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高一数学下学期全册模块复习课件+配套单元过关检测及综合质量检测 (17)

3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程

1.直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式 斜截式

已知 条件
图示

点P(x0, y0)和斜率k

斜率k和直线在y轴 b 上的截距__

点斜式
方程 形式 适用 条件 k(x-x0) y-y0=_______ 斜率存在

斜截式
y=kx+b _______

2.直线在y轴上的截距 纵坐标b 定义:直线l与y轴交点(0,b)的________.

符号:可正,可负,也可为零.

【点拨】 (1)使用直线的点斜式方程的前提条件

①已知一点P0(x0,y0)和斜率k.
②斜率必须存在. 只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程.

(2)直线的点斜式方程形式的关注点
y ? y0 ①方程y-y0=k(x-x0)与方程k= x ? x 不是等价的,前者 0

是整条直线,后者表示去掉点P0(x0,y0)的一条直线.
②当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点 (x0,y0)的无数条直线.

(3)点斜式与斜截式的关系 ①直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定

点P(0,b).它们都不能表示斜率不存在的直线.
②在直线方程的各种形式中,点斜式是最基本的形式, 它是推导其他形式的基础.

【自我检测】 1.直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是

(
A.2 B.-1 C.3 D.-3

)

【解析】选C.由直线的点斜式的定义可知,直线的斜率

k=3.

2.过点P(-2,0),斜率为3的直线的方程是 A.y=3x-2 B.y=3x+2

(

)

C.y=3(x-2)

D.y=3(x+2)

【解析】选D.由点斜式方程可知,直线的方程为 y-0=3(x+2),即y=3(x+2).

3.倾斜角为135°,在y轴上的截距为-1的直线方程是 ( )

A.y=x+1
C.y=-x+1

B.y=x-1
D.y=-x-1

【解析】选D.因为倾斜角为135°,所以k=tan135°=-1.

所以直线方程为y=-x-1.

4.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有 A.k>0,b>0 B.k>0,b<0

(

)

C.k<0,b>0

D.k<0,b<0

【解析】选B.因为直线经过一、三、四象限,由图 知,k>0,b<0.

5.已知两条直线y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行,则a等 于 ( )

A.2

B.1

C.0

D.-1

【解析】选B.由题意,得a=2-a,所以a=1.

6.已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2:y=x+1垂直,则l1的 点斜式方程为________.

【解析】直线l2的斜率k2=1,故l1的斜率为-1,所以l1的
点斜式方程为y-1=-(x-2). 答案:y-1=-(x-2)

类型一

求直线的点斜式方程

【典例】1.一条直线经过点(2,5),倾斜角为45°,则这

条直线的点斜式方程为____________.
2.经过点(-5,2)且平行于y轴的直线方程为_________.

3.求经过点(2,-3),倾斜角是直线y= 1 x倾斜角的2倍
3

的直线的点斜式方程.

【审题路线图】给出一点及斜率或倾斜角?直线方程

的点斜式
【解析】1.因为倾斜角为45°, 所以斜率k=tan45°=1,

所以直线的方程为y-5=x-2.
答案:y-5=x-2

2.因为直线平行于y轴,所以直线不存在斜率,

所以方程为x=-5.
答案:x=-5

3.因为直线y=

1 x的斜率为 1 , 3 3

所以倾斜角为30°.
所以所求直线的倾斜角为60°,其斜率为 3 . 所以所求直线方程为y+3= 3 (x-2).

【方法技巧】求直线的点斜式方程的步骤

提醒:斜率不存在时,过点P(x0,y0)的直线与x轴垂直,

直线上所有点的横坐标相等,都为x0,故直线方程为
x=x0.

【变式训练】求满足下列条件的直线的点斜式方程.

(1)过点P(-4,3),斜率k=-3.
(2)过点P(3,-4),且与x轴平行. (3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.

【解析】(1)因为直线过点P(-4,3),斜率k=-3,

由直线方程的点斜式得直线方程为y-3=-3(x+4).
(2)与x轴平行的直线,其斜率k=0,由直线方程的点斜式 可得直线方程为y-(-4)=0×(x-3).

(3)过点P(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率

kPQ= ?4 ? 3 = ?7 =-1.
5 ? ? ?2 ? 7

又因为直线过点P(-2,3), 所以直线的点斜式方程为y-3=-(x+2).

【补偿训练】1.已知直线方程y-3= 3 (x-4),则这条直

线经过的定点、倾斜角分别为
A.(4,3),60° C.(4,3),30°

(

)

B.(-3,-4),30° D.(-4,-3),60°

【解析】选A.由直线的点斜式方程易知直线过点(4,3),

且斜率为 3 ,所以倾斜角为60°.

2.直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得

直线l,则直线l的点斜式方程为________.

【解析】直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°.由

题意知,直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率
k′=tan135°=-1,又点P(3,4)在直线l上,由点斜式方 程知,直线l的方程为y-4=-(x-3).

答案:y-4=-(x-3)

类型二

求直线的斜截式方程

【典例】1.倾斜角为150°,在y轴上的截距是-3的直线
的斜截式方程为____________. 2.已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直

线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.

【审题路线图】直线的斜截式方程?确定直线的斜率

k?确定直线在y轴上的截距b?得方程y=kx+b

【解析】1.因为倾斜角α =150°,所以斜率

k=tan150°= ? 3 ,
由斜截式可得所求的直线方程为y=- 3 x-3.
3 3

答案:y=-

3 x-3 3

2.由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,所

以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,所
以l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为 y=-2x-2.

【延伸探究】

1.若将典例2中“直线l与l1平行”改为“直线l与l1垂
直”,其他条件不变,又如何求解?

【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为

l⊥ l1 ,
1 1 所以l的斜率k= ? ? . 由题意知l2在y轴上的截距为-2, k1 2

所以l在y轴上的截距b=-2,
1 由斜截式可得直线l的方程为y= x-2. 2

2.若将典例2中“且与l2在y轴上的截距相同”改为“且

与l2在y轴上的截距互为相反数”,又如何求解?

【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为

l∥l1,所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距
为-2,所以l在y轴上的截距b=2,由斜截式可得直线l的方 程为y=-2x+2.

【方法技巧】求直线的斜截式方程的策略

(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适
用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上, 就可以直接用斜截式表示.

(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要
确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可.

(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,

只需引入参数b;同理,如果已知截距b,只需引入参数k.

【拓展延伸】对截距的理解

(1)直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的.直线与y
轴的交点(0,b)的纵坐标b称为此直线的纵截距,值得强 调的是,截距是坐标,它可能是正数,也可能是负数,还

可能是0,不能将其理解为“距离”而恒为非负数.

(2)直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横

截距.并不是每条直线都有横截距和纵截距,如直线x=1
没有纵截距,直线y=2没有横截距.

【补偿训练】1.根据条件写出下列直线的斜截式方程.

(1)斜率为2,在y轴上的截距是5.
(2)经过点(3,4)且在两坐标轴上的截距相等.

【解析】(1)由直线方程的斜截式可知,所求直线的斜

截式方程为y=2x+5.
(2)设直线在两坐标轴上的截距为a, 当a=0时,直线的斜截式方程为y= 4 x.
3

当a≠0时,设直线的斜截式方程为
y=-x+b,则有4=-3+b,即b=7.

此时方程为y=-x+7,

故所求直线方程为y= 4 x或y=-x+7.
3

2.写出斜率为2,在y轴上截距为m的直线方程,当m为何

值时,直线过点(1,1)?
【解析】由直线方程的斜截式,得直线方程为y=2x+m. 因为直线过点(1,1),将x=1,y=1代入方程y=2x+m得

1=2×1+m,所以m=-1.

类型三

两直线垂直和平行的应用

【典例】1.若直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂
直,则a=________.
1 2 2.若直线l1:y=- x- 与直线l2:y=3x-1互相平行,则 a a

a=________.

【审题路线图】两直线的方程,且方程中含有参数?

l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2,l1⊥l2?k1· k2=-1

【解析】1.由题意可知,k1=2a-1,k2=4.

因为l1⊥l2,
所以4(2a-1)=-1,
3 解得a= . 8 3 答案: 8

? 2 ? ? 3, 2.由题意可知 ? 2 ? a 解得 a =- . ? 3 ?? 1 ? ?1, ? ? a 答案:- 2 3

【方法技巧】两条直线平行和垂直的判定

(1)平行的判定.

(2)垂直的判定.

【变式训练】1.经过点(1,1),且与直线y=2x+7平行的

直线的方程为______________.
【解析】由y=2x+7得k1=2,由两直线平行知k2=2.所以 所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.

答案:2x-y-1=0

2.(2018· 郑州高一检测)已知△ABC的三个顶点分别是

A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的高所在直线的斜
截式方程为____________.

【解析】设BC边上的高为AD,则BC⊥AD,
3k =-1, 所以kBC·kAD=-1.所以 2 ? · AD 0?3

解得kAD= 3 .
5

3 所以BC边上的高所在直线的方程是y-0= (x+5). 5 即y= 3 x+3. 5 3 答案:y= x+3 5

【补偿训练】当a为何值时,直线l1:y=(a+3)x-2a与直

线l2:y=(a2-a)x+2平行?

【解析】由题可知,k1=a+3,k2=a2-a.
?a ? 3 ? a 2 ? a, 因为l1∥l2,所以 ? ??2a ? 2,

解得a=3. 故当a=3时,直线l1:y=(a+3)x-2a与直线l2:y=(a2-a)x+2

平行.

【核心素养培优区】

【易错案例】忽视两条直线平行的条件
【典例】(2018· 桂林高一检测)若直线l1:y=-x+2a与直 线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a的值为__±1__.

【失误案例】由题意,得a2-2=-1,所以a=±1.

【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处.

提示:本题错误的根本原因是解法只注意到两直线平行

时斜率相等,而忽视了斜率相等的两直线还可能重合.
要解决两直线平行的问题,一定要注意检验,看看两直 线是否重合.

【自我纠正】因为l1∥l2,所以a2-2=-1且2a≠2,

解得a=-1.
答案:-1


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