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奇数、偶数、质数、合数(一)


数学奥赛讲稿 周沛耕 初等数论 奇数、偶数、质数、合数(一) 知识、方法、技能 Ⅰ.整数的奇偶性 将全体整数分为两类,凡是 2 的倍数的数称为偶数,否则称为奇数.因此,任一偶数 可表为 2m(m∈Z) ,任一奇数可表为 2m+1 或 2m-1 的形式.奇、偶数具有如下性质: (1)奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数; 奇数±偶数=奇数;偶数×偶数=偶数; 奇数×偶数=偶数;奇数×奇数=奇数; (2)奇数的平方都可表为 8m+1 形式,偶数的平方都可表为 8m 或 8m+4 的形式(m ∈Z). (3)任何一个正整数 n,都可以写成 n ? 2 l 的形式,其中 m 为非负整数,l 为奇数. m 这些性质既简单又明显,然而它却能解决数学竞赛中一些难题. Ⅱ.质数与合数、算术基本定理 大于 1 的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类. 一个大于 1 的整数,如果除了 1 和它自身以外没有其他正因子,则称此数为质数或 素数,否则,称为合数. 显然,1 既不是质数也不是合数;2 是最小的且是惟一的偶质数. 定理: (正整数的惟一分解定理,又叫算术基本定理)任何大于 1 的整数 A 都可以分 解成质数的乘积,若不计这些质数的次序,则这种质因子分解表示式是惟一的,进而 A 可以写成标准分解式: A ? p1 1 ? p2 2 ? pn a a an (*). 其中 p1 ? p2 ? ? ? pn , pi 为质数, ? i 为非负整数,i=1,2,…,n. 【略证】由于 A 为一有限正整数,显然 A 经过有限次分解可分解成若干个质数的乘 积,把相同的质因子归类整理可得如(*)的形式(严格论证可由归纳法证明).余下只需 证惟一性. 设另有 A ? q1 ?1 ? q2 2 ?qn m , 其中q1 ? q2 ? ? ? qm , q j 为质数, ? i 为非负整数, ? ? j=1,2,…,m.由于任何一 pi 必为 q j 中之一,而任一 q j 也必居 pi 中之一,故 n=m.又因 p1 ? p2 ? ? ? pn , q1 ? q2 ? ? qn , 则有pi ? qi (i ? 1,2,?, n) ,再者,若对某个 i, ? i ? ? i (不妨设 ? i ? ? i ) ,用 p i i 除等式 p1 2 p21 ? pn n ? p1 1 ? p2 2 ? pn n 两端得: a a a ? ? ? ? ?n ?1 p1 ? pi?i ??i ? pn ? p1 1 ? pi?1 ? ?i ?1 ? pi?1 ?i ?1 ?n ? pn . 此式显然不成立(因左端是 pi 的倍数,而右端不是).故 ? i ? ? i 对一切 i=1,2,…,n 均成立.惟一性得证. 推论: (合数的因子个数计算公式)若 A ? p1 1 p2 2 ? pn n 为标准分解式,则 A 的所 有因子 (包括 1 和 A 本身) 的个数等于 (?1 ? 1)(? 2 ? 1)?(? n ? 1).(简记为 ? ? ? ? ? ? (? i ?1 n i ? 1) ) 2 2 2 这是因为,乘积 (1 ? p1 ? p1 ? ?? p1 1 ) ? (1 ? p2 ? p2 ? ?? p2 2 )?(1 ? pn ? pn n ?n ? ? ? pn ) 的每一项都是 A 的一个因子,故共有 ? (? i ? 1) 个. i ?1 定理:质数的个数是无穷的. 【证明】假定质数的个数只有有限多

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