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综合4试卷


南大附中高三数学综合训练 4
一、填空题: 1. 已知全集 U ? {0,1,2,3,4,5,6} , 集合 A ? {1, 2},B ? {0,2,5} , 则集合 (CU A) ? B ? ______ 2. 设复数 z ? (3 ? 4i )(1 ? 2i ) ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的虚部为_______
3.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、

30 种、20 种,从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽 取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________. 4.平面向量 a 与 b 的夹角为

5. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是_________ 6.从正四面体的 6 条棱中随机选择 2 条,则这 2 条棱所在 直线互相垂直的概率为________.

2? , a ? (3,0),| b |? 2 ,则 | a ? 2b | =________ 3 开



n=6, i=1

n 是奇数 是 n=3n-5 i=i+1 n=2 是 输出 i 结 束
第 5 题图

7.已知等差数列 {an } 的公差和首项都不等于 0,且 a2 , a4 , a8 成 等比数列,则

否 n n= 2

a1 ? a5 ? a9 ? _______. a2 ? a3



8.若 logmn=-1,则 m+3n 的最小值为__________ 9. 已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ?

?

6

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,

则 f ( x) 在[0,π ]的单调递增区间为______________

10. 已知点 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 和圆 x2 ? y 2 ? a2 ? b2 的一个交点,F1 , F2 a 2 b2

是双曲线的两个焦点, ?PF2 F 1 ? 2?PF 1F2 ,则双曲线的离心率为__________ 11.已知在 ?ABC 中, C ? 90 ,且 | CA | ?| CB | ?3 ,点 M 、N 满足 AM ? MN ? NB ,则

CM ? CN 等于

.

3 12.设函数 f ( x) ? x ? x ,x ? R . 若当 0 ? ? ?

?
2

时, 不等式 f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒

成立,则实数 m 的取值范围是___________ 13. 如果对于任意一个三角形,只要它的三边长 a, b, c 都在函数 f ( x ) 的定义域内,则

f (a), f (b), f (c) 也是某个三角形的三边长,则称函数 f ( x) 为“保三角形函数”.现有下
x 2 列五个函数: ① f ( x) ? 2 x ; ② f ( x) ? e ; ③ f ( x) ? x ; ④ f ( x) ?

x) ? n s i x . ⑤ f( x;

1

则其中是 “保三角形函数”的有

.(写出所有正确的序号)

1 4 . 将正整数按下表 的规律排 列 , 把行与列 交叉处的一 个数称为某行某列的数 , 记作

ai,j (i, j ? N * ) ,如第 2 行第 4 列的数是 15,记作 a 2, 4 ? 15 ,则 a12,14 ? _________.
1 4 2 3 9 8 10 11 25 24 26 27 二、简答题: 5 6 7 12 23 28 16 15 14 13 22 29 17 18 19 20 21 30 36 35 34 33 32 31

15.已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 ,x?R . 2
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期;

( Ⅱ ) 已 知 ?ABC 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c , 且 c ? 3, f (C ) ? 0 ,

sin B ? 2sin A 求 a、b 的值.

16. 如图所示,已知 AC ⊥平面 CDE, BD ∥AC , ?ECD 为等边三角形,F 为 ED 边上的 中点,且 CD ? BD ? 2 AC ? 2 , (Ⅰ)求证:CF∥面 A BE; A B (Ⅱ)求证:面 ABE ⊥平面 BDE; (Ⅲ)求该几何体 ABECD 的体积。
源:Z

C

E

F

D

2

17.某分 公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 30 元,并且每件产品须向总公司缴纳 a 元(a 为常 数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为 x 元时,产品一年的销售量为

k (e 为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为 40 元 ex

时, 该产品一 年的销售量为 500 万件. 经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35 元, 最高不超过 41 元. (1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)万元与每件产品 的售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润 L(x)最大,并求出 L(x)的 最大值. 参考公式:

18.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 ? 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 它的离心率 a 2 b2



1 ,一个焦点是(-1,0),过直线 x ? 4 上一点引椭圆 ? 的两条切线,切点分别是 A、B. 2 (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程;
(Ⅱ)若在椭圆 ?

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 .求 2 a b a b

证:直线 AB 恒过定点 C,并求出定点 C 的坐标; (Ⅲ)是否存在实数 ? 使得求证:| AC | ? | BC |? 点).

4 | AC | ? | BC | (点 C 为直线 AB 恒过的定 3

3

19.已知函数 f ( x) ?

a ? ln x ( x ? 1) ln x ,且 f ( x ) ? g ( x ) ? 。 x x

(1)若函数 f ( x) 在 1, f ?1? 处的切线与 y 轴垂直,求 f ? x ? 的极值。 (2)若函数 g ( x) 在 ?1, e?上的最小值为

?

?

3 ,求实数 a 的值。 2

20.设数列 ?an ? 的各项都为正数,其前 n 项和为 S n ,已知对任意 n ? N * , 2 Sn 是 an ? 2 和 an 的等比中项. (Ⅰ)证明:数列 ?an ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明:

1 1 1 1 ? ? ??? ?1; 2 S1 S2 Sn

} ,若存在 m ∈ M ,使对满足 (Ⅲ) 设 集 合 M ? {m m ? 2k , k ? Z , 且 1000? k ? 1500
2 an 恒成立,试问:这样的正整数 m 共有多少 n ? m 的一切正整数 n ,不等式 2S n ? 4200 ? 2

个?

4


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