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2012-2013学年江苏省南京外国语学校高一(上)期中数学试卷(仙林分校)

2012-2013 学年江苏省南京外国语学校高一(上) 期中数学试卷(仙林分校)

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2012-2013 学年江苏省南京外国语学校高一(上) 期中数学试卷(仙林分校)
一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.请把答案填写在答卷纸相应位置上) 1. 分)若 A=[2,5) (5 ,集合 B=(3,7],则 A∩B= _________ . 2. 分)函数 (5 ,x∈{1,2,3}的值域为 _________ .

3. 分)函数 f(x)=(k﹣1)x+3 在 R 上是减函数,则 k 的范围是 _________ . (5 4. 分)函数 f(x)=x ﹣x+2n,x∈R 为奇函数,则 n 的值为 _________ . (5 5. 分)已知 y=f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数,且 f(1﹣a)<f(3a﹣1) (5 ,则 a 的范围是 _________ . 6. 分)若函数 f(x)=px+q,f(3)=5,f(5)=9,则 f(1)的值为 _________ . (5
3

7. 分)函数 (5

的最大值为

_________ .

8. 分)关于 x 的方程 2 ﹣m=6 有实根,则 m 的取值范围是 _________ . (5 二、解答题(本大题共 4 小题,共计 60 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 9. (15 分)用函数单调性的定义证明函数 y=x +2x 在 x∈[0,+∞)是单调递增函数. 10. (15 分)求值或估算: (1) (2)若 lg6≈0.7782,求 10
2.7782 2

x

; .

11. (15 分)△ AOB 是边长为 2 的正三角形,这个三角形在直线 x=t 左侧部分的面积为 y,求函数 y=f(t)的解析 式.

12. (15 分)已知函数 f(x)=log2x+3,x∈[1,4] (1)求函数 f(x)的值域; 2 2 (2)若 g(x)=f(x )﹣[f(x)] ,求 g(x)的最小值以及相应的 x 的值. 三、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把答案填写在答卷纸相应位置上)
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www.jyeoo.com 2 13. 分)集合 A={x|kx +4x+2=0}是只含一个元素的集合,则实数 k= _________ . (5 14. 分)已知:lgx+lgy=2lg(x﹣2y) (5 ,则 _________ .
b

的值为

15. 分)若函数 (5

在(a,b+4) (b>﹣2)上的值域为

,则 a = _________ .

16. 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) (5 ,且在[﹣1,0]上单调递增,设 a=f(3) , c=f(2.1) ,则 a,b,c 按从小到大的顺序排列为 _________ .



17. 分)在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点,若函数图象恰经过 n 个格点,则称函数 f(x) (5 为 n 阶格点函数. 下列函数: ①y=x ; ②y=lnx; ③y=2 ﹣1; ④
2 x

. 其中为一阶格点函数的序号为 _________ .

18. 分) (5 (2012?开封二模)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x ,若对任意的 x∈[t,t+2], 不等式 f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数 t 的取值范围是 _________ . 四、解答题(本大题共 2 小题,共计 30 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 19. (15 分)已知函数 (1)当 a 为何值时,f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)为 R 上的增函数. 20. (15 分)对于定义域为 D 的函数 y=f(x) ,若同时满足下列条件: ①f(x)在 D 内单调递增或单调递减; ②存在区间[a,b]?D,使 f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把 y=f(x) (x∈D)叫闭函数. 3 (1)求闭函数 y=﹣x 符合条件②的区间[a,b]; (2)判断函数 (3)若 是否为闭函数?并说明理由; 是闭函数,求实数 k 的取值范围.

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2012-2013 学年江苏省南京外国语学校高一(上) 期中数学试卷(仙林分校)
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.请把答案填写在答卷纸相应位置上) 1. 分)若 A=[2,5) (5 ,集合 B=(3,7],则 A∩B= (3,5) . 考点: 交集及其运算. 分析: 由于两个集合已知,故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可. 解答: 解:A∩B=[2,5)∩(3,7]=(3,5) 故答案为: (3,5) . 点评: 常用数轴图、函数图、解析几何中的图或文恩图来解决集合的交、并、补运算.
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2. 分)函数 (5

,x∈{1,2,3}的值域为



考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 函数的值域中的元素与定义域中的元素一一对应,已知定义域和函数表达式,代入求解即可. 解答: 解:x=1 时 f(1)=1,x=2 时, ,x=3 时,
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故答案为{1, , } 点评: 本题考查函数的值域中的元素与定义域中的元素一一对应的关系,属于基础题. 3. 分)函数 f(x)=(k﹣1)x+3 在 R 上是减函数,则 k 的范围是 k<1 . (5 考点: 专题: 分析: 解答: 函数单调性的性质. 函数的性质及应用. 由函数 f(x)=(k﹣1)x+1 在 R 上是减函数得 k﹣1<0,解出即可. 解:因为函数 f(x)=(k﹣1)x+1 在 R 上是减函数, 所以 k﹣1<0, 解得 k<1,即 k 的范围是:k<1. 故答案为:k<1. 点评: 本题考查一次函数的单调性问题,属基础题.
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4. 分)函数 f(x)=x ﹣x+2n,x∈R 为奇函数,则 n 的值为 0 . (5 考点: 专题: 分析: 解答: 函数奇偶性的性质. 函数的性质及应用.

3

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根据题意可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,即 (﹣x) ﹣(﹣x)+2n=﹣[x ﹣x+2n],由此求得 n 的值. 3 解:∵函数 f(x)=x ﹣x+2n,x∈R 为奇函数, 3 3 ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,即 (﹣x) ﹣(﹣x)+2n=﹣[x ﹣x+2n], 解得 n=0,
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3

3

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www.jyeoo.com 故答案为 0. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性的应用,属于基础题.

5. 分)已知 y=f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数,且 f(1﹣a)<f(3a﹣1) (5 ,则 a 的范围是 (﹣∞, ) .

考点: 专题: 分析: 解答:

函数单调性的性质. 函数的性质及应用. 根据已知可将原不等式化为 1﹣a>3a﹣1,解不等式可得答案. 解:∵函数 f(x)在定义域(﹣∞,∞)上是减函数, ∴不等式 f(1﹣a)<f(3a﹣1)可化为 1﹣a>3a﹣1,
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解得 a< 即 a 的取值范围是(﹣∞, ) . 故答案为: (﹣∞, ) . 点评: 本题考查的知识点是函数的单调性,其中根据函数的定义域和单调性对不等式进行变形是解答的关键. 6. 分)若函数 f(x)=px+q,f(3)=5,f(5)=9,则 f(1)的值为 1 . (5 考点: 专题: 分析: 解答: 一次函数的性质与图象;函数的值. 函数的性质及应用. 利用待定系数法求出函数的解析式,进而即可求出函数值. 解:∵函数 f(x)=px+q,f(3)=5,f(5)=9,
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,解得



∴f(x)=2x﹣1. ∴f(1)=2×1﹣1=1. 故答案为 1. 点评: 熟练掌握待定系数法是解题的关键.

7. 分)函数 (5

的最大值为

5 .

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 与偶函数的解析式可得当 x<0 时,f(x)=x+3<3; 当 x≥0 时,f(x)=5﹣x ≤5,由此可得函数的最大值. 解答: 2 解:∵函数 ,∴当 x<0 时,f(x)=x+3<3; 当 x≥0 时,f(x)=5﹣x ≤5,
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故函数

的最大值为 5,

故答案为 5. 点评: 本题主要考查利用分段函数求函数的值以及值域,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 8. 分)关于 x 的方程 2 ﹣m=6 有实根,则 m 的取值范围是 (﹣6,+∞) . (5
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x

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www.jyeoo.com 考点: 专题: 分析: 解答: 根的存在性及根的个数判断. 函数的性质及应用.
x

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先将方程 2 ﹣m=6 有实根转化成 m=2 ﹣6 的值域问题,然后利用函数的值域求出 m 的范围即可. x x 解:将方程 2 ﹣m=6 有实根转化成求 m=2 ﹣6 的值域问题, x x 根据指数函数的性质得 2 >0,∴2 ﹣6>﹣6,得:m>﹣6. 故答案为: (﹣6,+∞) 点评: 本题主要考查了函数与方程的综合运用,同时考查了转化的思想,属于基础题. 二、解答题(本大题共 4 小题,共计 60 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 2 9. (15 分)用函数单调性的定义证明函数 y=x +2x 在 x∈[0,+∞)是单调递增函数. 考点: 专题: 分析: 解答: 函数单调性的判断与证明. 证明题. 根据函数单调性的定义按五步走证明即可.
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x

证明:设任意的 x1,x2∈[0,+∞) ,且 x1<x2, 所以有 f(x1)﹣f(x2)﹣f(x2)= =(x1+x2) 1﹣x2)+2(x1﹣x2)=(x1﹣x2) (x

(x1+x2+2) , 因为 0<x1<x2, 所以 x1﹣x2<0,x1+x2+2>0, 所以 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , 2 故函数 y=x +2x 在 x∈[0,+∞)是单调递增函数. 点评: 本题考察函数单调性的判断与证明,解析式比较简单,故定义证明时运算较简单,属基础题. 10. (15 分)求值或估算: (1) (2)若 lg6≈0.7782,求 10
2.7782

; .

考点: 对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1) (2)利用对数的运算性质即可得出. 解答: 解: (1)原式= = =log39=2; (2)令 10 =m,则 lgm=2.778≈2+lg6=lg600, 2.7782 故 10 约为 600. 点评: 熟练掌握对数的运算性质是解题的关键.
2.7782

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11. (15 分)△ AOB 是边长为 2 的正三角形,这个三角形在直线 x=t 左侧部分的面积为 y,求函数 y=f(t)的解析 式.

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www.jyeoo.com 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 分类讨论. 分析: 根据动直线 x=t 的位置进行分类讨论,分别计算直线 x=t 左侧部分的面积. 解答: 解:①0≤t<1 时,y= t? t=
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②1<t≤2 时,y= ×



=

所以函数的解析式为

点评: 本题考查图形面积的计算,需根据动直线 x=t 的位置进行分类讨论,计算较简单,属于基础题. 12. (15 分)已知函数 f(x)=log2x+3,x∈[1,4] (1)求函数 f(x)的值域; (2)若 g(x)=f(x )﹣[f(x)] ,求 g(x)的最小值以及相应的 x 的值. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)=log2x+3 在 x∈[1,4]上是增函数,能求出函数 f(x)的值域.
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2

2

(2) f 由 (x) =log2x+3, x∈[1, 知 log2x∈[0, 所以 g 4], 2], (x) (x ) (x) =[ =f ﹣[f ] =﹣(log2x+2) ﹣2,由此能求出 g(x)的最小值以及相应的 x 的值. 解答: 解: (1)∵f(x)=log2x+3 在 x∈[1,4]上是增函数, ∴f(x)min=f(1)=log21+3=3, f(x)max=f(4)=log24+3=5 ∴函数 f(x)的值域是[3,5]. (2)∵f(x)=log2x+3, ∴g(x)=f(x )﹣[f(x)] =[
2 2 2 2 2

2

2

+3]﹣ (log2x+3)

+3]﹣(log2x+3)

2

=﹣(log2x) ﹣4log2x﹣6 2 =﹣(log2x+2) ﹣2, ∵x∈[1,2],∴log2x∈[0,1], ∴当 log2x=1,x=2 时,g(x)取最小值﹣11, 故 g(x)的最小值为﹣1,相应的 x 的值为 2. 点评: 本题考查函数的值域的求法,考查函数的最小值的求法.解题时要认真审题,注意对数函数的性质和换元 法的合理运用. 三、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把答案填写在答卷纸相应位置上) 2 13. 分)集合 A={x|kx +4x+2=0}是只含一个元素的集合,则实数 k= 0 或 2 . (5 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,分析可得方程 kx2+4x+2=0 只有 1 个根,再分 k=0 与 k≠0 两种情况讨论,求出 k 的值,综合可得 答案. 解答: 解:集合 A={x|kx2+4x+2=0}是只含一个元素的集合, 2 则方程 kx +4x+2=0 只有 1 个根,
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www.jyeoo.com 当 k=0 时,原方程为 4x+2=0,是一元一次方程, 只有 1 根符合条件, 当 k≠0 时,方程 kx +4x+2=0 为一元二次方程, 若其只有一根,必有△ =16﹣4×k×2=0,解可得 k=2, 综合可得,k=0 或 2, 故答案为 0 或 2. 点评: 本题考查集合的应用,解题时注意要讨论二次项系数是否为 0. 14. 分)已知:lgx+lgy=2lg(x﹣2y) (5 ,则 4 . 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 由 lgx+lgy=2lg(x﹣2y) ,先求出 的值,然后再求
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2

的值为

的值.

解答: 解:∵lgx+lgy=2lg(x﹣2y) , ∴lgxy=lg(x﹣2y) , 2 ∴xy=(x﹣2y) , 2 2 ∴x ﹣5xy+4y =0, ∴ ,
2

解得 ∴

(舍去)或 =

, .

故答案为:4. 点评: 本题考查对数的运算性质,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的灵活运用.
b

15. 分)若函数 (5

在(a,b+4) (b>﹣2)上的值域为

,则 a = 1 .

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 的图象,知函数
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(b>﹣2)在(a,b+4) (b>﹣2)上是增函数,结合 时,建立关于 a,b 的方程,求出 a,b 的值即可.

的图象,

利用使值域为 解答: 解:∵函数 由

在(a,b+4) (b>﹣2)上的值域为



的图象,知函数

在(a,b+4) (b>﹣2)上是增函数时,有 a>﹣2,


b

?

则 a =1.
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www.jyeoo.com 故答案为:1.

点评: 本题考查通过分式函数的图象求定义域、值域间的关系,考查数形结合的思想,属于基础题. 16. 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) (5 ,且在[﹣1,0]上单调递增,设 a=f(3) , c=f(2.1) ,则 a,b,c 按从小到大的顺序排列为 a<b<c . ,

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,满足 f(x+1)=﹣f(x) ,可以知道该函数的周期为 2,再利用 f (x)为偶函数且在[﹣1,0]上为增函数,可以由题意画出一个草图即可判断. 解答: 解:因为 f(x+1)=﹣f(x) 所以 f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x) ,由函数的周期定义可知该函数的周期为 2, 由于 f(x)为定义在 R 上的偶函数且在[﹣1,0]上为单调递增函数,所以由题意可以画出一下的函数草图 为:
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由图及题中条件可以得到: f(3)=f(1)< <c=f(2.1)=f(1.9) , 故答案为:a<b<c 点评: 本题考查了函数的周期性,对称性及有抽象函数式子赋值的方法,还考查了学生对于抽象问题的具体化及 数形结合的思想. 17. 分)在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点,若函数图象恰经过 n 个格点,则称函数 f(x) (5 为 n 阶格点函数.下列函数:①y=x ;②y=lnx;③y=2 ﹣1;④
2 x

.其中为一阶格点函数的序号为 ② .

考点: 函数的图象. 专题: 新定义;函数的性质及应用.
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www.jyeoo.com 分析: 观察几个函数的特点,找出它的格点,通过排除法排除,可得结论. 2 解答: 解:对于函数 y=x ,它的格点有(1,1)(﹣1,1)等, , 对于函数 y=lnx,它的图象只经过整点(1,0) , 对于函数 y=2 ﹣1,它的格点有(0,0)(1,1)等, , y=x+ 格点有(1,2)(﹣1,﹣2) , ; 故只有②y=lnx 为一阶格点函数. 故答案为 ②. 点评: 本题考查函数的图象与性质,格点函数的定义,函数单调性的性质,属于中档题. 18. 分) (5 (2012?开封二模)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x ,若对任意的 x∈[t,t+2], 不等式 f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数 t 的取值范围是 .
2 x

考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 由当 x≥0 时,f(x)=x2,函数是奇函数,可得当 x<0 时,f(x)=﹣x2,从而 f(x)在 R 上是单调递增函 数,且满足 2f(x)=f( x) ,再根据不等式 f(x+t)≥2f(x)=f( x)在[t,t+2]恒成立,可得 x+t≥ x 在[t,t+2]恒成立,即可得出答案. 解答: 解:当 x≥0 时,f(x)=x2 ∵函数是奇函数
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∴当 x<0 时,f(x)=﹣x ∴f(x)=

2



∴f(x)在 R 上是单调递增函数, 且满足 2f(x)=f( x) , ∵不等式 f(x+t)≥2f(x)=f( x)在[t,t+2]恒成立, ∴x+t≥ x 在[t,t+2]恒成立, 即:x≤(1+ )t 在[t,t+2]恒成立, ∴t+2≤(1+ )t 解得:t≥ , 故答案为:[ ,+∞) . 点评: 本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性,难度适中,关键是掌握函数的单调性与奇偶性. 四、解答题(本大题共 2 小题,共计 30 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 19. (15 分)已知函数 (1)当 a 为何值时,f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)为 R 上的增函数. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先由 f(0)=0,得 a=1,然后求出 f(x)定义域为 R,关于原点对称,再证明 f(﹣x)=﹣f(x)即 可;
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(2)化函数为

,再由函数单调性的定义证明.

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www.jyeoo.com 解答: (1)解:由 f(0)=0,得 a=1,则 f(x)= 函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称. 又 f(﹣x)= = =﹣ =﹣f(x) . .

所以 a=1 时,f(x)为奇函数. (2)证明:函数可化为 设 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=(a﹣ )﹣(a﹣ )= . ,定义域为 R.

因为 x1<x2,所以



<0,

+1>0,

+1>0,

所以 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) . 所以 f(x)为 R 上的增函数. 点评: 本题考查函数奇偶性的判断及函数单调性的证明,属基础题,定义是解决该类问题的基本方法. 20. (15 分)对于定义域为 D 的函数 y=f(x) ,若同时满足下列条件: ①f(x)在 D 内单调递增或单调递减; ②存在区间[a,b]?D,使 f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把 y=f(x) (x∈D)叫闭函数. (1)求闭函数 y=﹣x 符合条件②的区间[a,b]; (2)判断函数 (3)若 是否为闭函数?并说明理由; 是闭函数,求实数 k 的取值范围.
3

考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 计算题;压轴题;新定义. 分析: (1)根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程,直接求解. (2)判断其在(0,+∞)是否有单调性,再据闭函数的定义判断; (3)根据闭函数的定义一定存在区间[a,b],由定义直接转化求解即可. 3 解答: 解: (1)由题意,y=﹣x 在[a,b]上递减,
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解得

(4 分)

所以,所求的区间为[﹣1,1]; 分) (5 (2)取 x1=1,x2=10,则 即 f(x)不是(0,+∞)上的减函数. 取 , , 即 f(x)不是(0,+∞)上的增函数 所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减,
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www.jyeoo.com 从而该函数不是闭函数; 分) (9 (3)若 是闭函数,则存在区间[a,b], 在区间[a,b]上,函数 f(x)的值域为[a,b], 即
2

,∴a,b 为方程
2

的两个实数根,

即方程 x ﹣(2k+1)x+k ﹣2=0(x≥﹣2,x≥k)有两个不等的实根(11 分)

当 k≤﹣2 时,有

,解得

, (13 分)

当 k>﹣2 时,有

,无解, (15 分)

综上所述,



点评: 考查函数的单调性及新定义型函数的理解,以及问题的等价转化能力.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:孙佑中;caoqz;翔宇老师;xintrl;zlzhan;zuozuo;danbo7801;minqi5;wyz123; wubh2011;congtou(排名不分先后)
菁优网 2013 年 10 月 25 日

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