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北京西城区2012年高三一模数学试题答案(理)


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北京市西城区 2012 年高三一模试卷

数学(理科)参考答案及评分标准
2012.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. C; 2. D; 3. A; 4.A; 5. B; 6. D; 7. A; 8. D .

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 54 ; 10. ?160 ; 12. 2 ; 13. ? 1 和 0 , (0, 4] ;

11. 1 ; 14.

3 , 2(1 ? 2) . 2

注:13 题、14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:原式可化为 sin B ? sin( A ? B) ? sin( A ? B) ? 2 cos A sin B . 3分 因为 B ? (0, π) , 所以 cos A ? 5分 因为 A? (0, π) , 所以 A ? 6分
2 2 2 (Ⅱ)解:由余弦定理,得 | BC | ? | AB | ? | AC | ? 2| AB || AC | ? cos A .??????

??????

所以 sinB ? 0 , ??????

1 . 2 π . 3
??? ? ???? ??? ???? ?

??????

??? ?

8分 因为 | BC |? 7 , AB ? AC ? | AB || AC | ? cos A ? 20 ,
2 2 所以 | AB | ? | AC | ? 89 .

??? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ?

????

??????

10 分
2 2 2 因为 | AB ? AC | ? | AB | ? | AC | ? 2 AB ? AC ? 129 ,

??? ???? ?

??? ?

????

??? ???? ?

??????

12 分

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??? ???? ? 所以 | AB ? AC | ? 129 .
13 分 16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 1分 记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A , 则 P( A) ? C3 ( )3 ( )4?3 4

??????

1 . ?????? 2

1 2

1 2

1 1 ? . 2 8

??????4

分 (Ⅱ)解:记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B .
3 因为,乙以 4 比 2 获胜的概率为 P ? C5 ( )3 ( )5?3 1

1 2

1 2

1 5 ? , 2 32

??????

6分 乙以 4 比 3 获胜的概率为 P ? C3 ( )3 ( )6?3 2 6 7分 所以 P( B) ? P ? P ? 1 2 8分 (Ⅲ)解:设比赛的局数为 X ,则 X 的可能取值为 4,5, 6, 7 .

1 2

1 2

1 5 , ? 2 32

??????

5 . 16

??????

1 1 P( X ? 4) ? 2C4 ( )4 ? , 4 2 8
9分

??????

1 1 ? 1 1 P( X ? 5 ) 23C ( 3 ) (4 3) ? , ? 4 2 2 2 4
10 分

??????

1 1 ? 1 5 P( X ? 6 ) 23C ( 3 ) (5 ?2) ? , ? 5 2 2 2 16
11 分

??????

1 1 ? 1 5 P( X ? 7 ) 23C ( 3 ) (6 ?3) ? . ? 6 2 2 2 16
12 分 比赛局数的分布列为:

??????

17.(本小题满分 14 分)

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(Ⅰ)证明:设 AC 与 BD 相交于点 O ,连结 FO. 因为 四边形 ABCD为菱形,所以 AC ? BD, 且 O 为 AC 中点. ??????1 分

又 FA? FC ,所以 AC ? FO . ???3 分 因为 FO? BD? O , 所以 AC ? 平面 BDEF . ??????4 分 (Ⅱ)证明:因为四边形 ABCD与 BDEF 均为菱形, 所以 AD // BC , DE // BF , 所 以 平 面

FBC
??????7 分

//





EAD .
又 FC ? 平面 FBC, 所 以

FC

//





EAD .

??????8 分

(Ⅲ)解:因为四边形 BDEF 为菱形,且 ?DBF ? 60? ,所以△ DBF 为等边三角形. 因为 O 为 BD 中点,所以 FO? BD ,故 FO ? 平面 ABCD. 由 OA, OB, OF 两两垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ?????? 9分 设 AB ? 2 .因为四边形 ABCD为菱形, ?DAB? 60? ,则 BD ? 2 ,所以 OB ? 1,

OA ? OF ? 3 .
所以 O(0,0,0), A( 3 ,0,0), B(0,1,0), C (? 3 ,0,0), F (0,0, 3 ) . 所以 CF ? ( 3, 0, 3) , CB ? ( 3,1, 0) .

??? ?

??? ?

??? ? ?n ? CF ? 0, ? 设平面 BFC的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ??? ? ? n ? CB ? 0. ?
所以 ? 12 分 易知平面 AFC的法向量为 v ? (0,1, 0) . 13 分 ??????

? 3 x ? 3 z ? 0, 取 x ? 1 ,得 n ? (1,? 3 ,?1) . 3 x ? y ? 0. ?

??????

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由二面角 A ? FC ? B 是锐角,得 cos? n, v? ?

n?v 15 . ? n v 5
??????

所以二面角 A ? FC ? B 的余弦值为 14 分 18.(本小题满分 13 分)

15 . 5

(Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ( x) ? e x ? ( ? 2) , f ?( x) ? e x ? ( ? 2 ? 2分 由于 f (1) ? 3e , f ?(1) ? 2e ,

1 x

1 x

1 ). x2

??????

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 2ex ? y ? e ? 0 . 4分 (Ⅱ)解: f ?( x) ? aeax 分 ① 当 a ? ?1时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 .

??????

( x ? 1)[(a ? 1) x ?1] ,x ? 0 . x2

??????6

f (x ) 的单调递减区间为 (??, ?1) ;单调递增区间为 (?1, 0) ,(0, ??) .?????8
分 当 a ? ?1 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 ,或 x ?

1 . a ?1 1 , ??) ;单调递增区 a ?1
1
??????10 分 ?????? ,

② 当 ? 1 ? a ? 0 时, f (x ) 的单调递减区间为 (??, ?1) , ( 间 为

(?

,

(0,

1 ). a ?1
③ 当 a ? 0 时, f ( x ) 为常值函数,不存在单调区间.

11 分 ④ 当 a ? 0 时, f (x ) 的单调递减区间为 ( ?1, 0) , (0,

1 ) ;单调递增区间为 a ?1
, ??????

(??, ?1)

(

1 , ??) . a ?1

13 分

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19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由 2分 依题意△ MB1B2 是等腰直角三角形, 从而 b ? 2 , a ? 3 . 故 4分 所 以 椭 圆 的 ??????5 分 方 ??????

5 a 2 ? b2 b2 b 2 ? e2 ? ? 1? 2 , 得 ? . 2 9 a a a 3

??????

C





x2 y 2 ? ? 1. 9 4

(Ⅱ)解:设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 . 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立, 消 去 得

x
??????7 分

(4m2 ? 9) y2 ?16my ? 20 ? 0 .
所以 y1 ? y2 ? 8分

?16m ?20 ,y1 y2 ? . 2 4m ? 9 4m2 ? 9

??????

若 PF 平分 ?APB ,则直线 PA , PB 的倾斜角互补, 所

以 ??????9 分

k PA ? k PB ? 0 .
设 P( a, 0) ,则有

y1 y ? 2 ? 0. x1 ? a x2 ? a

将 x1 ? my1 ? 2 , x2 ? my2 ? 2 代入上式, 整理得

2my1 y2 ? (2 ? a)( y1 ? y2 ) ? 0, (my1 ? 2 ? a)(my2 ? 2 ? a)
??????

所以 2my1 y2 ? (2 ? a)( y1 ? y2 ) ? 0 . 12 分 将 y1 ? y2 ?

?16m ?20 , y1 y2 ? 代入上式, 2 4m ? 9 4m2 ? 9
??????

整理得 (?2a ? 9) ? m ? 0 . 13 分

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由于上式对任意实数 m 都成立,所以 a ?

9 . 2
??????

综上,存在定点 P( ,0) ,使 PM 平分 ?APB . 14 分 20.(本小题满分 13 分)

9 2

(Ⅰ) 数列 A3 : 4,2,8 不能结束, 解: 各数列依次为 2, 6, 4 ;4, 2, 2 ;2, 0, 2 ;2, 2, 0 ;0, 2, 2 ;

2, 0, 2 ;?.从而以下重复出现,不会出现所有项均为 0 的情形.
2分

??????

数列 A4 :1,4,2,9 能结束,各数列依次为 3, 2,7,8 ; 1, 5,1, 5 ; 4, 4, 4, 4 ; 0, 0, 0, 0 . ????? ?3 分 (Ⅱ)解: A3 经过有限次“ T 变换”后能够结束的充要条件是 a1 ? a2 ? a3 .?????? 4分 若 a1 ? a2 ? a3 ,则经过一次“ T 变换”就得到数列 0, 0, 0 ,从而结束. ????? 5分 当数列 A3 经过有限次“ T 变换”后能够结束时,先证命题“若数列 T ( A3 ) 为常数列, 则 A3 为常数列” . 当 a1 ? a2 ? a3 时,数列 T ( A3 ) : a1 ? a2 , a2 ? a3 , a1 ? a3 . 由数列 T ( A3 ) 为常数列得 a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? a1 ? a3 , 解得 a1 ? a2 ? a3 , 从而数列 A3 也 为常数列. 其它情形同理,得证. 在数列 A3 经过有限次“ T 变换”后结束时,得到数列 0, 0, 0 (常数列),由以上命题, 它 变 换 之 前 的 数 列 也 为 常 数 列 , 可 知 数 列 A3 也 为 常 数 列. ??????8 分

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所以,数列 A3 经过有限次“ T 变换”后能够结束的充要条件是 a1 ? a2 ? a3 . (Ⅲ) 证明: 先证明引理: “数列 T ( An ) 的最大项一定不大于数列 An 的最大项, 其中 n ? 3 ” . 证明:记数列 An 中最大项为 max( An ) ,则 0 ? ai ? max( An ) . 令 Bn ? T ( An ) , bi ? a p ? aq ,其中 a p ? aq . 因为 a q ? 0 , 所以 bi ? a p ? max( An ) , ??????

故 max(Bn ) ? max( An ) ,证毕. 9分 现将数列 A4 分为两类.

第一类是没有为 0 的项,或者为 0 的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻) ,此 时由引理可知, max(B4 ) ? max( A4 ) ?1 . 第二类是含有为 0 的项,且与最大项相邻,此时 max(B4 ) ? max( A4 ) . 下面证明第二类数列 A4 经过有限次“ T 变换” ,一定可以得到第一类数列. 不妨令数列 A4 的第一项为 0 ,第二项 a 最大( a ? 0 ). (其它情形同理) ① 当数列 A4 中只有一项为 0 时, 若 A4 : 0, a, b, c ( a ? b, a ? c, bc ? 0 ),则 T (A4): a, a ? ,| b c |, c b ? 为0 或含有 0 项但与最大项不相邻,为第一类数列; 若 ,此数列各项均不

A4 : 0, a, a, b (a ? b, b ? 0)





T(

4

A ) ? :a

; a 0 ,

b ,

b

T (T ( A4 )) : a, a ? b,| a ? 2b |, a ? b
此数列各项均不为 0 或含有 0 项但与最大项不相邻,为第一类数列; 若 A4 : 0, a, b, a ( a ? b, b ? 0 ),则 T (A4): a, a ? ,a b , b ?b 第一 类数列; ,此数列各项均不为 0 ,为

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若 A4 : 0, a, a, a , T ( 4: a0 则 A ) ,,, 0

a

; (T ( A4 )) : a,0, a,0 ; (T (T ( A4 ))) : a, a, a, a , T T

此数列各项均不为 0 ,为第一类数列. ② 当数列 A4 中有两项为 0 时,若 A4 : 0, a,0, b ( a ? b ? 0 ),则 T (A4): a, a, b, b ,此 数列 各项均不为 0 ,为第一类数列; 若 A4 : 0, a, b,0 ( a ? b ? 0 ),则 T ( A) : a, a ? b, b, 0 , T (T ( A)) : b,| a ? 2b |, b, a ,此 数列 各项均不为 0 或含有 0 项但与最大项不相邻,为第一类数列. ③ 当数列 A4 中有三项为 0 时,只能是 A4 : 0, a,0,0 ,则 T ( A) : a, a, 0, 0 ,

T (T ( A)) : 0, a, 0, a , T (T (T ( A))) : a, a, a, a ,此数列各项均不为 0 ,为第一类数列.
总之,第二类数列 A4 至多经过 3 次“ T 变换” ,就会得到第一类数列,即至多连续经 历 3 次“ T 变换” ,数列的最大项又开始减少. 又因为各数列的最大项是非负整数, 故经过有限次“ T 变换”后,数列的最大项一定会为 0 ,此时数列的各项均为 0 ,从 而 束. 13 分 结 ??????

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