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北京体育大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:数列


北京体育大学附中 2014 版《 创新设计》高考数学一 轮复习单元突破:数列 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 要求的) 1.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S 6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.64 【答案】B 2.已知 4, a ,12 成等差数列,实数 c ,9,27 成等比数列,则 a ? c 的值是( A. 11 【答案】A 3.设 是定义在 上恒不为零的函数,对任意 为正整数) ,则数列 ,都有 的取值范围是( ) ,若 B. 12 C. 13 D. 14 ) B.45 C.36 D.27 ) 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

的前 项和

A. 【答案】D

B.

C.

D.

n 4.若数 列 an ? 的通项公式是 an ? (?1) ? (3n ? 2), 则a1 ? a2 ? ? ? a10 ? (

?

)

A. 【答案 】A

15

B. 12

C.

???

D.

???

? x2 ? 9 ,x ?3 ? 5.函数 f ( x ) ? ? x ? 3 在 x ? 3 处的极限是( ?ln( x ? 2), x ? 3 ?
A.不存在 【答案】A B.等于 6 C.等于 3

)

D.等于 0

6.设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( A.3 【答案】B 7.一个等差数列第 5 项 a6 ? 10, 且a1 ? a2 ? a3 ? 3 ,则有( A. a1 ? ?2, d ? 3 C. a2 ? ?3, d ? 2 【答案】A 8.数列 1,-3, 5,-7,9, 的一个通项公式为( A.an=2n-1 C. an=(-1) (2n-1) 【答案】B
n …

)

B.4

C.5

D.6

)

B. a1 ? 2, d ? ?3 D. a3 ? 3, d ? ?2

)
n
[来源:学科网]

B. an=(-1) (1-2n) D.an=(-1) (2n+1)
n

9.在数列

中 ,如果存在非零常数 T,使得 的周期。已 知数列 当数列 满足

对任意正整数 m 均成立,那么就称 ,且 )

为周期数列,

其中 T 叫做数列

周期为 3 时,则该数列的前 2009 项的和为( C. 1336 D. 1338

A.1340 【答案】D

B. 1342

10.{an}是等差数列,且 a1 ? a 4 ? a7 ? 45 , a 2 ? a5 ? a8 ? 39 ,则 a3 ? a 6 ? a9 ? ( A.24 【答案】D B.27 C.30 D.33

)

11. 在等差数列中,前 n 项的和为 Sn,若 Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N 且 m≠n) ,则公差 d 的值为( A.- 【答案】A 12.已知等差数列 ? an ? 的通项公式是 a n ? 1 ? 2n ,其前 n 项和为 S n ,则数列 ? A. ? 45 【答案】C
[来源:Zxxk.Com]

)

4(m ? n) mn

B.-

mn 4(m ? n)

C..-

2(m ? n) mn

D.-

mn 2(m ? n)

?Sn ? ? 的前 10 项和为( ?n?

)

B. ? 50

C. ? 55 第Ⅱ卷(非 选择题

D. ? 66 共 90 分)

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知

{an }

前 n 项和

S n ? n 2 ? 4n ? 1

,则

| a1 | ? | a2 | ?



? | a10 |

的值为____________。

【答案】67 14.在数列中,已知 = 。 ,这个数列的通项公式是

【答案】 15 .已知等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? ____________ 【答案】7
[来源:Zxxk.Com]

16.已知奇函数 f ( x) 是定义 在 R 上的增函数,数列 ? xn ? 是一个公差为 2 的等差数列满足

f ( x8 ) ? f ( x9 ) ? f ( x10 ) ? f ( x11 ) ? 0 , 则 x 2012 的值
【答案】4005 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知数列{lg }是等差数列,且第 s 项为 r,第 r 项为 s(0<r<s),试求 。

【答案】设数列{lg

}的公差为 d,则有

lg

-lg

=d(n∈N ) ,



∴ ∴数列{

(n∈N ) , }为等比数列. 设数 列{ }的公比为 q,则由已知得



[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

∴由

又 0<r<s,∴q=

(3)

∴(3)代入(1)得

(4)

于是由(3) (4)得 18.已知数列 {an } 是首项为 a1 ?

由此得

1 1 ,公比 q ? 的等比数列,设 bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *) ,数列 4 4 4

{cn }满足cn ? a n ? bn .
(Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {c n } 的前 n 项和 Sn.

1 n 4 又 bn ? 3log 1 an ? 2 ,故 bn ? 3n ? 2(n ? N *)
4

【答案】 (Ⅰ)由题意知, a n ? ( ) (n ? N *) ,

[来源:学科网]

(Ⅱ)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N *)
n

1 4

1 ? cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n?1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4
两式相减,得

3 1 1 1 1 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 . 4 4 4 4 4 4 2 4

? Sn ?

2 3n ? 2 1 n ? ? ( ) (n ? N *) 3 3 4

19.已知数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ? ?an ? ( 1 )n?1 ? 2 , n ? N * ;
2

(1)求 a1 的值; (2)求数列

?an ? 的通项公式;
n ?1 5n an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试比较 Tn 与 的大小,并予以证明. , n 2n ? 1 1 1 ? ?an ? ( )n ?1 ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? 2 2 1 n?2 1 ) ? 2, an ? Sn ? Sn?1 ? ?an ? an?1 ? ( )n?1 , ? 2 2

(3)令 cn

?

【答案】 (I)在 Sn

当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ?an ?1 ? (

1 ? 2a n ? an?1 ? ( )n?1 ,即2n an ? 2n?1 an?1 ? 1 . 2
? bn ? 2n an ,? bn ? bn ?1 ? 1,即当n ? 2时,bn ? bn ?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列.

?

于是 bn

? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ?

n . 2n

(II)由(I)得 cn

?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( )n ,所以 n 2

1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( )2 ? 4 ? ( )3 ? K ? (n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( )2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( ) 4 ? K ? (n ? 1)( ) n?1 2 2 2 2 2
由①-②得

1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ( )2 ? ( )3 ? K ? ( )n ? (n ? 1)( )n ?1 2 2 2 2 2

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2
5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) Tn ? ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)
于是确定 Tn与

5n n 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1 的大小 2n ? 1
2 3 4 5

由 2 ? 2 ?1 ? 1; 2 ? 2 ? 2 ? 1; 2 ? 2 ? 3 ? 1; 2 ? 2 ? 4 ? 1; 2 ? 2 ? 5; K

2 可猜想当 n ? 3时,

n

? 2n ? 1. 证明如下:

证 法 1: (1)当 n=3 时,由上验算显示成立。 (2)假设 n ? k ? 1 时 2
k ?1

? 2g2k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ? 1) ? 2( k ? 1) ? 1

所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综合(1) (2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n n 0 1 n n 2n ? (1 ? 1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? K ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1

n

? 2n ? 1.

综上所述,当 n ? 1, 2时 Tn

?

5n 5n ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1

?1 ? an ? n, n为奇数 * 20.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? ? 2 ,且 bn ? a2 n ? 2 , n ? N ?an ? 2n, n为偶数 ?
(Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 ; (Ⅱ)求证 数列 {bn } 为等比数列并求其通项公式; (Ⅲ)求和 Tn ? a2 ? a4 ? a6 ? ? a2 n 【答案】 (Ⅰ) a2 ?

3 5 7 , a3 ? ? , a4 ? 2 2 4

[来源:Zxxk.Com]

(Ⅱ)当 n ? 2时, bn ? a2 n ? 2 ? a(2 n ?1) ?1 ? 2 ?

1 a2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2 2

[来源:学*科*网]

1 1 1 ? [a2 n ?2 ? 2(2n ? 2)] ? (2n ? 1) ? 2 ? [a2( n ?1) ? 2] ? bn ?1 2 2 2 1 1 1 n ?1 1 n ∴ 又b1 ? a2 ? 2 ? ? ∴ bn ? ? ? ( ) ? ?( ) 2 2 2 2
(Ⅲ)∵ a2 n ? bn ? 2 ∴ Tn ? a2 ? a4 ? ? a2 n

1 1 [1 ? ( ) n ] 2 ? 2n ? ( 1 ) n ? 2n ? 1. = (b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n) ? ? 2 1 2 1? 2
21. 在数列 ? an ? 中, a1 ? 3 , an ?1 ? 3an ? 3 (Ⅰ)设 bn ?
n ?1



an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 3n

(Ⅱ)求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n . 【答案】 (Ⅰ) an ?1 ? 3an ? 3
n ?1

,∴

an ?1 an ? ? 1 ,于是 bn ?1 ? bn ? 1 , 3n ?1 3n

∴ ?bn ? 为首项和公差为 1 的等差 数列. (Ⅱ)由 b1 ? 1 , bn ? n 得,

an ? n .∴ an ? n ? 3n . 3n

[来源:学+科+网][来源:学.科.网 Z.X.X.K]

Sn ? 1 ? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ?1 ? n ? 3n , 3Sn ? 1 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1 ,
两式相减,得 2 Sn ? n ? 3 解出 S n ? (
n ?1

? (31 ? 32 ? ? ? 3n ) ,
[来源:Z,xx,k.Com]

n 1 n ?1 3 ? )3 ? . 2 4 4
满足

22.已知数列 (1)求 (2)证明数列





的值; 是等比数列,并求出 数列 的通项公式;

(3)若数列

满足



) ,求数列

的前 项和

【答案】 (1)

(2)由



)可得



,所以数列

是首项为

,且公比为 3 的等比数列

∴ 于是数列 的通项公式为 , ( )

(3)由

,得





于是



由①-②得




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