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(智慧测评)2015届高考数学大一轮总复习 第3篇 第5节 三角恒等变换课时训练 理 新人教A版


(智慧测评) 2015 届高考数学大一轮总复习 第 3 篇 第 5 节 三角恒 等变换课时训练 理 新人教 A 版

一、选择题 1.计算 sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值为( A.- C. 3 2 2 2 B. 2 2 )

D.1

解析:sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68° =sin 68°cos 23°-cos 68°sin 23° =sin(68°-23°)=sin 45° = 2 . 2

故选 B. 答案:B π 2 2.(2014 淄博模拟)已知 cos(α - )= ,则 sin 2α 等于( 4 4 A. C. 2 4 3 4 B.- 2 4 )

3 D.- 4

π 2 解析:法一 ∵cos(α - )= , 4 4 ∴ 2 2 2 cos α + sin α = , 2 2 4

1 ∴cos α +sin α = , 2 1 ∴1+sin 2α = , 4 3 ∴sin 2α =- . 4 故选 D. 法二 sin 2α =cos(2α - π ) 2

1

π 2( =2cos α - )-1 4 =2×( 3 =- . 4 故选 D. 答案:D 1 2 sin 35°- 2 3.化简 等于( cos 10°cos 80° A.-2 C.-1 2 2 ) -1 4

) 1 B.- 2 D.1

1 1-cos 70° 1 1 2 sin 35°- - - cos 70° 2 2 2 2 解析: = = =-1. cos 10°cos 80° cos 10°sin 10° 1 sin 20° 2 故选 C. 答案:C π π 4.当- ≤x≤ 时,函数 f(x)=sin x+ 3cos x 的( 2 2 A.最大值是 1,最小值是-1 B.最大值是 1,最小值是- 1 2 )

C.最大值是 2,最小值是-2 D.最大值是 2,最小值是-1 π 解析:f(x)=2sin(x+ ), 3 π π ∵- ≤x≤ , 2 2 π π 5π ∴- ≤x+ ≤ , 6 3 6 π ∴-1≤2sin(x+ )≤2.故选 D. 3 答案:D π 3 π 5.(2014 黄冈中学模拟)已知 cos(α + )= ,则 sin(2α - )的值为( 6 3 6 )

2

A. C.

1 3 2 2 3

1 B.- 3 2 2 D.- 3

π 3 解析:由 cos(α + )= , 6 3 π 3 2 1 得 cos(2α + )=2×( ) -1=- . 3 3 3 π π π 所以 sin(2α - )=sin(2α + - ) 6 3 2 π =-cos(2α + ) 3 1 = . 3 故选 A. 答案:A 6.(2014 东北三校联考)设 α 、β 都是锐角,且 cos α = β 等于( A. C. 2 5 25 ) 2 5 B. 5 5 3 ,sin(α +β )= ,则 cos 5 5

2 5 5 2 5 2 5 或 D. 或 25 5 5 25 5 3 ,sin(α +β )= , 5 5

解析:因 α 、β 为锐角,cos α =

2 5 4 所以 sin α = ,cos(α +β )=± . 5 5 又因为 cos α = 5 1 π < ,α ∈0, , 5 2 2

π π π 所以 α ∈ , ,从而 α +β > . 3 2 3 1 于是 cos(α +β )< , 2 4 故 cos(α +β )=- . 5 cos β =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α

3

4 5 3 2 5 =- × + × 5 5 5 5 = 2 5 . 25

故选 A. 答案:A 二、填空题 π 1 7.(2013 年高考新课标全国卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角,若 tan(θ + )= ,则 sin θ 4 2 +cos θ =________. 解析:因为 θ 为第二象限角, π 所以 +2kπ <θ <π +2kπ ,k∈Z, 2 3 π 5 因此 π +2kπ <θ + < π +2kπ ,k∈Z, 4 4 4 π 1 又 tan(θ + )= , 4 2 π 从而 sin(θ + )<0. 4 π 5 所以 sin(θ + )=- , 4 5 π 10 所以 sin θ +cos θ = 2sin(θ + )=- . 4 5 答案:- 10 5

π? 4 π? ? ? 8.设 α 为锐角,若 cos?α + ?= , 则 sin?2α + ?的值为________. 6? 5 12? ? ? π? 4 ? 解析:因为 cos?α + ?= ,且 α 为锐角, 6? 5 ? π? 3 π ? π? ? 所以 α + ∈?0, ?,所以 sin?α + ?= , 2? 6? 5 6 ? ? π? π? ? π? ? ? 所以 sin?2α + ?=2sin?α + ?cos?α + ?= 3? 6? ? 6? ? ? 3 4 24 2× × = , 5 5 25 π? π? 7 ? 2? cos?2α + ?=2cos ?α + ?-1= , 3 6 25 ? ? ? ?

4

π? π? π? ?? ? 所以 sin?2α + ?=sin??2α + ?- ?= 3? 4? 12? ? ?? π? π π? π 17 2 ? ? sin?2α + ?cos -cos?2α + ?sin = . 3? 3? 4 4 50 ? ? 17 2 答案: 50 9.(2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大 值,则 cos θ =________. 解析:f(x)=sin x-2cos x= 5 = 5sin(x-φ ), 2 5 5 其中 sin φ = ,cos φ = , 5 5 π 当 x-φ =2kπ + (k∈Z), 2 π 即 x=2kπ + +φ 时,函数 f(x)取到最大值, 2 π 即 θ =2kπ + +φ , 2 所以 cos θ =-sin φ =- 2 5 答案:- 5 10.已知角 α 、β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α 、β ∈(0,π ), 1 4 角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是- , 角 α +β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 , 则 3 5 cos α =________. 1 解析:依题设得,cos β =- , 3 ∵0<β <π , ∴ π 2 2 <β <π ,sin β = . 2 3 2 5 . 5 5 2 5 sin x- cos x 5 5

4 又∵sin(α +β )= >0,0<α <π , 5 ∴ π <α +β <π , 2

3 cos(α +β )=- . 5
5

∴cos α =cos[(α +β )-β ]= cos(α +β )cos β +sin(α +β )sin β = 3 ? 1? 4 2 2 - ×?- ?+ × = 5 ? 3? 5 3 3+8 2 . 15 3+8 2 答案: 15 三、解答题 1 13 π 11.(2014 洛阳模拟)已知 cos α = ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < . 7 14 2 (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β . 1 π 解:(1)由 cos α = ,0<α < ,得 7 2 sin α = 1-cos α =
2

?1?2 4 3. 1-? ? = 7 ?7?

sin α 4 3 7 ∴tan α = = × =4 3, cos α 7 1 2tan α 于是 tan 2α = = 2 1-tan α 8 3 =- . 47 1-?4 3?
2

2×4 3

π π (2)由 0<β <α < ,得 0<α -β < , 2 2 13 ∵cos(α -β )= , 14 ∴sin(α -β )= 1-cos ?α -β ?= 由 β =α -(α -β ),得 cos β =cos[α -(α -β )]= cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β )= 1 13 4 3 3 3 1 × + × = , 7 14 7 14 2 π 所以 β = . 3
2

?13?2 3 3. 1-? ? = ?14? 14

6

π π 2x 12.(2013 年高考湖南卷)已知函数 f(x)=sin(x- )+cos(x- ),g(x)=2sin . 6 3 2 3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α )= ,求 g(α )的值; 5 (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. π π 解:f(x)=sin(x- )+cos(x- ) 6 3 = 3 1 1 3 sin x- cos x+ cos x+ sin x 2 2 2 2

= 3sin x,

x g(x)=2sin2 =1-cos x.
2 3 3 (1)由 f(α )= , 5 3 得 sin α = . 5 又 α 是第一象限角, 所以 cos α >0. 4 1 2 从而 g(α )=1-cos α =1- 1-sin α =1- = . 5 5 (2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1-cos x, 即 3sin x+cos x≥1, π 1 于是 sin(x+ )≥ , 6 2 π π 5π 从而 2kπ + ≤x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 6 6 6 2π 即 2kπ ≤x≤2kπ + ,k∈Z. 3 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为
? ? 2π ?x2kπ ≤x≤2kπ + ,k∈Z?. 3 ? ?

7


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