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2012-2013学年重庆一中高一下学期期末考试数学试卷(带解析)


2012-2013 学年重庆一中高一下学期期末考试数学试卷(带解析)
一、选择题 1.已知直线的倾斜角为 45°,在 轴上的截距为 2,则此直线方程为( ) A. 【答案】A 【解析】 试题分析:∵直线的倾斜角为 45°,∴直线的斜率为 tan45°=1,又直线在 轴上的截距为 2,, ∴直线方程为 ,故选 A 考点:本题考查了直线的斜截式 点评:当题目中有截距和斜率时,应选用直线的斜截式形式解决 2.下面四个条件中,使 A. 【答案】B 【解析】 试题分析:∵ ,∴ ,但是当 成立时,不等式 是 成立的充分而不必要的条件,故选 B 考点:本题考查了充要条件的判断 点评:熟练掌握不等式的形式及充要条件的判断是解决此类问题的关键,属基础题 3.直线 A. B. 被圆 C. 所截得的弦长为( ) D. 不一定成立,故 B. 成立的充分而不必要的条件是( ) C. D. . B. C. D.

【答案】B 【解析】 试题分析:∵圆心(4,0)到直线 弦长为 2 ,故选 B 的距离 d= ,由圆中的重要三角形知,

考点:本题考查了弦长的求解 点评:对弦长的计算有两种方法:一用弦长公式 。二用勾股定理

4.上图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第 1 次到 14 次的考试成绩依次 记为 下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流 程图输出的结果是( ) 树茎 树叶

7 8 9 10 11

9 6 3 8 3 9 8 8 4 1 5 3 1 4

A. 【答案】D 【解析】

B.

C.

D.

试题分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的 作用是累加 14 次考试成绩超过 90 分的人数;根据茎叶图的含义可得超过 90 分的人数为 10 个,故选 D 考点:本题考查了循环结构,以及茎叶图的认识 点评:解决此类问题的关键是弄清算法流程图的含义,属于基础题. 5.三个数 A. 【答案】C 【解析】 试题分析:∵ ,∴,b<a<c,故选 C . B. 之间的大小关系是( ) C. D.

考点:本题考查了指数、对数函数单调性的运用 点评:对于此类比较大小问题,常常利用指数、对数函数的单调性及中间值 0、1 比较,属 基础题 6.公比为 A. B. 等比数列 C. 的各项都是正数,且 D. ,则 =( )

【答案】B

【解析】 试题分析:∵ ,故选 B 考点:本题考查了等比数列的通项及性质 点评:熟练运用等比数列的通项公式及性质是解决此类问题的关键,属基础题 7. 若 A.锐角三角形 【答案】B 【解析】 试题分析:∵ 选B ,∴ ,即∠A= ,故 为直角三角形,故 是( B.直角三角形 ) C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 ,∴ 或-4(舍),又公比为 ,∴ ,∴

考点:本题考查了数量积的运算及三角形形状的判断 点评:熟练运用向量的运算及数量积的含义来判断三角形中的边角关系是解决此类问题的关 键 8. 直线 A.8 B.12 C.16 过圆 D.20 的圆心,则 的最小值为 ( )

【答案】C 【解析】 试题分析:把圆 化为 过圆心(-4,-1),∴4a+b=1,∴ ,其圆心为(-4,-1),∵直线 ,当且仅当 考点:本题考查了直线与圆的位置关系及基本不等式的运用 点评:此题不能直接应用基本不等式,要注意“1”的代换,注意三个条件:正数、定值、等 号成立的条件 9.设等差数列 A. B. 的前 项和为 C. D. 且满足 则 中最大的项为( ) 时等号成立,故选 C

【答案】C 【解析】

试题分析:∵数列{an}为等差数列,且 S15>0,S16<0,∴a8>0,a8+a9<0,即 a9<0,则 的前 8 项为正,第 9 到 15 项为负,且前 8 项中,分子不断变大,分母不断减 小,∴ 中最大的项为 ,故选 C

考点:本题考查了等差数列的性质及求和 点评:此类问题往往利用数列的单调性处理,其中根据已知中 S15>0,S16<0,判断 a8>0, a9<0,是解答本题的关键. 10.已知直线 不等式 A.3 B.5 与圆 成立,那么正整数 的最大值是( ) C.7 D.9 相切,若对任意的 均有

【答案】A 【解析】 试题分析:∵直线 与圆 相切,∴

,即

(※),令 t=2m+n,则 n=t-

2m,代入(※)化简得

,由题意该式有解,∴其判别式 ,解得 t≥3,故正整数 的最大值是 3,故选 A

考点:本题考查了直线与圆的位置关系 点评:研究直线和圆的位置关系的相关问题时通常采用“几何法”即抓住圆心到直线的的距离 与半径的关系 二、填空题 1.若 【答案】 【解析】 试题分析:∵ , , 与 的夹角为 ,∴ , , 与 的夹角为 ,则 .

考点:本题考查了数量积的概念 点评:熟练运用数量积的概念求数量积是解决此类问题的关键,属基础题 2.设 的内角 所对的边分别为 .若 ,则角 .

【答案】 【解析】 试题分析:∵ ∴B>A, ∴ 考点:本题考查了正弦定理的运用 点评:熟练运用正弦定理及其变形是解决此类问题的关键,属基础题 3.人体血液中胆固醇正常值的范围在 2.86-5.98mmol/L,若长期胆固醇过高容易导致心血管疾 病.某医院心脏内科随机地抽查了该院治疗过的 100 名病员血液的胆固醇含量情况,得到频率 分布直方图如下图,由于不慎将部分数据丢失,只知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的 频数成等差数列,设最大频率为 ,胆固醇含量在 4.6 到 5.1 之间的病员人数为 ,则 . ,∴ ,∴ ,又 b>a ,

【答案】85.27 【解析】 试题分析:由频率分布直方图知组矩为 0.1,4.3~4.4 间的频数为 100×0.1×0.1=1.4.4~4.5 间 的频数为 100×0.1×0.3=3.又前 4 组的频数成等比数列,∴公比为 3.根据后 6 组频数成等差 3 数列,且共有 100-13=87 人.从而 4.6~4.7 间的频数最大,且为 1×3 =27,∴a=0.27,设公差 为 d,则 6×27+ d=87.∴d=-5,从而 b=5×27+ (-5)=85.∴a+b=85.27.

考点:本题考查了频率分布直方图与数列的综合运用 点评:直方图中的各个矩形的面积代表了频率,所以各个矩形面积之和为 1,同时考查分析 问题的能力,属于基础题.

4.设

满足约束条件

,向量

,且

则 的最小值为

.

【答案】 【解析】 试题分析:∵向量 y 满足约束条件 ,且 ,作出可行域如图: ,∴(-1)(y-2x)-m=0,即 m=2x-y,由 x,

解方程组

得 A(1, ),此时 m=2- = ;解方程组

,得 B(4,2),此

时 m=2×4-2=6;解方程组

,得 C(1,8),此时 m=2-8=-6.∴m=2x-y 的最小值为-6.

考点:本题考查了向量的坐标运算及线性规划的运用 点评:把目标函数转化为熟悉的函数是解决此类问题的关键,另注意角点法的运用,属基础 题 5.已知直线 是 【答案】 【解析】 试题分析:直线 =k(x-4)+1 恒过点(4,1),曲线方程 表示两个半圆,∵直线 恰有一个公共点,∴当 y≥3 时,只需让直线 (y≥3)有一个交点即可,从而 直线 与半圆 或 k= 与曲线 与半圆 ;当 y≤-1 时,只需让 或 k= , 等价于 . 与曲线 恰有一个公共点,则实数 的取值范围

(y≤-1)有一个交点即可,从而

综上实数 的取值范围是 考点:本题考查了直线与圆的位置关系 点评:数形结合是解决此类交点问题的常用方法,但要注意轨迹方程的完备性 三、解答题 1.已知直线 : (Ⅰ)若 , : . 时,求直线 与 之间的距离.

,求实数 的值;(2)当

【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)由 (Ⅱ)当 : 距离为

;(Ⅱ)

.

知 解得 即

,解得

; 9分 ,

6分

时,有 , : . 13 分

考点:本题考查了两直线的位置关系及距离 点评:熟练运用两直线的位置关系及距离公式是解决此类问题的关键,属基础题 2.设 的三个内角分别为 .向量 共线.

(Ⅰ)求角 的大小; (Ⅱ)设角 的对边分别是 ,且满足 为等边三角形 ,试判断 的形状.

【答案】(Ⅰ)C= ;(Ⅱ)△ 【解析】 试题分析:(Ⅰ)∵ 与 共线,∴

3分 ∴C= (Ⅱ)由已知 联立解得: ,所以△ 为等边三角形, 12 分 6分 根据余弦定理可得: 8分

考点:本题考查了数量积的坐标运算及三角函数的恒等变换、余弦定理 点评:三角形的形状的判定常常通过正弦定理和余弦定理,将已知条件中的边角关系转化为纯 边或纯角的关系,寻找边之间的关系或角之间关系来判定.一般的,利用正弦定理的公式 , , ,可将边转化为角的三角函数关系,然后利用三角函数恒等 式进行化简,其中往往用到三角形内角和定理: ;利用余弦定理公式 , , ,可将有关三角形中的角的余弦转化为边的 关系,然后充分利用代数知识来解决问题. 3.已知 满足 ,且 与 之间有关系式 ,其中 .

(Ⅰ)用 表示 (Ⅱ)求



的最小值,并求此时 与 的夹角 的大小. ;(Ⅱ) 的最小值为 , .

【答案】(Ⅰ) 【解析】 试题分析:(Ⅰ) (Ⅱ) 故 的最小值为



, ,当且仅当 时取“=”

6 分;

10 分 , ,

13 分. 考点:本题考查了数量积的概念及运算 点评:平面向量数量积运算一直是各类考试的热点内容,它在处理线段长度、垂直等问题的 方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键 4.已知已知圆 经过 、 两点,且圆心 C 在直线 上.

(Ⅰ)求圆 C 的方程;(Ⅱ)若直线 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)由于 AB 的中点为 而圆心 C 是直线 又半径为 (2)圆心 . 到直线 12 分 与直线 , ;(2)

与圆 总有公共点,求实数 的取值范围. .

,则线段 AB 的垂直平分线方程为 解得 6 分; 得 ,解得 ,即圆心

, ,

的交点,由

,故圆 C 的方程为 的距离

考点:本题考查了圆的方程及直线与圆的位置关系 点评:研究直线和圆的位置关系的相关问题时通常采用“几何法”即抓住圆心到直线的的距离 与半径的关系 5.已知函数 最小值是 4. (Ⅰ)求 是二次函数,不等式 的解集为 ,且 在区间 上的

的解析式;

(Ⅱ)设 求实数 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 【解析】 试题分析:(Ⅰ) 对称轴

,若对任意的



均成立,

;(Ⅱ)



解集为

,设 ,解得 ,

,且

,开口向下, ; 5分

(Ⅱ) 即 化简 即 令 ,记 对 ,

, 对 恒成立

恒成立

恒成立 8 分 ,则 ,当 时 , ,

二次函数开口向下,对称轴为 故 10 分 ,解得 或

12 分

考点:本题考查了一元二次函数解析式及值域的求解 点评: 6.设数列 的前 项和为 ,对任意的 . (Ⅰ)求 的值及数列 的通项公式; 对一切 ; 成立. ,都有 ,且 ;数列 满足

(Ⅱ)求证: 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1) ;

;(2)利用数列求和及放缩法证明不等式成立

,相减得: ,即 同理 (2) , 一般地, ,数列 , , ,则 有 , 得: ,两式再减 , ( ) , 5分

是公比为 2 的等比数列,

所以:

令 而当 则 , 时, ,故 ,从而 ,

12 分 考点:本题考查了数列的通项及求和 点评:数列的通项公式及应用是数列的重点内容,数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求, 在数列中突出考查学生的理性思维,这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点,也是一 种趋势.随着新课标实施的深入,高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式,错位相减 法、裂项相消法等求数列的前 n 项的和等等


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