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四川省遂宁二中2012届高三数学辅导资料(14)三角恒等变换


(14) 三角恒等变换 14) 三角恒等变换
【知识梳理】 知识梳理】 基本公式: 1.基本公式: (1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ① sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

;



cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ; tan α ± tan β ③ tan(α ± β ) = 1 m tan α tan β

对正切的和角公式有其变形:tanα+tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ),有时应用该 公式比较方便。 (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 )二倍角的正弦、余弦、 ① sin 2α = 2 sin α cos α . ② cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α ③
tan 2α = 2 tan α 1 ? tan 2 α

(3)降幂公式:[来源:学科网]
cos 2 α = 1 + cos 2α , 2 sin 2 α = 1 ? cos 2α 。 2

(4)半角公式: ①
tan sin

α
2



1 ? cosα 2



cos

α
2



1 + cosα 2



α
2



1 ? cos α sin α 1 ? cosα = = 1 + cosα 1 + cos α sin α
b a

(5)辅助角公式 ① a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ? ) (其中 a > 0, tan ? = ,?
b a

π
2

<? <

π
2

)

② a cos α ? b sin α = a 2 + b 2 cos(α + ? ) (其中 a, b > 0, tan ? = ,0 < ? < )
2

π

必须掌握的九个式子:
① sin α ± cos α = 2 sin(α ± )
4 sin α ± 3 cosα = 2 sin(α ±

π



3 sin α ± cosα = 2 sin(α ±

π
6

)



π
3

)

④ cos α ? sin α = 2 cos(α + )
4 cos α ? 3 sin α = 2 cos(α +

π



3 cos α ? sin α = 2 cos(α +

π
6

)



π
3

)

2.简单的三角恒等变换的基本内容 简单的三角恒等变换的基本内容 简单的三角恒等变换 (1)变换对象:角、名称和形式,三角变换只变其形,不变其质。 (2)变换目标:利用公式简化三角函数式,达到化简、计算或证明的目的。 (3)变换依据:两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。 (4)变换思路:明确变换目标,选择变换公式,设计变换途径。 【典型例题】 典型例题】 ( 若 例 1.2011 年浙江理 6) 0 < α < . ( ) A.
3 3

π
2

,?

π
2

cos( <β <0,

π
4

+α) =

1 π β 3 β cos( ? ) = , , cos(α + ) = 则 3 4 2 3 2

B. ?

3 3

C.

5 3 9

D. ?

6 9
2

[2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°) ]· sin 80° . 例 2.化简: .

例3

已知 sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求

2 3

3 4

tan(α + β ) ? tan α ? tan β 的值. 。 tan 2 β ? tan(α + β )

[来源 来源:Zxxk.Com] 来源 例 4:若 sin α + sin β = :
2 , 求 cos α 2

+ cos β 的取值范围。

例 5:已知:向量 a = ( 3, ?1) , b = (sin 2 x, cos 2 x ) ,函数 f ( x ) = a ? b : (1)若 f ( x ) = 0 且 0 < x < π ,求 x 的值;

r

r

r r

r

r

(2)求函数 f ( x ) 取得最大值时,向量 a 与 b 的夹角.

[来源 来源:Zxxk.Com] 来源

【课内练习】 课内练习】 1、 sin 200 cos 400 + cos 200 sin 400 的值等于( ) A.
1 4

B.

3 2

C.

1 2

D.

3 4

2、若 tan α = 3 , tan β = A. ?3 3、cos
π
5

4 ,则 tan(α ? β ) 等于( 3

) C. ?
1 3

B.3
2π 的值等于( 5

D.

1 3

cos
1 4

) D.4 )

1 C.2 2 π 3 4、 已知 0 < A < ,且 cos A = ,那么 sin 2 A 等于( 2 5

A.

B.

A.

4 25 2 5

B.

7 25

C.
1 4

12 25

D. ) (D) ) (D) ? )
3 18

24 25

5、已知 tan(α + β ) = , tan(β ? ) = , 则 tan(α + ) 的值等于(
4 4

π

π

(A)

13 18 1 2

(B)

3 22 1 3

(C)

13 22

6、已知 sin α + sin β = , cos α + cos β = , 则 cos(α ? β ) 值等于( (A) ?
7 12
2

(B) ?

7、函数 f ( x ) = cos ( x ?

π
12

17 18

(C) ?

) + sin 2 ( x +

π
12

59 72

109 72

) ? 1 是(

(A)周期为 2π 的奇函数 (C) 周期为 π 的奇函数 闯关练习】 【闯关练习】 1.sin14?cos16?+sin76?cos74? 的值是(
3 A. 2
1 B. 2

(B)周期为 2π 的偶函数 (D)周期为 π 的偶函数 ) C.
3 2

D. ? ) D. ) C.
24 7
7 9

1 2

2.(2011 年辽宁理 7)设 sin( + θ ) = A. ?
7 9
4 1 B. ? 9

π

3.已知 x ∈ ( ? A.
7 24

π
2

1 ,则 sin 2θ = ( 3 1 C. 9

, 0) , cos x =
B.?

4 ,则 tan 2 x = ( 5

7 24 π π 4.化简 2sin( -x)·sin( +x) ,其结果是( 4 4

D.?

24 7

) [来源:学科网] C.-cos2x D.-

A.sin2x sin2x 5.sin A. 0 6.
1 ? tan 2 75° 的值为 ( tan 75°

B.cos2x

π π — 3 cos 的值是 ( 12 12

) C. 2 D. sin 2
5π 12

B. — 2
)

A. 2 3 D. ?
2 3 3

B.

2 3 3

C. ? 2 3

3 θ 4 , sin = ? ,则角 θ 的终边一定落在直线( 2 5 2 5 A. x + 24 y = 0 B. x ? 24 y = 0 C. x + 7 y = 0 7 7 24

7.若 cos

θ

=

)上。 D. x ? 7 y = 0 24

8. cos(α + β )cos β + sin (α + β )sin β = _________ . 9.
1 ? tan 15 o = 1 + tan 15 o

10. tan 200 + tan 400 + 3 tan 200 tan 400 的值是 . 12 3π π 3 11.已知 <β<α< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求 sin2α 的值. 2 4 5 13

[来源:学科网]

12.已知 tan 2α = ,求 tan α 的值.

1 3

13.已知 0 < x <

π
4

, sin(

π
4

? x) =

5 ,求 13

cos 2 x cos(

π
4

的值。
+ x)

14.若 A ∈ (0, π ) ,且 sin A + cos A =

5 sin A + 4 cos A 7 , 求 的值。 15 sin A ? 7 cos A 13

[来源:Z,xx,k.Com] 15.设 f ( x) = a sin ωx + b cos ωx (ω > 0) 的周期为 T = π ,最大值 f ( ) = 4 .
12

π

(1) 求 ω , a, b 的值; (2) 若 α , β 为方程 f ( x) = 0 的两根,且 α , β 的终边不共线,求 tan(α + β ) 的值.

16.设函数 f ( x) = 3 sin(ωx + ) , ω > 0 , x ∈ (?∞,+∞) ,且以
6

π

π

为最小正周期.
2

(1)求 f (0) ; (2)求 f (x) 的解析式;

(3)已知 f ( +
4

α

π
12

)=

9 ,求 sin α 的值. 5

(14) 三角恒等变换 14) 三角恒等变换
【知识梳理】 知识梳理】 基本公式: 1.基本公式: (1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式: sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ;

tan(α ± β ) =

tan α ± tan β 1 m tan α tan β

cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ;

对正切的和角公式有其变形:tanα+tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ),有时应用该 公式比较方便。 (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 )二倍角的正弦、余弦、
sin 2α = 2 sin α cos α . cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α 1 ? cos 2α 。 2 tan 2α = 2 tan α 1 ? tan 2 α

(3)降幂公式:
cos 2 α = 1 + cos 2α , 2 sin 2 α =

(4)半角公式:
sin

α
2



1 ? cosα 2

cos

α
2



1 + cosα 2

tan

α
2



1 ? cos α sin α 1 ? cosα = = 1 + cosα 1 + cos α sin α

(5)辅助角公式
a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ? ) (其中 a > 0, tan ? = b π π ,? < ? < ) a 2 2 b π a cos α ? b sin α = a 2 + b 2 cos(α + ? ) (其中 a, b > 0, tan ? = ,0 < ? < ) a 2

必掌握的九个式子:
sin α ± cos α = 2 sin(α ±

π
4

)

3 sin α ± cosα = 2 sin(α ±

π
6

)

sin α ± 3 cosα = 2 sin(α ±

π
3

)

cos α ? sin α = 2 cos(α + cos α ? 3 sin α = 2 cos(α +

π
4

)

3 cos α ? sin α = 2 cos(α +

π
6

)

π
3

)

2.简单的三角恒等变换的基本内容 简单的三角恒等变换的基本内容 简单的三角恒等变换 (1)变换对象:角、名称和形式,三角变换只变其形,不变其质。 (2)变换目标:利用公式简化三角函数式,达到化简、计算或证明的目的。 (3)变换依据:两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。 (4)变换思路:明确变换目标,选择变 换公式,设计变换途径。 【典型例题】 典型例题】 ( 若 例 1.2011 年浙江理 6) 0 < α < . ( ) A.
3 3

π
2

,?

π
2

<β <0, cos(

π
4

+α) =

1 π β 3 β , cos( ? ) = , cos(α + ) = 则 3 4 2 3 2

B. ?

3 3

C.

5 3 9

D. ?

6 9

【答案】C [来源:Zxxk.Com] 【点评 点评】:本题属于“理解”层次,解答的关键在于分析角的特点,将 2α 表示为 2α=(α 点评 -β)+(α+β)。 [2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°) ]· sin 80° . 例 2.化简: . sin 10° 2 解析】 ) ]· cos 10° 【解析】:原式=[2sin50°+sin10°(1+ 3 cos 10° =[2sin50°+sin10°(
cos 10° + 3 sin 10° ) ]· cos 10° cos 50° =(2sin50°+2sin10°· )·cos10° cos 10°
2

cos 2 10°

=2(sin50°cos10°+sin10°·cos50°) =2sin60°= 3 . 【点评 点评】:本题属于“理解”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法,再利用两 点评 角和与差的三角函数关系式整理化简.化简时要求使三角函数式成为最简:项数尽量少,名 称尽量少,次数尽量底,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的尽量 求出值来。 例 3:已知 sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 :
? ?sin(α + β ) = ? 解析】 【解析】:由 ? ?sin(α ? β ) = ? ?
2 3 3 4

tan(α + β ) ? tan α ? tan β 的值. 。 tan 2 β ? tan(α + β )
`

2 2 ? ?sin α cos β + cos α sin β = 3 ? 3 ?? 3 ?sin α cos β ? cos α sin β = 3 ? 4 4 ?

17 ? ? sin α ? cos β = 2 4 ? 解得 ? , ? co s α ? sin β = ? 1 ? ? 24


tan(α + β ) ? tan α ? tan β tan(α + β ) ? tan(α + β )(1 ? tan α ? tan β ) tan α = = [来源:学.科. tan β tan 2 β ? tan(α + β ) tan 2 α ? tan(α + β )
网]

=

sin α ? cos β =-17 cos α ? sin β

w【点评 点评】:本题属于“理解”层次,考查学生对所学过的内容能进 行理性分析,善于利用 点评 题中的条件运用方程思想达到求值的目的。 例 4:若 sin α + sin β = :
2 , 求 cos α 2

+ cos β 的取值范围。
2 2 2

【解析】:令 cos α + cos β = t ,则 (sin α + sin β ) + (cos α + cos β ) = t + 解析】 即 2 + 2 cos(α ? β ) = t +
2

1 , 2

1 3 ? 2 cos(α ? β ) = t 2 ? 2 2 3 1 2 7 14 14 14 14 2 ∴ ?2 ≤ t ? ≤ 2, ? ? ≤ t ≤ ,∴? ≤t ≤ , ? 即 ≤ cos α + cos β ≤ 2 2 2 2 2 2 2 【点评 点评】:本题属于“理解”层次,解题的关键是将要求的式子 cos α + cos β 看作一个整 点评
体,通过代数、三角变换等手段求出取值范围。

例 5:已知:向量 a = ( 3, ?1) , b = (sin 2 x, cos 2 x ) ,函数 f ( x ) = a ? b : (1)若 f ( x ) = 0 且 0 < x < π ,求 x 的值;

r

r

r r

r

r

(2)求函数 f ( x ) 取得最大值时,向量 a 与 b 的夹角. 【解析】:∵ f ( x ) = a ? b = 3 sin 2 x ? cos 2 x 解析】 (1)由 f ( x) = 0 得 3 sin 2 x ? cos 2 x = 0 即 tan 2 x = ∵0 < x <π, (2)∵ f ( x) = = 2(sin 2 x cos

r r

∴ 0 < 2 x < 2π 3 sin 2 x ? cos 2 x = 2(

∴ 2x =

π
6

3 3

, 或 2x =

7π , 6

∴x=

π


12

7π 12

? cos 2 x sin ) = 2 sin(2 x ? ) [来源:学*科*网] 6 6 6 r r r r r r ∴ f ( x) max = 2 ,当 f ( x) = 2 时,由 a ? b =| a | ? | b | cos < a, b >= 2 r r r r r r r r a ?b r = 1 ,Q 0 ≤< a, b >≤ π 得 cos < a, b >= r ∴ < a, b >= 0 | a |?| b |
【课内练习】 课内练习】 1、 sin 200 cos 400 + cos 200 sin 400 的值等于( A.
1 4

π

π

3 1 sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

π

B ) C.
1 2

B.

3 2

D.

3 4

2、若 tan α = 3 , tan β = A. ?3 3、cos
π
5

4 ,则 tan(α ? β ) 等于( D 3

) C. ?
1 3

B. 3
2π 的值等于( 5

D.

1 3

cos
1 4

A ) D.4 ) D.
24 25

1 C.2 2 π 3 4、 已知 0 < A < ,且 cos A = ,那么 sin 2 A 等于( D 2 5 4 7 12 B. C. A. 25 25 25

A.

B.

5、已知 tan(α + β ) = , tan(β ? ) = , 则 tan(α + ) 的值等于
4 4

2 5

π

1 4

π



B )
3 18

(A)

13 18 1 2

(B)

3 22 1 3

(C)

13 22

(D) C )

6、已知 sin α + sin β = , cos α + cos β = , 则 cos(α ? β ) 值等于( (A) ?
7 12
2

(B) ?

7、函数 f ( x ) = cos ( x ?

π
12

17 18

(C) ?

) + sin 2 ( x +

π
12

59 72

(D) ?

109 72

) ? 1 是( C )
(B)周期为 2π 的偶函数 (D)周期为 π 的偶函数

(A)周期为 2π 的奇函数 (C) 周期为 π 的奇函数 【闯关练习】 闯关练习】 1.sin14?cos16?+sin76?cos74? 的值是(
3 A. 2
1 B. 2

B ) C.
3 2

D. ? ) D.
7 9

1 2

2.(2011 年辽宁理 7)设 sin( + θ ) = A. ?
7 9
4 1 B. ? 9

π

3.已知 x ∈ ( ?
7 A. 24

π
2

1 ,则 sin 2θ = (A 3 1 C. 9

, 0) , cos x =
B.?

4 ,则 tan 2 x = ( D ) 5
C.
B
24 7

7 24 π π 4.化简 2sin( -x)·sin( +x) ,其结果是( 4 4

D.?

24 7

) C.-cos2x D.-

A.sin2x sin2x 5.sin A. 0 6.
1 ? tan 2 75° 的值为 ( tan 75°

B.cos2x

π π — 3 cos 的值是 ( B 12 12

) C. 2 D. sin 2
5π 12

B. — 2
)C

A. 2 3 D. ?
2 3 3

B.

2 3 3

C. ? 2 3

3 θ 4 , sin = ? ,则角 θ 的终边一定落在直线( D ) 上。 2 5 2 5 A. 7 x + 24 y = 0 B. 7 x ? 24 y = 0 C. 24 x + 7 y = 0 D. 24 x ? 7 y = 0

7 .若 cos

θ

=

提示: cos ∵

θ
2

=

3 θ 4 24 7 7 , sin = ? ∴ sin θ = ? , θ = ? , cos 则角 θ 的终边上一点为 P ? , ( 25 25 25 5 2 5

24 ? ) ,它在直线 24 x ? 7 y = 0 上。 25 8. cos(α + β )cos β + sin (α + β )sin β = _________ . cos α ;

9.

1 ? tan 15 o = 1 + tan 15 o

3 3

10. tan 200 + tan 400 + 3 tan 200 tan 400 的值是

.

3

11.已知

12 3π π 3 <β<α< ,cos(α-β)= ,sin(α +β)=- ,求 sin2α 的值. 2 4 5 13

解:由于

3π π 3π π <β<α< ,可得到 π<α+β< ,0<α -β< . 2 4 4 2 4 5 ∴ cos(α+β)=- ,sin(α-β)= . 5 13 ∴ sin2α=sin[ (α+β)+(α-β) ]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β) 3 12 4 5 56 =(- )· +(- )· =- . 5 13 5 13 65
1 3

12.已知 tan 2α = ,求 tan α 的值. 解 : 由 tan 2α =
π
4

1 2 tan α 1 得 = . 这 是 一 个 关 于 tan α 的 方 程 , 解 此 方 程 可 求 得 2 3 1 ? tan α 3
, sin(

tan α = ?3 ± 10 .
13.已知 0 < x <
π
4 ? x) = 5 ,求 13

cos 2 x cos(

π
4

的值。
+ x)

解:Q (

π

π π π 120 ? 2 x) = sin 2( ? x) = 2 sin( ? x) cos( ? x) = 2 4 4 4 169 120 cos 2 x 12 ∴ = 169 = 。 π 5 13 cos( + x) 4 13 7 5 sin A + 4 cos A 14.若 A ∈ (0, π ) ,且 sin A + cos A = , 求 的值。
而 cos 2 x = sin(
13 15 sin A ? 7 cos A 12 ? 7 ? ?cos A = 13 ?sin A = 13 ? ?sin A + cos A = ? 13 ? ? 14.解法一:由 ? 或? ?sin 2 A + cos 2 A = 1 ?cos A = ? 5 ?sin A = ? 5 ? ? 13 ?

π 5 ? x) + ( + x) = ,∴ cos( + x) = sin( ? x) = , 4 4 2 4 4 13 π

π

π

π

?

12

? ?

13

12 ? ?cos A = 13 8 ? 5 sin A + 4 cos A ∵ A ∈ (0, π ) 知 ? 舍去,故 = 15 sin A ? 7 cos A 43 ?sin A = ? 5 ? 13 ? 49 49 7 2 解法二:由 sin A + cos A = ① 得 (sin A + cos A) = ,∴ 1 + sin 2 A = 13 169 169 289 120 2 ∴ sin 2 A = ? , (sin A ? cos A) = 1 ? sin 2 A = ∴ , A ∈ (0, π ) , sin A ? cos A >0, ∵ ∴ 169 169
12 ? ?sin A = 13 17 ? 从而 sin A ? cos A = ②,联立①、②解得 ? 13 ?cos A = ? 5 ? 13 ?



5 sin A + 4 cos A 8 = 15 sin A ? 7 cos A 43

15.设 f ( x) = a sin ωx + b cos ωx (ω > 0) 的周期为 T = π ,最大值 f ( ) = 4 .[来源:Zxxk.Com]
12

π

(3) 求 ω , a, b 的值; (4) 若 α , β 为方程 f ( x) = 0 的两根,且 α , β 的终边不共线,求 tan(α + β ) 的值.

解:(1) f ( x) = a 2 + b 2 sin(ωx + ? ) ,Q T = π ,∴ ω = 2 ,又 Q f ( x ) 的最大值

π Qf ( ) = 4 , 4 = ∴ 12
π
3

a2 + b2

① , 4 = a sin 且
π
3

2π 2π + b cos 12 12

②, ①、 由 ②解出 a=2 ,b= 2 3 .
π π
3 3

(2) f ( x) = 2 sin 2 x + 2 3 cos 2 x = 4 sin(2 x + ) , ∴ f (α ) = f ( β ) = 0 , ∴ 4 sin(2α + ) = 4 sin(2β + ) ,
∴ 2α + = 2kπ + 2 β +

π


3



2α +

π
3

= 2kπ + π ? (2 β +

π
3

),



α = kπ + β ( α、β 共线,故舍去) ,



α + β = kπ +

π


6

∴ tan(α + β ) = tan(kπ +

π
6

)=

3 3

( k ∈ Z) .
π

16.设函数 f ( x) = 3 sin(ωx + ) , ω > 0 , x ∈ (?∞,+∞) ,且以
6

π

为最小正周期.
2

(1)求 f (0) ; (2)求 f (x) 的解析式; (3)已知 f ( +
4

α

π
12

)=

9 ,求 sin α 的值. 5


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