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五营区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

五营区第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概率是( A. B. C. D. + +…+ =( ) )

姓名__________

分数__________

2. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=n2+2n(n∈N*),则 A. B. C. D.

3. 设双曲线焦点在 y 轴上,两条渐近线为 A.5 B. C.

,则该双曲线离心率 e=( D.



4. 如图所示,网格纸表示边长为 1 的正方形,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( ) B. 6 10 +3 5 +14 D. 4 10 + 3 5 +15 A. 6 10 + 3 5 +15 C. 6 10 + 3 5 +15

【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识,意在考查空间想象能力和基本运算能力. 5. 函数 f ( x) = ln x + A. (0,??)

1 2 x + ax 存在与直线 3x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( 2 B. (??,2) C. (2,??) D. (??,1]



【命题意图】 本题考查导数的几何意义、 基本不等式等基础知识, 意在考查转化与化归的思想和基本运算能力. 6. 为了解决低收入家庭的住房问题,某城市修建了首批 108 套住房,已知 A, B, C 三个社区分别有低收入家 庭 360 户,270 户,180 户,现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数,则应从 C 社 区抽取低收入家庭的户数为( )

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A.48

B.36

C.24

D.18

【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用,在抽样考查中突出在实际中的应用,属于容易题. 7. 在三角形 A. 中,若 B. C. ) ,则 的大小为( ) D.

8. “x2﹣4x<0”的一个充分不必要条件为( A.0<x<4 B.0<x<2 C.x>0 D.x<4 9. 下列说法正确的是( ) A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤

10. 已知 a ? ?2 , 若圆 O1 :x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2ay ? 8a ? 15 ? 0 , 圆 O2 :x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? a 2 ? 4a ? 4 ? 0 恒有公共点,则 a 的取值范围为( A. (?2,?1] ? [3,??) ). B. ( ? ,?1) ? (3,?? ) ) C. 60 ) C.0.3 D.0.4 D. 30

5 3

C. [ ? ,?1] ? [3,?? )

5 3

D. (?2,?1) ? (3,??)

11.直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为( A. 150 A.0.1 B.0.2 B. 120
2

12.如果随机变量 ξ~N (﹣1,σ ),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,则 P(ξ≥1)等于(

二、填空题

x ? 2 x , x ? 0, 13.【2017-2018 第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数 f ? x ? ? { x 在其定义域上恰有两 ? lnx, x ? 0 a
个零点,则正实数 a 的值为______. 14.已知函数 f(x)=xm 过点(2, ),则 m= 15.若直线 y﹣kx﹣1=0(k∈R)与椭圆 . 恒有公共点,则 m 的取值范围是 . .

16.函数 f(x)=2ax+1﹣3(a>0,且 a≠1)的图象经过的定点坐标是 17.如图所示,圆 C 中,弦 AB 的长度为 4 ,则 AB ×AC 的值为_______.

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C A B

【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识,意在考查对概念理解和转化化归的数学思想. 18.若函数 f(x),g(x)满足:?x∈(0,+∞),均有 f(x)>x,g(x)<x 成立,则称“f(x)与 g(x) f x) =ax 与 g =logax 关于 y=x 分离”. 已知函数 ( (x) (a>0, 且 a≠1) 关于 y=x 分离, 则 a 的取值范围是 .

三、解答题
19.已知函数 .

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1))处的切线与直线 y=x+2 垂直,求函数 y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对于?x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a﹣1)成立,试求 a 的取值范围;
1 (Ⅲ)记 g(x)=f(x)+x﹣b(b∈R).当 a=1 时,函数 g(x)在区间[e﹣ ,e]上有两个零点,求实数 b 的取

值范围.

20.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,

.若

,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值范围为 A[ B[ C[ ]
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] ]

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D[

]

21.(本小题满分 12 分) 数列 {bn } 满足: bn?1 ? 2bn ? 2 , bn ? an?1 ? an ,且 a1 ? 2, a2 ? 4 . (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an } 的前项和 Sn .

22.解关于 x 的不等式 12x2﹣ax>a2(a∈R).

23.2015 年第 7 届女足世界杯在加拿大埃德蒙顿联邦体育场打响,某连锁分店销售某种纪念品,每件纪念品 的成本为 4 元,并且每件纪念品需向总店交 3 元的管理费,预计当每件纪念品的售价为 x 元(7≤x≤9)时,一
2 年的销售量为(x﹣10) 万件.

(Ⅰ)求该连锁分店一年的利润 L(万元)与每件纪念品的售价 x 的函数关系式 L(x); (Ⅱ)当每件纪念品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值.

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24.本小题满分 10 分选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程选讲

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xoy 中,直线的参数方程为 ? 为参数,在极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2 度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . Ⅰ求圆 C 的圆心到直线的距离;
Ⅱ设圆 C 与直线交于点 A、B ,若点 P 的坐标为 (3 , 5) ,求 PA ? PB .

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五营区第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5), (1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共 10 个, 取出的 3 个数可作为三角形的三边边长,根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有(2,3,4), (2,4,5),(3,4,5)共 3 个, 故取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概率 P= 故选:A. 【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法,关键是不重不漏的列举出所有的基本事件. 2. 【答案】D
2 * 2 2 【解析】解:∵Sn=n +2n(n∈N ),∴当 n=1 时,a1=S1=3;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n +2n)﹣[(n﹣1) +2



(n﹣1)]=2n+1. ∴ ∴ = = ﹣ . + = +…+ = = + , +…+

故选:D. 【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 3. 【答案】C 【解析】解:∵双曲线焦点在 y 轴上,故两条渐近线为 y=± x, 又已知渐近线为 故双曲线离心率 e= = 故选 C. 【点评】 本题考查双曲线的标准方程, 以及双曲线的简单性质的应用, 判断渐近线的斜率 = , 是解题的关键. ,∴ = ,b=2a, = = ,

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4. 【答案】C 【解析】还原几何体,由三视图可知该几何体是四棱锥,且底面为长 6 ,宽 2 的矩形,高为 3,且 VE ^ 平面

1 1 1 ABCD , 如 图 所 示 , 所 以 此 四 棱 锥 表 面 积 为 S = 2 创 6 ? 10 + 创 2 3+ 创 2 2 2 2

45 + 2 ? 6

= 6 10 + 3 5 +15 ,故选 C.
V 46 C 46 2 6 B

10

10 3 D E 1 1

A

5. 【答案】D 【解析】因为 f ?( x) ? 因为 x +

1 1 ? x ? a ,直线的 3x ? y ? 0 的斜率为 3 ,由题意知方程 ? x ? a ? 3 ( x > 0 )有解, x x

1 ? 2 ,所以 a ? 1 ,故选 D. x 6. 【答案】 C
【解析】根据分层抽样的要求可知在 C 社区抽取户数为 108 ? 7. 【答案】A 【解析】 由正弦定理知 则有 答案:A 8. 【答案】B 【解析】解:不等式 x ﹣4x<0 整理,得 x(x﹣4)<0 ∴不等式的解集为 A={x|0<x<4}, 因此,不等式 x ﹣4x<0 成立的一个充分不必要条件,
2 2

180 2 ? 108 ? ? 24 . 360 ? 270 ? 180 9

,不妨设 ,所以 ,故选 A







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对应的 x 范围应该是集合 A 的真子集. 写出一个使不等式 x ﹣4x<0 成立的充分不必要条件可以是:0<x<2, 故选:B. 9. 【答案】C 【解析】解:因为归纳推理是由部分到整体的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理;演绎推理是由一般到特 殊的推理;合情推理的结论不一定正确,不可以作为证明的步骤, 故选 C. 【点评】本题考查合情推理与演绎推理,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 10.【答案】C
2

【解析】由已知,圆 O1 的标准方程为 ( x ? 1) ? ( y ? a) ? (a ? 4) ,圆 O2 的标准方程为
2 2 2 2 2 ( x ? a) ? ( y ? a2 ) ? (a ? 2 ) a ? ?2 ,要使两圆恒有公共点,则 2 ?| O1O2 |? 2a ? 6 ,即 ,∵

5 ? a ? ?1 2 ?| a ? 1 |? 2a ? 6 ,解得 a ? 3 或 3 ,故答案选 C ?
11.【答案】C 【解析】 试题分析:由直线 3x ? y ? 1 ? 0 ,可得直线的斜率为 k ? 3 ,即 tan ? ? 3 ? ? ? 60 ,故选 C.1 考点:直线的斜率与倾斜角. 12.【答案】A
2 【解析】解:如果随机变量 ξ~N(﹣1,σ ),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,

∵P(﹣3≤ξ≤﹣1) = ∴ ∴P(ξ≥1)= .

【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似的服 从正态分布,正态分布在概率和统计中具有重要地位.

二、填空题
13.【答案】 e

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【解析】考查函数 f ? x ? ? {

x ? 2x ? x ? 0? ax ? lnx

,其余条件均不变,则:

当 x?0 时,f(x)=x+2x,单调递增, f(?1)=?1+2?1<0,f(0)=1>0, 由零点存在定理,可得 f(x)在(?1,0)有且只有一个零点; 则由题意可得 x>0 时,f(x)=ax?lnx 有且只有一个零点,

lnx 有且只有一个实根。 x lnx 1 ? lnx , g '? x? ? 令 g ? x? ? , x x2
即有 a ? 当 x>e 时,g′(x)<0,g(x)递减; 当 0<x<e 时,g′(x)>0,g(x)递增。 即有 x=e 处取得极大值,也为最大值,且为

1 , e

如图 g(x)的图象,当直线 y=a(a>0)与 g(x)的图象 只有一个交点时,则 a ?

1 . e

回归原问题,则原问题中 a ? e .

点睛: (1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然 后代入该段的解析式求值, 当出现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的 值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 14.【答案】 ﹣1 .

【解析】解:将(2, )代入函数 f(x)得: 解得:m=﹣1; 故答案为:﹣1.

=2m,

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题,是一道基础题. 15.【答案】 [1,5)∪(5,+∞) .

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【解析】解:整理直线方程得 y﹣1=kx, ∴直线恒过(0,1)点,因此只需要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上即可, 由于该点在 y 轴上,而该椭圆关于原点对称, 故只需要令 x=0 有 5y2=5m 2 得到 y =m 要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上,则 y≥1 即是 y2≥1 得到 m≥1 ∵椭圆方程中,m≠5 m 的范围是[1,5)∪(5,+∞) 故答案为[1,5)∪(5,+∞) 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.本题采用了数形结合的方法,解决问题较为直观.

16.【答案】 (﹣1,﹣1) . 【解析】解:由指数幂的性质可知,令 x+1=0 得 x=﹣1,此时 f(﹣1)=2﹣3=﹣1, 即函数 f(x)的图象经过的定点坐标是(﹣1,﹣1), 故答案为:(﹣1,﹣1). 17.【答案】 8

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18.【答案】 (

,+∞) .

【解析】解:由题意,a>1.
x 故问题等价于 a >x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立. x x 构造函数 f(x)=a ﹣x,则 f′(x)=a lna﹣1,

由 f′(x)=0,得 x=loga(logae), x>loga(logae)时,f′(x)>0,f(x)递增; 0<x<loga(logae),f′(x)<0,f(x)递减. 则 x=loga(logae)时,函数 f(x)取到最小值, 故有 故答案为:( ﹣loga(logae)>0,解得 a> ,+∞). .

【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化,从而利用导数求函数的最值求出参数的范围.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)直线 y=x+2 的斜率为 1,函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 因为 所以, ,所以, , ,所以,a=1. . 由 f'(x)>0 解得 x>2;由 f'(x)<0,解得 0<x<2.

所以 f(x)的单调增区间是(2,+∞),单调减区间是(0,2). (Ⅱ) ,由 f'(x)>0 解得 ; 由 f'(x)<0 解得 .

所以,f(x)在区间 所以,当 成立, 所以,

上单调递增,在区间

上单调递减. .因为对于?x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a﹣1)

时,函数 f(x)取得最小值,

即可. 则

. 由

解得



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所以,a 的取值范围是 (Ⅲ) 依题得 由 g'(x)>0 解得 x>1;

. ,则 由 g'(x)<0 解得 0<x<1. .

所以函数 g(x)在区间(0,1)为减函数,在区间(1,+∞)为增函数. 又因为函数 g(x)在区间[e﹣ ,e]上有两个零点,所以
1



解得



所以,b 的取值范围是



【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系,利用导数求函数的单调区间以及函数的最值.

20.【答案】B 【解析】 当 x≥0 时,

f(x)=



由 f(x)=x﹣3a2,x>2a2,得 f(x)>﹣a2; 当 a2<x<2a2 时,f(x)=﹣a2; 由 f(x)=﹣x,0≤x≤a2,得 f(x)≥﹣a2。 ∴当 x>0 时, ∵函数 f(x)为奇函数, ∴当 x<0 时, 。 。

∵对?x∈R,都有 f(x﹣1)≤f(x), ∴2a2﹣(﹣4a2)≤1,解得: 故实数 a 的取值范围是 21.【答案】(1) bn ? 2 【解析】 试题分析:(1)已知递推公式 bn?1 ? 2bn ? 2 ,求通项公式,一般把它进行变形构造出一个等比数列,由等比
n?1

。 。

? 2 ;(2) Sn ? 2n?2 ? (n2 ? n ? 4) .

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数列的通项公式可得 bn ,变形形式为 bn?1 ? x ? 2(bn ? x) ;(2)由(1)可知 an ? an?1 ? bn ? 2n ? 2(n ? 2) , 这是数列 {an } 的后项与前项的差,要求通项公式可用累加法,即由 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ?

?(a2 ? a1 ) ? a1 求得.
试题解析:(1) bn?1 ? 2bn ? 2 ? bn?1 ? 2 ? 2(bn ? 2) ,∵ 又 b1 ? 2 ? a2 ? a1 ? 2 ? 4 ,

bn?1 ? 2 ? 2, bn ? 2

∴ an ? (2 ? 2 ? 2 ?
2 3

? 2 n ) ? 2n ? 2 ?

2(2n ? 1) ? 2n ? 2 ? 2n?1 ? 2n . 2 ?1

∴ Sn ?

4(1 ? 2n ) n(2 ? 2n) ? ? 2n? 2 ? (n2 ? n ? 4) . 1? 2 2

考点:数列的递推公式,等比数列的通项公式,等比数列的前项和.累加法求通项公式. 22.【答案】
2 2 【解析】解:由 12x ﹣ax﹣a >0?(4x+a)(3x﹣a)>0?(x+ )(x﹣ )>0,

①a>0 时,﹣ < ,解集为{x|x<﹣ 或 x> }; ②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; ③a<0 时,﹣ > ,解集为{x|x< 或 x>﹣ }. 综上,当 a>0 时,﹣ < ,解集为{x|x<﹣ 或 x> };
2 当 a=0 时,x >0,解集为{x|x∈R 且 x≠0};

当 a<0 时,﹣ > ,解集为{x|x< 或 x>﹣ }.

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23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)该连锁分店一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为: L(x)=(x﹣7)(x﹣10)2,x∈[7,9],
2 (Ⅱ)L′(x)=(x﹣10) +2(x﹣7)(x﹣10)=3(x﹣10)(x﹣8),

令 L′(x)=0,得 x=8 或 x=10(舍去), ∵x∈[7,8],L′(x)>0,x∈[8,9],L′(x)<0, ∴L(x)在 x∈[7,8]上单调递增,在 x∈[8,9]上单调递减, ∴L(x)max=L(8)=4; 答:每件纪念品的售价为 8 元,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 4 万元. 【点评】本题考查了函数的解析式问题,考查函数的单调性、最值问题,是一道中档题. 24.【答案】 【解析】Ⅰ∵ C : ? ? 2 5 sin ? ∴ C : ? 2 ? 2 5? sin ? ∴ C : x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 ,即圆 C 的标准方程为 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5 . 直线的普通方程为 x ? y ? 5 ? 3 ? 0 . 所以,圆 C 的圆心到直线的距离为

0? 5 ? 5 ?3

2 2 2 ? ?x ? 1 ? ? ?x ? 2 ? x ? ( y ? 5) ? 5 Ⅱ由 ? ,解得 ? 或? ? ? ?y ? 5 ? 2 ? ? y ? 5 ?1 ? y ? ?x ? 5 ? 3
所以

?

3 2 2



| PA | ? | PB |? (3 ? 1) 2 ? ( 5 ? 5 ? 2) 2 ? (3 ? 2) 2 ? ( 5 ? 5 ? 1) 2 ? 3 2

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