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2013-2014学年高中数学 第二章 2.4(一)等比数列(一)基础过关训练

§2.4
一、基础过关

等比数列(一)

1.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于 A.9 C.11
2

(

)

B.10 D.12 )

2.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=x -2x+3 的顶点是(b,c),则 ad 等于( A.3 C.1 3.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么 A.b=3,ac=9 C.b=3,ac=-9 B.b=-3,ac=9 D.b=-3,ac=-9 ( ) B.2 D.-2 ( )

4.一个数分别加上 20,50,100 后得到的三个数成等比数列,其公比为 5 A. 3 3 C. 2 B. D. 4 3 1 2

5.若 a,b,c 成等比数列,m 是 a,b 的等差中项,n 是 b,c 的等差中项,则 + 等于( A.4 C.2 B.3 D.1

a c m n

)

6.已知等比数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,a+4,则 an=________. 7.已知等比数列{an},若 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an. 8.在四个正数中,前三个成等差数列,和为 48,后三个成等比数列,积为 8 000,求这四 个数. 二、能力提升 9.若正项等比数列{an}的公比 q≠1,且 a3,a5,a6 成等差数列,则 A. 5-1 2 B. 5+1 2 C. 1 2

a3+a5 等于 ( a4+a6

)

D.不确定

10.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 值是________.

a2-a1 的 b2

11.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续

1

四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 6q=________. 12.已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0. (1)若 a,b,c 依次成等差数列且公差不为 0,求证:x,y,z 成等比数列; (2)若正数 x,y,z 依次成等比数列且公比不为 1,求证:a,b,c 成等差数列. 三、探究与拓展 13.互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后可成为等比数列,也可排成等差数 列,求这三个数排成的等差数列.

2

答案 3 n-1 1.C 2.B 3.B 4.A 5.C 6.4·( ) 2 7.解 由等比数列的定义知 a2=a1q,a3=a1q 代入已知得,
?a1+a1q+a1q =7 ? ? 2 ? ?a1·a1q·a1q =8 ?a1? 1+q+q ? ? 即? 3 3 ? ?a1q =8,
2 2 2 2

, =7,

? ?a1? 1+q+q ? =7, 即? ? ?a1q=2, ②



2 2 将 a1= 代入①得 2q -5q+2=0,

q

1 ∴q=2 或 q= , 2
?a1=1 ? 由②得? ?q=2 ?

?a1=4, ? 或? 1 ?q= . ? 2
3-n

∴an=2

n-1

或 an=2

.

8.解 设前三个数分别为 a-d,a,a+d, 则有(a-d)+a+(a+d)=48,即 a=16. 设后三个数分别为 ,b,bq,则有

b q

b 3 ·b·bq=b =8 000,即 b=20, q
∴这四个数分别为 m,16,20,n, 20 ∴m=2×16-20=12,n= =25. 16 即所求的四个数分别为 12,16,20,25. 1 9.A 10. 11.-9 2 12.证明 (1)∵a,b,c 成等差数列且 d≠0, ∴b-c=a-b=-d,c-a=2d, ∴(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz =2dlogmy-dlogmx-dlogmz =d(2logmy-logmx-logmz)
2

3

=dlogm( )=0. ∵d≠0,∴logm =0,∴ =1. ∴y =xz,即 x,y,z 成等比数列. (2)∵x,y,z 成等比数列,且公比 q≠1, ∴y=xq,z=xq , ∴(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz =(b-c)logmx+(c-a)logm(xq)+(a-b)logm(xq ) =(b-c)logmx+(c-a)logmx+(c-a)logmq+(a-b)logmx+2(a-b)logmq =(c-a)logmq+2(a-b)logmq =(a+c-2b)logmq=0, ∵q≠1,∴logmq≠0, ∴a+c-2b=0,即 a,b,c 成等差数列. 13.解 设三个数为 ,a,aq,∴a =-8,即 a=-2, 2 ∴三个数为- ,-2,-2q.
2 2 2

y2 xz

y2 xz

y2 xz

a q

3

q

2 2 (1)若-2 为- 和-2q 的等差中项,则 +2q=4,

q

q

∴q -2q+1=0,q=1,与已知矛盾; 2 1 (2)若-2q 为- 与-2 的等差中项,则 +1=2q,

2

q

q

1 2 2q -q-1=0,q=- 或 q=1(舍去), 2 ∴三个数为 4,1,-2; 2 2 (3)若- 为-2q 与-2 的等差中项,则 q+1= ,

q

q

∴q +q-2=0, ∴q=-2 或 q=1(舍去), ∴三个数为 4,1,-2. 综合(1)(2)(3)可知,这三个数排成的等差数列为 4,1,-2 或-2,1,4.

2

4


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