

?n

14.【答案】 6

【解析】解:过 A 作 AO⊥BD 于 O,AO 是棱锥的高,所以 AO= 所以四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 V= 故答案为:6. 15.【答案】 【解析】令 所以 即 点睛:解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为 去掉“ ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意 16.【答案】 (??, ?1] 【解析】 与 ,则 为奇函数且单调递增,因此 =6.

=



的形式,然后根据函数的单调性 的取值应在外层函数的定义域内

?1 ? ,2 ? ?2 ? ?

3 3 2 2 试题分析:因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故得不等式 x1 ? x2 ? ?1 ? a ? x1 ? x2 ? a ? x1 ? x2 ? ? 0 ,即

?

?

x ?x ? x1 ? x2 ? ? ?? 1 2 ?

2 ? 3x1 x2 ? ? ?1 ? a ? ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? a ? x1 ? x2 ? ? 0 ,由于 ? ? ? 2 2 f ' ? x ? ? 3x ? 2 ?1 ? a ? x ? a ,令 f ' ? x ? ? 0 得方程 3x ? 2 ?1 ? a ? x ? a ? 0 ,因 ? ? 4 ? a 2 ? a ? 1? ? 0 , 故 2

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2 ? x1 ? x2 ? ? ?1 ? a ? ? 1 ? 3 2 , 代入前面不等式,并化简得 ?1 ? a ? ? 2a ? 5a ? 2 ? ? 0 ,解不等式得 a ? ?1 或 ? a ? 2 , ? 2 ?x x ? a 1 2 ? 3 ? 1 ?1 ? 因此, 当 a ? ?1 或 ? a ? 2 时, 不等式 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 成立,故答案为 (??, ?1] ? , 2 ? . 2 ?2 ?
考点:1、利用导数研究函数的极值点;2、韦达定理及高次不等式的解法. 【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法,属于难题.要解答本 题首先利用求导法则求出函数 f ? x ? 的到函数,令 f ' ? x ? ? 0 考虑判别式大于零,根据韦达定理求出

x1 ? x2 , x1x2 的值,代入不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,得到关于的高次不等式,再利用“穿针引线”即可求得实
数的取值范围.111] 17.【答案】 3 . 【解析】解:把 x=0 代入 2x+3y+6=0 可得 y=﹣2,把 y=0 代入 2x+3y+6=0 可得 x=﹣3, ∴直线与坐标轴的交点为(0,﹣2)和(﹣3,0), 故三角形的面积 S= ×2×3=3, 故答案为:3. 【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式,属基础题. 18.【答案】 114 . 【解析】解:根据题目要求得出:

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当 5×3 的两个面叠合时,所得新的四棱柱的表面积最大,其表面积为(5×4+5×5+3×4)×2=114. 故答案为:114 【点评】本题考查了空间几何体的性质,运算公式,学生的空间想象能力,属于中档题,难度不大,学会分析 判断解决问题.

三、解答题
19.【答案】(1) f ? x ? ? x2 ? x ? 6ln x ;(2) n ? 3 ;(3)证明见解析. 【解析】

试 题解析: (1) f' ( x ) ? 2 x ? b ?

? f' (1) ? 2 ? b ? a ? ?5 ?b ? ?1 a ,所以 ? , ?? x ? f (1) ? 1 ? b ? 0 ?a ? 6
6 2x2 ? x ? 6 ? , x x

∴函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? x2 ? x ? 6ln x( x ? 0) ; (2) f ( x) ? x ? x ? 6ln x ? f '( x) ? 2 x ? 1 ?
2

因为函数 f ( x ) 的定义域为 x ? 0 ,

(2 x ? 3)( x ? 2) 3 ? 0? x ? ? 或x ? 2, x 2 当 x ? (0, 2) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,
令 f '( x) ? 当 x ? (2, ??) 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增, 且函数 f ( x ) 的定义域为 x ? 0 ,

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2 (3)当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? bx ? ln x ,

2 f ( x1 ) ? x12 ? bx1 ? ln x1 ? 0 , f ( x2 ) ? x2 ? bx2 ? ln x2 ? 0 , ln x1 ? ln x2 2 2 两式相减可得 x1 ? ( x1 ? x2 ) . ? x2 ? b( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? 0 , b ? x1 ? x2 x ?x 1 1 f '( x) ? 2 x ? b ? , f '( x0 ) ? 2 x0 ? b ? ,因为 x0 ? 1 2 , x 2 x0 x ? x2 ln x1 ? ln x2 2 所以 f '( x0 ) ? 2 ? 1 ? ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2

? ?x ?? 2 ? 2 ? 1? ? ? x ln x2 ? ln x1 2( x2 ? x1 ) ? 2 1 ? 1 ? x2 ? ? ? ln ? ? 1 ? ? ?ln x2 ? ln x1 ? ?? x2 ? x2 ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? x1 ?1 ? ? x1 ? ? ? ? 2(t ? 1) x 设 2 ? t ? 1 , h(t ) ? ln t ? , t ?1 x1

1 4 (t ? 1)2 ? 4t (t ? 1) 2 ? ? ?0, t (t ? 1)2 t (t ? 1)2 t (t ? 1) 2 所以 h(t ) 在 (1, ??) 上为增函数,且 h(1) ? 0 , 1 ? 0 ,所以 f '( x0 ) ? 0 . ∴ h(t ) ? 0 ,又 x2 ? x1
∴ h '(t ) ? ?

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考点:1、导数几何意义及零点存在定理;2、构造函数证明不等式. 【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式,属于难题.涉及函数的零点 问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变 化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、 交点的情况, 归根到底还是研究函数的性质, 如单调性、 极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 20.【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】

1 . 8

试题解析:(1)证明:取 PD 中点 R ,连结 MR , RC , ∵ MR / / AD , NC / / AD , MR ? NC ? ∴ MR / / NC , MR ? AC , ∴四边形 MNCR 为平行四边形, ∴ MN / / RC ,又∵ RC ? 平面 PCD , MN ? 平面 PCD , ∴ MN / / 平面 PCD . (2)由已知条件得 AC ? AD ? CD ? 1 ,所以 S?ACD ? 所以 VA?QCD ? VQ ? ACD ?

1 AD , 2

3 , 4

1 1 1 ? S ?ACD ? PA ? . 3 2 8

考点:1、直线与平面平行的判定;2、等积变换及棱锥的体积公式. 21.【答案】

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【解析】解:(Ⅰ)∵平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,AB⊥PA ∴PA⊥平面 ABCD 结合 AB⊥AD,可得 分别以 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系 o﹣xyz,如图所示… 可得 A(0,0,0)D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0), P(0,0,λ ) ∴ 得 ∴DE⊥AC 且 DE⊥AP, ∵AC、AP 是平面 PAC 内的相交直线,∴ED⊥平面 PAC. ∵ED?平面 PED∴平面 PED⊥平面 PAC (Ⅱ)由(Ⅰ)得平面 PAC 的一个法向量是 设直线 PE 与平面 PAC 所成的角为 θ , 则 得 λ = ±2 ∵λ >0,∴λ =2,可得 P 的坐标为(0,0,2) 设平面 PCD 的一个法向量为 =(x0,y0,z0), , , 解之 , (λ >0) , , , ,





,得到 =(1,﹣1,﹣1)



令 x0=1,可得 y0=z0=﹣1,得 ∴cos< ,

由图形可得二面角 A﹣PC﹣D 的平面角是锐角, ∴二面角 A﹣PC﹣D 的平面角的余弦值为 .

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【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直,并且在线面所成角的正弦情况下求二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值.着 重考查了线面垂直、 面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法, 属于中 档题. 22.【答案】 【解析】解:(1)因为抛物线 y=2x2﹣4x+a 开口向上,对称轴为 x=1, 所以函数 f(x)在(﹣∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, 因为函数 f(x)在[﹣1,3m]上不单调, 所以 3m>1,…(2 分) 得 ,…(3 分)

(2)①因为 f(1)=g(1),所以﹣2+a=0,…(4 分) 所以实数 a 的值为 2.… ②因为 t1= f(x)=x2﹣2x+1=(x﹣1)2, t2=g(x)=log2x, t3=2x, 所以当 x∈(0,1)时,t1∈(0,1),…(7 分) t2∈(﹣∞,0),…(9 分) t3∈(1,2),…(11 分) 所以 t2<t1<t3.…(12 分) 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键. 23.【答案】 【解析】(本小题满分 12 分) 解:(1)∵ ∴ ∴ ∵ , …2 分(注:先算∴sin∠ADC 给 1 分) ,…3 分 ,

∴ (2)∵∠BAD=θ,

,…5 分

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∴ 由正弦定理有 ∴ ∴ = 当 ,即

,…6 ,…7 分 ,…8 分 ,…10 分 ,…11 分 时 f(θ)取到最大值 9.…12 分

【点评】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式,正弦定理,三角函数恒等变换的应用,正弦函 数的图象和性质在解三角形中的应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题. 24.【答案】(1) an ? 2n ? 1, bn ? 2n?1 或 an ? 【解析】

1 n (5 ? 2n) , bn ? 6n?1 ;(2) . 3 2n ? 1

试题解析:(1)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为,

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2 ? ?q 2 (3 ? 3d ) ? 36, ?d ? 2, ?d ? ? , 由题意得 ? 解得 ? 或? 3 ?q ? 2, ?q ? 6. ?q(2 ? d ) ? 8, ? 1 ∴ an ? 2n ? 1, bn ? 2n?1 或 an ? (5 ? 2n) , bn ? 6n?1 . 3 (2)若 an ? an +1 ,由(1)知 an ? 2n ? 1, 1 1 1 1 1 ∴ ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 n ? )? ∴ Tn ? (1 ? ? ? ? … ? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
考点:1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式;2、裂项相消法求和的应用.

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